非高斯波浪作用下深水高墩的非線性隨機振動

收稿日期：20231225

通信作者：陳林聰（1981），男，教授，博士，主要從事工程結構隨機振動的研究。Email：lincongchen@hqu.edu.cn。

基金項目：國家自然科學基金資助項目（12072118， 12372029）； 福建省杰出青年科學基金資助項目（2021J06024）

摘要：首先，建立非高斯波浪作用下深水高墩的隨機動力學模型，采用泊松白噪聲激勵模擬非高斯隨機波浪過程，利用達朗貝爾原理和伽遼金方法推導深水高墩的運動方程。然后，通過徑向基神經網絡法求解廣義FPK方程，獲得系統的瞬態響應概率密度函數。最后，考察不同結構參數對系統響應的影響，并采用蒙特卡羅模擬（MCS）驗證理論解。結果表明：理論解與模擬結果吻合良好；浸入比和質量比增加均會放大高墩的響應；采用高斯模型會使結構設計偏于保守。

關鍵詞：深水高墩； 非高斯隨機波浪； 泊松白噪聲； 徑向基神經網絡； 瞬態響應

中圖分類號：U 442.55文獻標志碼：A文章編號：10005013（2024）02023308

跨海大橋在促進旅游和經濟社會發展方面發揮著至關重要的作用，是一個國家建筑技術的證明。與內陸環境不同，跨海大橋面臨的環境更為復雜，波浪荷載是最關鍵的環境荷載之一［13］。跨海橋梁的高墩為典型的柔性結構，波浪力會導致其強烈的非線性隨機振動［4］，從而使橋梁發生局部或整體損壞［56］。因此，研究波浪力下深水高墩的動力響應具有重要的現實意義。

目前，已有許多學者對波浪力下高墩的動力學問題進行研究。李忠獻等［7］采用繞射波浪理論，分析波浪作用下深水橋梁橋墩的動力響應。Ti等［8］提出一種波浪作用下柔性高墩結構的響應分析方法。此外，一些水下振動臺實驗［910］和波浪水槽實驗［1112］也已被用于該方面的研究，但上述研究都將波浪視為確定性荷載，未考慮波浪的隨機性特征。

最近，Zhao等［13］視隨機波浪為簡單的高斯過程，研究高斯波浪力下結構的動力響應［1415］。然而，Zeng等［16］發現這種高斯激勵模型不能很好地捕捉波浪的實際特征。同時，在淺水或復雜地形中的波浪常表現出明顯的非高斯性，不僅會改變海面的幾何形狀，影響水粒子在海面上的運動路徑，還會加速結構的疲勞損傷。

目前，關于非高斯波浪力作用下結構隨機振動的研究仍尚少［1718］，特別是深水高墩結構還未得到較好的發展。基于此，本文對非高斯波浪作用下深水高墩的非線性隨機振動進行研究。

（a） 立面圖 （b） 截面圖

1模型概述

考察一個墩底固定在巖石地基上的實心圓形深水高墩，墩高為H0，直徑為d，淹沒在深度為h的水中，同時受到波浪作用。深水高墩示意圖，如圖1所示。圖1中：x，y，z為笛卡爾坐標系。

根據橋墩受載變形的力學特征，深水高墩的動力學模型可簡化為均質彈性懸臂梁（圖2（a）），其中，高墩的上部結構可以近似視為一個質量為mg的質量塊；高墩中面軸向位移分量為v（y，t）；中面橫向位移分量為u（y，t）；中線位移分量為s（y，t）。

對高墩任一中面截面（圖2（b））進行受力分析，利用達朗貝爾原理建立平衡方程，有

式（1）中：符號′和·分別表示對y和t的偏導數；ρ為高墩的密度；A為高墩的橫截面積；F為波浪荷載；H為橫向力與軸向力的水平分量之和；V為橫向力與軸向力的垂直分量之和；M為彎矩，M=EIκ，E為彈性模量，I為橫截面慣性矩，κ為曲率。

