基于狀態變換的測井車永磁同步電機梯度下降法控制

李炳林 蔡軍陳 張志偉 楊雙業 樊勇利

測井車在石油勘探過程中起到了至關重要的作用，其中的永磁同步電機是控制測井設備的關鍵部件。提出一種針對測井車中永磁同步電機的魯棒控制策略，這種策略基于狀態變換技術，通過采用正切函數變換，將永磁同步電機的輸出有效地限制在所需的范圍內。基于此變換，構建了全新的永磁同步電機動力學模型，并利用模糊集理論處理系統中的參數不確定性。為進一步提高系統性能，采用求解Riccati方程的方式設計控制器，并成功地實現了對永磁同步電機的精確位置控制。在整個控制策略中，引入代價函數，并在其中加入一個正則化項。對代價函數進行優化，采用梯度下降法來調整控制參數，以提高系統的性能指標并降低控制成本。試驗結果表明，與目前最常用的控制策略相比，本研究方法在實現高性能、穩定性、可靠性的同時，降低了控制成本，可應用于電驅動裝置。

測井車；永磁同步電機；魯棒控制；代價函數；模糊集理論；Riccati方程

Gradient Descent Control of Permanent Magnet Synchromotor

for Legging Truck Based on State Transformation?Machinery Co.，Ltd.；3.CNPC National Petroleum Drilling Equipment Engineering Technology Research Center Company Limited）

Logging truck plays a crucial role in petroleum exploration，and the permanent magnet synchromotor （PMSM） is a key component in controlling logging device.In the paper，a robust control strategy for PMSM in logging truck was proposed，which，based on state transformation technology，by means of adopting tangent function transformation，effectively limits the output of PMSM within the required range.Moreover，based on this transformation，a new PMSM dynamic model was built，and the fuzzy set theory was used to deal with parameter uncertainty in the system.In order to further improve the system performance，a mode of solving Riccati equation was used to design a controller，and accurate position control of PMSM was successfully realized.In the entire control strategy，a cost function was introduced，and a regularization term was added.The cost function was optimized，and the gradient descent method was used to adjust control parameters to improve system performance indicators and reduce control costs.The test results show that compared with the most commonly used control strategies，this research method achieves high performance，stability and reliability while reducing control costs，and can be applied to electric drive devices.

logging truck;permanent magnet synchromotor；robust control；cost function；fuzzy set theory；Riccati equation

0 引 言

電驅動測井車是油氣田開采中的重要設備［1］。永磁同步電機（PMSM）作為測井絞車的動力源，影響著測井車的速度和運動穩定性。電機的功率和控制系統的設計會直接影響到測井車的速度、加速度、減速度等運動特性，影響測井絞車在測量和采集數據時的精確度［2］。穩定的電機能夠確保測井儀器的運動軌跡和數據采集的準確度。

永磁同步電機具有高輸出功率、高功率因數和優異的節能效果，在測井裝備中展現出明顯優勢。矢量控制［3-5］和直接轉矩控制技術［6-8］均可實現對永磁同步電機的無級調速。在永磁同步電機測井裝備中，矢量控制技術具有更廣泛的調速范圍，因此應用更為普遍。然而，非線性因素和不確定性對永磁同步電機的性能產生很大的影響，為了達到所需的控制性能，提出了許多有效的控制器。例如PID控制［9-11］，通過與模糊控制、粒子群算法、人群搜索算法等相結合，極大提升了系統的性能。滑膜控制［12-15］通過降低對不確定性的敏感性減少抖動并增強對未知外部干擾的抵抗能力，實現精確跟蹤。神經網絡［16-17］用永磁同步電機的全動態方程訓練神經網絡，實現電流的基于近似動態規劃的最優控制，對未知干擾在線估計和補償不確定性。

考慮到永磁同步電機的輸出狀態在測井車中需要滿足足夠的安全極限，應將輸出限制在期望的范圍之內。LI C.M.等［18］針對非線性不確定系統的有效控制，采用狀態變換的方式限制輸出在所需范圍內，并將此方法應用在車輛主動懸架座椅系統和電動電梯系統中，與LQR控制相比均具有優異的控制性能。LIU X.Y.等［19］對具有狀態和輸入約束的機電系統，設計兩級反饋結構的自適應魯棒控制方法，實現良好的穩定性、高跟蹤精度、快速響應和緩慢超調等綜合性能。CHEN Y.H.［20］深入探討了控制系統在約束下的優化問題，采用二階約束的代數模型，并通過伺服控制生成約束力以滿足性能要求。

綜上，針對油氣田開采中的測井需求，筆者將狀態變換、魯棒控制和梯度下降法相結合，建立具有不等式約束的永磁同步電機模型，提出一種永磁同步電機的魯棒控制方法，采用梯度下降法優化控制參數。該算法不僅能夠有效滿足不等式約束，還能夠優化系統的魯棒性。

