從一道學考代數壓軸題的一題多解談代數思想

阮應紅 楊順福 欒菊

從云南省統一命制的2021、2022、2023年初中學業水平考試（以下簡稱“學考”）數學試卷最后一題，我們可以看出命題人對2022年版《義務教育數學課程標準》（以下簡稱“新課標”）的準確把握.新課標雖然是在2022年才正式出版，但在云南省2021年的中考命題中就有對新課標理念的滲透.黨的十八大、十九大明確提出教育要落實立德樹人的根本任務，于是2014年教育部提出通過核心素養落實育人目標，同時對高中課標提出明確要求.新課標改編的基本原則一個是增強幾何直觀，另一個就是增加代數推理.從這個角度看，我們也就不難理解為什么云南省連續三年的數學學考壓軸題都是代數題.

代數思想在初中數學階段的教學中被廣泛應用，并且已被證明是數學核心素養的重要組成部分.初中數學是學生進一步探索數學世界的重要階段，而代數思想對于學生在這個階段的數學學習和發展至關重要.在數學教學中，代數思想是用符號代替實際數值進行計算和解決問題的能力，不僅可以幫助學生更好地理解數學概念，同時也可以為學生提供解決各種實際問題的工具.基于以上分析，筆者嘗試以2023年云南省學考代數壓軸題第24題為載體，分析代數思想在培養學生邏輯思維能力和解決問題能力上的不可替代性，幫助學生更好地面對未來的職業和生活挑戰，也希望能引起廣大教師的關注，在初中階段就注重培養學生的代數思維能力，讓學生會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界.

一、試題的呈現與解法賞析

題目：數和形是數學研究客觀物體的兩個方面，數（代數）側重研究物體數量方面，具有精確性;形（幾何）側重研究物體形的方面，具有直觀性.數和形相互聯系，可用數來反映空間形式，也可用形來說明數量關系.數形結合就是把兩者結合起來考慮問題，充分利用代數、幾何各自的優勢，數形互化，共同解決問題.

同學們，請你結合所學的數學解決下列問題.

在平面直角坐標系中，若點的橫坐標、縱坐標都為整數，則稱這樣的點為整點.設函數y=（4a+2）x2+（9-6a）x-4a+4（實數a為常數）的圖象為圖象T.

（1）求證：無論a取什么實數，圖象T與x軸總有公共點;

（2）是否存在整數a，使圖象T與x軸的公共點中有整點？若存在，求所有整數a的值;若不存在，請說明理由.

題目的第（1）問，主要考查學生代數表達能力和代數計算能力.特別是當a≠-時，如果想確定函數與x軸的交點個數，就需要判斷△的正負.但在y=（4a+2）x2+（9-6a）x-4a+4這個函數中含有參數a，并不能直接算出△的正負.所以我們可以嘗試用含a的式子表示△，當得出△=100a2-140a+49后，需要進一步運用代數運算將其化為完全平方式△=（10a-7）2，進而判斷△的正負.

題目的第（2）問涉及一題多解，具體的解題方法如下：

解法一：公式法

解：當a=-時，不符合題意.

當a≠-時，對于函數y=（4a+2）x2+（9-6a）x-4a+4，

令y=0，則有（4a+2）x2+（9-6a）x-4a+4=0.

由（1）可知△=（10a-7）2，

由求根公式可得x=，

∴x1=-，x2=，

∵x2==2-，

∵x2是整數，a是整數，

∴|2a+1|是6的約數，

∴2a+1=±1或2a+1=±3，

∴a=0或a=-1或a=1或a=-2.

綜上所述，存在整數a，使圖象T與x軸的公共點中有整點且a的值為-2，-1，0，1.

解法分析：該解法的優點是緊扣第一小問的思路，因為第一問已經求出了△，而且△剛好可以開方，于是直接利用求根公式就可以得到x1=-，x2=.當用含a的式子表示出x的值后，我們再根據x是整數這個條件建立方程即可.

解法二：配方法

解：當a=-時，不符合題意.

當a≠-時，對于函數y=（4a+2）x2+（9-6a）x-4a+4，

令y=0，則有（4a+2）x2+（9-6a）x-4a+4=0.