將力矩平衡方程兩邊除以1+v′，并對y求導，可得

M′1+v′′+H′-Vu′1+v′′=0。（2）

為求得曲率的表達式，根據圖2（c），引入幾何關系，有

sin θ=u′s′；cos θ=1+v′s′（s′-1）≈v′+12（u′2+v′2）。（3）

式（3）中：θ為橫截面旋轉角。

（a） 高墩簡化模型（b） 無限小平面平衡圖（c） 中心線延長圖

忽略高墩的微小軸向變形（s′-11），并略去高階項（v′2），可得

綜合式（1），（3），（4）（具體推導過程不贅述），式（2）可寫為

式（5）中：τ為積分的內部變量。

此外，波浪荷載F通常采用Morison方程表示，即

式（6）中：Cd為拖曳系數；CM為慣性系數；Cm為附加質量系數；ρw為水的密度；vw為瞬時水流速度；f為時變波浪力。

將式（6）代入式（5），可得系統的運動方程為

方便起見，引入無量綱參數，有

將無量綱參數代入式（7）后，可得相應的無量綱運動方程為

深水高墩的振動以基本模態為主導，現基于假設模態法，可將位移變量u（y*， t*）近似表示為

式（10）中：X（t*）為廣義位移；φ（y*）為模態振型函數［19］，表達式為

式（11）中：β 為待定系數，求解公式為

將式（10）代入式（9），利用伽遼金方法離散化處理并考慮阻尼，可得

式（13）中：μ，ω，η分別為系統的線性阻尼系數、基頻和激勵系數；α1，α2分別為曲率非線性系數和慣性非線性系數。

注意到波浪激勵ξ（t）是不連續的，具有典型的非高斯特征，可用隨機時刻下的具有隨機振幅的離散隨機脈沖序列［20］表示。該過程通常用泊松白噪聲［21］模擬，其形式導數由復合泊松過程C（t）表示，有

式（14）中：NT為泊松計數過程；U（·）為階躍函數；Yi為第i次脈沖到達時刻ti的隨機振幅，且每個隨機振幅與到達時刻相互獨立。

復合泊松過程增量存在的關系為

設X1=X，X2=X·，式（13）可寫為狀態方程，即

支配該系統響應概率密度p=p（x1，x2，t）的廣義FPK方程為

式（17）中：K（·）為廣義FPK方程的微分算子，x為狀態向量，x=（x1，x2）；相應系數m1，m2，b22，b33，…，bnn分別為

m1=x2，m2=μ1+α2x21x2+ω21+α2x21x1+α11+α2x21x13+α21+α2x21x1x22，

b22=λE［Y2］（η1+α2x21）2，

b33=λE［Y3］（η1+α2x21）3，…

bnn=λE［Yn］（η1+α2x21）n。

上式中：E［·］為數學期望符號。

此外，廣義FPK方程的初始條件與邊界條件分別為

p（x，t|x0，t0）=p（x，t0）=δ（x-x0），limx→±∞ xp（x，t|x0，t0）=0。（18）

由于廣義FPK方程中存在無窮階偏導數項，通常需經過適當截斷對其進行數值求解。

2徑向基神經網絡法

一種求解廣義FPK方程的徑向基神經網絡法［22］如下。

假設式（17）的瞬時解為

式（19）中：N為激活函數的個數；σj=（σj，1，σj，2），μj=（μj，1，μj，2）分別為第j個激活函數的標準差與中心；q（k）=（q1（k），q2（k），…，qN（k））為一組時變的未定權值系數，k為時間步數，時刻t=kΔt，Δt為時間步長，k=1，2， …，n；Qj（x，μj，σj）為激活函數，其多元高斯函數形式為

瞬時解（式（19））和多元高斯函數（式（20））滿足歸一化條件，即

據此，可進一步推導出q（k）的約束條件為

利用有限差分法，式（17）左邊時間導數項可近似為

式（23）中：τt為與一階有限差分近似相關的截斷誤差。

將瞬時解（式（19））和式（23）代入式（17），可得到局部誤差為

式（24）中：

利用采樣技術，建立損失函數，有

式（26）中：NS為樣本點數。

結合約束條件（式（22）），構造一個擴展損失函數為

式（27）中：r（k）為拉格朗日乘子；權值向量z（k）=［q1（k），q2（k），…，qN（k），r（k）］T；向量c2=［0，0，…，1］T；參數g（k-1）=1Ns∑Nsi=1p*2（xi，q（k-1））；

矩陣B，向量c1（k）分別為

式（27）最小化的必要條件為

求解式（28），可得最優權值系數為

將最優權值系數q*（k）代入瞬時解中，可得系統的瞬態概率密度函數為

3數值結果分析

為保證文中方法的精度和有效性，采用蒙特卡羅模擬（MCS）結果進行對比驗證。高墩部分參數為H0=172 m，d=13.04 m，ρ=2 500 kg·m-3，E=30 GPa，I=1 419.32 m4，Cm=1.0，ρw=1 000 kg·m-3，μ=0.001。此外，采用的蒙特卡羅模擬樣本數為1.0×109。