1 具有不等式約束的永磁同步電機

模型

基于拉格朗日-麥克斯韋方程［21］，永磁同步電機的動力學方程為：

電機轉矩可以表示為：

設θm和θM為θr的最小值和最大值。該系統所需位置定義為θd，θd的最小值和最大值分別為θdm和θdM。在理想情況下，當時間趨近于正無窮時，電機位置θr將趨近于θd;但由于不確定性和干擾的影響，電機位置可能會超過θdm和θdM。因此，θr應滿足以下雙邊不平等約束：

θm<θr<θM（4）

根據狀態變換方法，雙邊不等式約束由正切函數變換。設置新的狀態變量s為：

其中

基于式（5）和式（6），當s=0時的角位置θr可跟隨所需的位置θd，可得：

基于式（6）和式（7），當s→0時，θr→θd，且滿足s∈（-∞，+∞）時，θr∈（-∞，+∞）。則有：

將式（7）、式（8）、式（9）帶入式（3），得到變換后的PMSM模型為：

其中：

2 模糊永磁同步電機系統的控制器設計

2.1 控制器設計

考慮永磁同步電機系統的不確定性，可用模糊集論進行描述。永磁同步電機系統被視為模糊永磁同步電機系統［22］，其數學模型為：

式中：y0為初始狀態；t0為初始狀態的時間，s。

由最優控制理論可知：若A、B穩定，則存在解P>0滿足如下Riccati方程：

ATP+PA-2PBR-1BTP+Q=0（19）

式中：Q、R均為半正定對稱矩陣;P為對稱矩陣。

對于模糊永磁同步電機系統式（15），提出一種高階魯棒控制如下：

u（t）=-R-1ξ（t）-kζ（y）R-1ξ（t）-v（t）（20）

其中：

在此控制中，k、ε、λ1、λ2和n都為控制參數。

2.2 參數優化

根據式（21）和式（22），參數k和ε對系統性能和控制成本有很大影響。因此，為了提高系統性能并降低控制成本，提出以下優化方法：

（1）在代價函數中，除考慮系統性能和控制成本，還要考慮參數k和ε的影響，以綜合評估控制器的性能和效果。

（2）應用梯度下降法優化算法尋求最優參數。對于代價函數中的參數k和ε，采用梯度下降法進行優化，以找到最優的參數值，從而提高控制器的控制精度和穩定性。

（3）驗證參數k和ε是否能夠最小化代價函數。將這些參數應用于控制器中，進行仿真試驗。在試驗過程中，記錄控制器的性能和效果，并計算出相應的成本函數值。最后，比較不同參數k和ε值下的成本函數值，以驗證參數k和ε是否能夠最小化代價函數。

在代價函數中，除了考慮系統性能和控制成本，還加入了正則化項，以防止過度擬合。正則化項用于懲罰模型的復雜度，從而避免過擬合的問題。具體來說，設計的代價函數為：

式中：L為均方根誤差，用于衡量模型預測值與真實值之間的平均二次誤差；λ為正則化參數，用于控制正則化項；N為樣本數量。

采用梯度下降法作為參數優化算法，通過下式計算參數的更新值：

ji+1=ji-η·J（ji）j=k、ε（24）

式中：η為學習率;ji+1為第i次迭代時j的值;J（ji）為第i次迭代時J在j處的偏導。

采用中心差分法計算J（ji）：

J（ji）=J（ji+h）-J（ji-h）/2h（25）

式中：h為一個微小量。

3 仿真分析與討論

永磁同步電機關鍵組件和結構如圖1所示。永磁同步電機的優化控制過程如圖2所示。包括建立永磁同步電機模型、描述參數不確定性、求解控制器增益矩陣、提出魯棒控制策略、參數優化和試驗比較等步驟。先采用狀態變換的方法建立永磁同步電機模型，并使用模糊集理論描述其參數不確定性；再通過求解Riccati方程獲得控制器增益矩陣P；并將魯棒性控制策略應用于模糊永磁同步電機；最后在代價函數中，使用梯度下降法優化參數k和ε的值。

在MATLAB仿真平臺上進行比較試驗時，選擇了目前最常用的SMC控制和PI控制作為對比算法，以驗證所提出的魯棒控制算法的有效性。同時，為證明參數優化的有效性，還增加了沒有參數優化算法的結果進行對比，以評估參數優化對控制器性能的影響。通過比較4種不同控制方案的跟蹤誤差、均方根誤差、電流波動和平均控制輸入電流等指標，評估控制器的性能和效果。其中，A表示魯棒控制，B表示無參數諧調的魯棒控制，C表示SMC控制，D表示PI控制，它們分別表示不同的控制方案。電機的參數詳見表1，包括電機的慣量、阻尼系數、轉子位置等。

對PMSM系統進行仿真研究，設置系統參數Je=0.000 109，Be=0.003 45，系統輸入信號θd= 2πsin（50t），δ1=2，δ2=2，n=2，θM=2π+0.15，θm=2π+0.15，系統的初始狀態為y（0）=［1，0.6］。

在使用梯度下降法為k和ε進行參數優化時，設定學習率η=0.1，最大迭代次數α為3 000，收斂容差為1×10-5。在仿真控制中，設置的采樣時間為0.25 s。通過MATLAB仿真，得到代價函數J與迭代次數的關系如圖3所示。由圖3可看出，隨著迭代次數的增加，代價函數J逐漸減小，最終趨于穩定。