∴x2+x+=0，

∴x2+x=-，

∴x2+x+? ? =-+? ? ，

∴? ? ?=，

∴x+=±，

∴x+=±，

∴x=±-，

∴x=，

∴x1=-，x2=，

∵x2==2-，

∵x2是整數，a是整數，

∴|2a+1|是6的約數，

∴2a+1=±1或2a+1=±3，

∴a=0或a=-1或a=1或a=-2.

綜上所述，存在整數a，使圖象T與x軸的公共點中有整點且a的值為-2，-1，0，1.

解法分析：該方法主要解題思路和方法一差不多，考查學生代數表達能力，先用含a的式子表示出x，然后建立關于a的方程.兩種解法的主要區別在于求x采用了不同的方法，解法二運用了平時訓練比較多的配方法，這種方法雖然有點雞肋，但重在突出一元二次方程解法的通法.

解法三：十字分解法

解：當a=-時，不符合題意.

當a≠-時，對于函數y=（4a+2）x2+（9-6a）x-4a+4，

令y=0，則有（4a+2）x2+（9-6a）x-4a+4=0.

∴（2x+1）[（2a+1）x-4a+4]=0，

∴（2x+1）=0或（2a+1）x-4a+4=0，

∴x1=-，x2=

∵x2==2-，

∵x2是整數，a是整數，

∴|2a+1|是6的約數，

∴2a+1=±1或2a+1=±3，

∴a=0或a=-1或a=1或a=-2.

綜上所述，存在整數a，使圖象T與x軸的公共點中有整點且a的值為-2，-1，0，1.

解法分析：該方法技巧性比較強，對學生數學觀察能力要求比較高，優點在于計算量比較小.

解法四：分離參數法

解：當a=-時，不符合題意.

當a≠-時，

∵y=（4a+2）x2+（9-6a）x-4a+4，

∴y=4ax2-6ax-4a+2x2+9x+4，

∴y=2a（x2-3x-2）+（2x2+9x+4），

∴y=2a（2x+1）（x-2）+（2x+1）（x+4），

∴y=（2x+1）（2ax+x-4ax+4），

∴當2x+1=0時，y=0，

∴該函數橫過點（-，0），

∴x1=-.

∵y=（4a+2）x2+（9-6a）x-4a+4，

由根與系數的關系得x1+x2=.

又∵x1=-

∴x2=+==2-，

∵x2是整數，a是整數，

∴|2a+1|是6的約數，

∴2a+1=±1或2a+1=±3，

∴a=0或a=-1或a=1或a=-2.

綜上所述，存在整數a，使圖象T與x軸的公共點中有整點且a的值為-2，-1，0，1.

解題分析：該方法需要學生對含參數函數有比較深刻的理解.通過分離參數的方法，我們可以得到含參數的函數恒過的定點，從而得到x1，再由根與系數的關系求出x2.

解法五：轉換法

解：當=-時，不符合題意.

當a≠-時，

∵y=（4a+2）x2+（9-6a）x-4a+4，

∴y=4ax2-6ax-4a+2x2+9x+4，

∴y=2a（2x2-3x-2）+（2x2+9x+4），

可以將上述函數看成是y關于a的函數，

∴聯立2x2-3x-2=0

2x2+9x+4=0，解得[

y=0][x=-].

∴該函數恒過點（-，0），

∴x1=-.

∵y=（4a+2）x2+（9-6a）x-4a+4，

由根與系數的關系得x1+x2=.

又∵x1=-

∴x2=+==2-，

∵x2是整數，a是整數，

∴|2a+1|是6的約數，

∴2a+1=±1或2a+1=±3，

∴a=0或a=-1或a=1或a=-2.

綜上所述，存在整數a，使圖象T與x軸的公共點中有整點且a的值為-2，-1，0，1.

解法分析：該方法將關于x的二次函數轉化成關于a的一次函數進行研究，降低了函數研究難度，更容易確定參數函數的定點.