首先，設置初始概率密度滿足正態分布，將中心域ΩG=［-2，2］×［-8，8］統一劃分為50×50的網格，取網格節點作為激活函數的中心，則激活函數的個數N=50×50。類似地，樣本域ΩS=［-4，4］×［-16，16］可劃分為100×100的網格，樣本點的個數NS=100×100，時間步長Δt=0.1 s。需注意，在以下參數分析中，可根據具體情形對樣本域進行細致調整，以保證計算結果的精度。同時，考慮到高階偏導數項對廣義FPK方程的貢獻很小，現僅保留前8階項。

在泊松與高斯白噪聲激勵下（等強度IP=λE［Y2］=D=0.1），高斯和泊松情形瞬態響應的結果如圖3所示。

圖3中：λ為平均到達率；E［Y2］為均方值；D為高斯激勵強度；符號表示模擬結果；直線表示理論解，下文類似。

由圖3可知：在泊松白噪聲激勵下，系統的響應略小于相應的高斯白噪聲激勵情形，但隨著平均到達率λ的增加（如當λ=25時），兩種結果幾乎重合，這說明以往研究采用的高斯白噪聲波浪模型的響應結果偏大，導致高墩結構的設計偏保守，同時也說明在激勵強度不變的情況下，泊松白噪聲的非高斯性與λ的取值有關，隨著λ的增大而減弱。

（a） 位移邊緣概率密度函數（b） 速度邊緣概率密度函數

不同浸入比（h/H0）的參數，如表1所示。

在泊松白噪聲激勵下，不同浸入比的位移邊緣概率密度函數，如圖4所示。

由圖4（a）可知：隨著h/H0增大，位移邊緣概率密度函數曲線向兩邊擴散，呈扁平化趨勢，放大了系統的響應，結構的振動位移分布偏向于更大值，可能會引起高墩結構的失效，在實際工程設計中需引起重視。

由圖4（b）可知：隨著時間變化，出現概率峰值向另一個更小的概率峰值過渡的現象，隨著h/H0增大，位移邊緣概率密度函數形態發生拓撲結構改變，圖像由單峰變為雙峰，這意味著較大的浸入比參數會誘導系統發生隨機p分岔，使系統從原先的單穩定狀態轉變為雙穩定狀態，激發了結構振動的不穩定性，增加了極端振動事件發生的概率，不利于高墩的設計及振動控制。對比模擬結果，理論解均具有較高的精度，驗證了徑向基神經網絡法在預測高墩系統瞬態響應方面的有效性。

不同質量比（m）的參數，如表2所示。保持h/H0=1不變，不同質量比下系統的位移邊緣概率密度函數，如圖5所示。

由圖5可知：質量比對系統位移邊緣概率密度函數的影響規律與浸入比類似，隨著m的提高，位移邊緣概率密度函數峰值均呈現出不斷下降的趨勢，系統的響應被放大；位移邊緣概率密度函數隨時間的演化規律與浸入比情形基本一致，但質量比情形下概率圖像出現的雙峰狀更為陡峭，且陡峭程度隨m的增大而增大，這說明質量比的增加會使系統處于更加不穩定的狀態，增加了結構可靠性降低的可能性，從而引發高墩結構失穩甚至破壞等安全問題。

綜上所述，浸入比和質量比是深水橋墩優化設計的兩個重要參數，在深水高墩結構的實際優化設計中，可通過適當減小這兩個參數，以實現結構更好的動力響應控制和抗振性能。

4結論

利用達朗貝爾原理和伽遼金法建立非高斯波浪力作用下高墩結構的非線性隨機動力學方程。在此基礎上，采用徑向基神經網絡法求解廣義FPK方程，得到系統響應概率密度函數的理論解，探究浸入比和質量比對系統響應的影響規律。結果表明，深水高墩結構響應隨著h/H0和m的增大而增加，在實際工程設計中要權衡這兩個重要參數的影響；波浪激勵模型的選取對高墩結構設計有著重要影響，采用高斯白噪聲波浪模型會導致設計偏于保守。文中結果可為深水高墩的優化設計提供一定的參考，所得的半解析理論解在結構設計和振動控制方面也有著很大的潛力，可被進一步開發和應用。

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（責任編輯： "錢筠英文審校： 方德平）