采用梯度下降法優化控制參數，使代價函數J最小化。當迭代次數α=2 173時，通過MATLAB仿真得到代價函數J的值為0.123 98;對控制參數進行優化后，得到k=0.177 1，ε=-0.026 581。這說明優化算法能夠得到更好的控制參數，從而提高系統的控制性能和穩定性。圖4顯示代價函數J、控制參數k和ε與迭代次數α的關系。從圖4可看出，控制參數k和ε的變化會影響代價函數J的變化。通過梯度下降法進行優化后，得到最小的代價函數值，獲得最優的控制參數。

圖4顯示了永磁同步電機在不同控制方案下的轉子位置軌跡。其中，4種不同控制方案下的實際軌跡用不同線型表示。可以看出，在所有仿真中，實際軌跡都能夠遵循期望軌跡，但在不同控制方案下，實際軌跡的精度和穩定性有所不同。

具體來說，仿真A的軌跡最接近期望軌跡，表明本文提出的魯棒控制方法具有更好的控制精度和穩定性，較目前最常用的SMC和PID控制更加有效。仿真B的軌跡比仿真A略有偏差，但仍然比SMC和PID控制好，這證明采用參數優化算法的魯棒控制能夠獲得更好的控制性能。

圖5為控制器的性能對系統軌跡的影響。相對而言，目前最常用的SMC和PID控制中，實際軌跡的偏差較大，這2種控制方法的控制精度較低，系統的穩定性也較差。相比之下，本文提出的魯棒控制方法能夠更好地保持系統的穩定。

在控制系統中，初值對跟蹤誤差有著重要的影響。為消除這種影響，這里只對穩定后的誤差進行分析，舍棄了前期不穩定時的誤差值。圖6顯示了不同控制方法下的系統誤差，theam表示電機轉子所約束的最小值，theaM表示電機轉子所約束的最大值。結果表明，采用狀態轉換方法和基于梯度下降法的控制方法（仿真A）能夠提供最佳的控制效果，其次是采用狀態轉換方法提出的控制方法，最后是PI控制和SMC控制。

分析系統誤差后，發現所提出的魯棒控制策略具有較好的控制精度和穩定性，能夠有效地抑制系統誤差的產生。與PI控制和SMC控制相比，本文提出的控制策略能夠更好地保持系統的穩定性和控制精度，具有更高的實用性和可操作性。

為合理評估控制系統的性能并綜合考慮系統的穩定性和跟蹤性能，本文采用均方根誤差來評估控制效果和反應誤差的整體水平。

圖7顯示了4種控制方案下的均方根誤差。結果表明，仿真A和B的控制效果比PI控制和SMC控制要好，其均方根誤差分別為0.012和0.027；而PI控制和SMC控制的均方根誤差分別為0.044 6和0.100 4。在仿真A和B中，仿真A的控制效果比B更好，其均方根誤差是B的44.44%。

圖8顯示了PMSM在4種控制方案下電流隨時間的變化。結果表明，采用狀態轉換方法和基于梯度下降法的控制方法可以有效地抑制電流波動，提高系統的穩定性和控制精度。但PI控制和SMC控制的電流波動較大，這也與其均方根誤差較大的結果相一致。在4種控制方案中，仿真A和B的電流波動要比C和D小，這也與其均方根誤差較小的結果相一致，說明仿真A和B的控制效果優于C和D。

圖9顯示了PMSM在4種控制方案下的平均控制輸入電流。其中，仿真A的平均電流為0.185 A，而B的平均電流為0.553 7 A。結果表明，采用狀態轉換方法和基于梯度下降法的控制方法可以有效地降低控制成本，提高系統的控制效率。但PI控制和SMC控制的平均電流較大，這也與其均方根誤差較大的結果相一致，說明本文所提的控制方法與PI控制和SMC控制的控制相比，控制成本僅為目前最常用的PI控制和SMC控制的19.1%。在4種控制方案中，仿真A和B的平均電流要比C和D小，這也與其均方根誤差較小的結果相一致，說明仿真A和B的控制效果優于C和D，并且在控制成本方面也具有一定的優勢。

4 結 論

通過對測井車中的永磁同步電機的傳統數學模型進行推導，建立了基于狀態變換的測井車電機自動控制系統模型，對控制參數進行優化，然后對仿真結果進行了穩定性分析，同時還分析了不同控制下各個控制器的控制性能。基于以上研究得出如下結論：

（1）所推導的測井車電機控制系統的數學模型可以為測井作業深度的自動、精準調節提供理論依據，從而提高測井作業的準確性和高效性。

（2）建立了測井車電機自動控制系統基于狀態變換的數學模型，通過仿真結果分析，系統具有較好的穩定性和快速性，符合工程控制技術的要求，可為控制工程領域提供一種新的思路。

（3）提出的魯棒控制策略的控制成本僅為工業中常用的控制方法的19.1%，系統的綜合控制性能卻得到的極大的提高。具有顯著的經濟效益和使用價值。

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