本題旨在測試學生的數學能力，主要考查一次函數和二次函數的基本性質，以及它們與一元二次方程的關系.對于此類題目，熟練掌握一次函數的性質，了解二次函數的性質對于解題非常關鍵.然而，學生僅僅掌握知識是不夠的.需要通過思維的方式去理解這類問題，才能真正觸類旁通，進而解決更復雜的問題.在解決這些問題時，我們需要不斷地運用代數思想，即代數表達和代數計算，包括將數學概念轉化為符號和表達式，進行代數計算，推導出解法.通過實際練習，學生可以不斷地提高自己的代數思維能力，從而更好地應對數學問題.因此，學生在備考數學時，需要在不斷掌握知識的基礎上，注重思維能力的訓練和提高.

二、代數思想的重要性

初中階段正是學生開始接觸代數，掌握最基本的代數思想的時候，在這個階段打好代數基礎顯得格外重要.代數思想作為一種用符號表示一般數量和關系的數學思想（如例題中，通過代數計算成功用含a的代數式表示出了x2的值，x2=2-這個式子也反映了x與a之間的一般關系），具有抽象和普遍性的特點，并一直被認為是數學領域中最基本的思想之一.代數思想又分為代數表達和代數計算兩部分：代數表達是指用字母和符號表示數學問題中的未知數和關系;代數計算是指在代數表達的基礎上，通過運算發現未知數或確定變量之間的關系.

代數思想是數學中非常重要的一個概念，它通過各種符號和符號規則的運用，幫助學生更好地理解和應用數學概念.代數思想與數學核心素養密不可分，代數思想是數學核心素養的重要組成部分.初中階段打好代數基礎，掌握代數思想的應用方法，可以培養出批判性、邏輯性、創新性等一系列數學素養，進而提高數學核心素養.代數思維與數學核心素養的關聯主要體現在以下幾方面：

（1）數學思維素養.代數思想在數學學科中廣泛應用，可以幫助學生學習和運用正確的數學思維方法.在掌握代數思想的過程中，學生還會逐漸培養出批判性、邏輯性、創新性等一系列數學思維素養.

（2）數學方法素養.代數思想在解決數學問題時起到了重要的引導作用，學生可以通過代數方法來解決一些實際問題.代數思想雖然抽象難懂，但在數學方法素養的培養過程中，學生可以逐步理解和掌握其應用方法.

（3）數學表達素養.代數思想通過符號、式子和方程式等方式來表達和計算數學問題.學生在掌握代數思想的同時，還會逐漸掌握符號規則、運算法則等數學表達技能，從而提高數學表達能力，使其能夠清晰準確地表達數學思想.

（4）數學信念素養.代數思想能夠幫助學生逐漸建立科學的數學信念，進而提高數學素養.學生在學習代數思想的過程中，處理難題時要堅持不斷思考、提煉和總結，從而培養出循序漸進的良好學習習慣.

三、培養代數思想的教學策略

無論從學考考點的角度還是從提高學生數學核心素養的角度分析，在初中階段教師都應該重點培養好學生的代數思想.代數思想不僅可以幫助學生更好地理解數學概念，還可以培養他們的邏輯思維能力、問題解決能力和抽象思維能力.

1.融入實例教學優化代數思想的教學

融入實例教學是一種有效的教學策略，它可以讓學生更好地理解代數思想，提高他們的學習興趣和成績.在初中數學教學中，融入實例教學也可以用來優化代數思想的教學.

首先，讓我們來了解一下什么是實例教學.實例教學是通過實例來闡釋知識、體現規律，讓學生通過具體事物來理解抽象概念的一種教學方式.這種教學方式可以幫助學生更好地理解代數思想的概念、性質和運算方法，提高學生的代數思維能力.在初中數學教學中，教師可以通過具體實例來解釋代數符號的含義和應用方法.舉例來說，當講到解方程時，教師可以通過生活實際或物理問題來介紹方程式的概念和解題步驟，讓學生更好地理解并掌握方程式的應用方法.類似地，教師也可以對解不等式、因式分解等代數概念進行講解，并配以實例來幫助學生深入了解其使用方法和應用場景.通過實例教學，學生可以更快、更深入地理解代數思想，并愉悅地參與到教學過程中.另外，在實例教學中，學生可以積極探索實際問題，提升創造力和解決問題的能力，充分體現教育的目標是讓學生更好地掌握知識，而非僅僅完成考試要求.

2.打破傳統限制提升學生的代數思維能力

在初中階段學習代數思想并打好代數基礎對于未來的數學學習和發展至關重要.然而，許多傳統的教學方法，如死記硬背公式和機械式運算，不利于學生代數思維能力的發展.因此，我們需要打破傳統限制，采取創新的教學策略，提升學生的代數思維能力，深入理解概念：代數思想需要通過數學概念的理解和運用進行學習.傳統方法通常依靠不斷的實踐來學習，但是這種方法容易忽略概念學習的重要性.因此，我們需要尋找到一些新的教學方法來幫助學生更好地掌握和理解數學概念.而啟發式教學正是其中之一.

傳統的教學方法通常是按照一定步驟進行的，這種方法對于發展學生的創造力和思維能力并不利，而啟發式教學是一種更加開放，具有探究性的教學方法.通過啟發式教學，學生可以更自由地探索問題，從而鍛煉他們的思維能力和創造力.這種方法可以鼓勵學生獨立思考和運用代數思想來解決問題.

我們還需要改變傳統的考試方式，采用更加多元化的評價方式來評估學生的代數思維能力.這種評價方式可以包括口頭表達、創意作品、解決實際問題等方式.這不僅可以給學生提供更多的展示機會，還可以幫助他們更加全面地發展其代數思維能力.

通過打破傳統限制，采取創新的教學策略，我們可以提升學生的代數思維能力，并為他們未來的數學學習和發展打好基礎.這包括深入理解代數概念、采用啟發式教學和實踐，以及使用多元化評價方式等.這些策略將幫助我們建立更加開放和富有創造性的學習環境，使學生獲得更好的學習效果.

3.探索新的教學方法發揮代數思想的育人功能

在初中階段，學生打好代數基礎對于后續的數學學習至關重要.因此，我們需要探索新的教學方法，以幫助學生更好地理解和掌握代數思想.

以下是幾種可能的探索方法：

（1）利用數學游戲的方式教授代數思想.數學游戲可以幫助學生在娛樂中學習并掌握代數思想.如學生可以通過填充數字游戲學習解方程的基本方法，或者通過數字消除游戲加深對因式分解的理解.這些游戲不僅能夠激發學生的學習興趣，還能夠讓學生更深刻地理解代數思想的概念和應用，同時培養學生的邏輯思維能力.

（2）利用實踐性質教授代數思想.實踐性質指的是將代數思想應用到實際問題中.這可以幫助學生更加深入地理解代數思想的概念和應用，同時提高他們的學業水平.如在球類比賽中，教師可以利用比賽數據來教授學生解方程的基本方法，或者通過實際問題來教授因式分解的方法.這些實踐性質的問題不僅能夠提高學生的學科水平，還能夠讓他們更好地理解與應用代數思想.

（3）利用現代技術教授代數思想.現代技術為學生學習代數思想提供了更多的便捷性和選擇性.如學生可以通過在線課程等平臺進行自主學習或通過交互式學習工具來提高代數思維能力.同時，利用網絡畫板等現代技術平臺，教師可以讓學生更直觀地理解和應用代數思想.這些現代技術不僅能夠提高學生的興趣和學科水平，還培養了學生自主學習和解決問題的能力.

綜上所述，探索新的教學方法可以幫助學生更好地理解代數思想，提高他們的學科水平.同時，這些方法也能夠培養學生的邏輯思維能力和自我學習能力，使他們更好地應對未來的職業和日常生活的挑戰.

近年來，“雙減”政策的實施給初中數學教育帶來了很多挑戰.我們以減輕學生的學習壓力為出發點，但同時也必須尋找提高教學質量的方法.學生已不能僅僅依靠大量刷題來提高考試分數，教師必須從思維的角度入手，才能真正實現“減負提質”的目標.代數思想的重要性在于它的普遍性和對學生抽象思維能力的培養，它可以幫助學生更好地理解數學本質.同時，教師需要在教學中讓學生更好地運用代數思想解決實際問題，以發展學生的數學思維，培養學生的數學能力，為提高教育教學質量貢獻一份力量.