探討與一次函數有關綜合題的求解思路

摘? 要：在初中數學學習中，深刻理解數學概念、公式、定理、性質是學好數學的關鍵.在初中數學教學中，教師需根據學生的認知水平和教材特點，有意識地引導學生分析解題思路，培養解題思維，進而引導學生發現新知識，探索新知領域.文章以一次函數為例，探討與其有關的綜合題的求解思路.

關鍵詞：一次函數；綜合題；求解思路

中圖分類號：G632??? 文獻標識碼：A??? 文章編號：1008-0333（2024）14-0064-03

收稿日期：2024-02-15

作者簡介：鄭振養（1976.8—），男，本科，一級教師，從事初中數學教學研究.

在初中數學學習中，一次函數常常與其他知識相結合，能夠形成各式各樣的綜合性問題．這類綜合題涉及的知識點多，求解方法靈活多樣，具有一定的選拔性功能，對學生的數學素養要求較高．在具體解題過程中，有些學生對這類題感到無從下手［1］．基于此，筆者以一次函數有關的中考題為例，介紹這類問題的求解思路［2］．

1 一次函數和正比例函數的綜合題

一次函數是初中數學中最基本的函數，正比例函數是一次函數的特殊形式，除了具有一次函數的性質外，還具有一些特殊性質.對一次函數y=kx+b而言，當k＞0時，y隨x的增大而增大；當k＜0時，y隨x的增大而減小.

1.1 一次函數和正比例函數的定義

在理解定義時需要注意以下兩個方面：第一，在一次函數y=kx+b中，之所以要規定k≠0，這是因為當k=0時，y=b，此時不論x取什么實數，函數y的值總是等于常數b，這是常數函數，所以要規定k≠0；第二，從正比例函數的定義可以得出，正比例函數是一次函數的特例．

例1? 寫出下列函數關系式，并判斷有哪些屬于一次函數，哪些屬于正比例函數？

（1）正三角形周長W與其邊長a之間的關系；

（2）正方形面積S與其邊長x之間的關系．

解析? （1）由正三角形的定義易得W=3a，自變量a是W的一次函數，常數項為0，因此正三角形的周長W與其邊長a之間的關系也是正比例函數.

（2）S=x2，因變量是S，自變量是x，x的次數是2，它既不是一次函數，也不是正比例函數．

1.2 一次函數與正比例函數的解析式

一次函數的解析式y=kx+b中有兩個待定系數k和b，確定了它們的值就確定了一個一次函數，故一般需要兩個條件才可確定一個一次函數.正比例函數的解析式y=kx中只有一個待定系數k，確定了它的值就確定了一個正比例函數，故一般只需一個條件就可以確定一個正比例函數．

例2? 某一次函數的圖象過點（-2，2）和（2，0），求其解析式．

解析 ?設其解析式為y=kx+b，根據題意可知2=-2k+b，0=2k+b，解之得，k=-1/2，b=1，故所求一次函數解析式是y=-1/2x+1.

點評? 在求函數解析式時，正比例函數都應設為y=kx（k≠0）的形式.一次函數都應設為y=kx+b（k≠0）的形式，然后根據題意列方程（組）求出待定系數即可寫出其解析式．

2 一次函數與反比例函數相結合

正比例函數與一次函數的圖象都是直線，故可稱直線y=kx和直線y=kx+b，前者是過點（0，0）和（1，k）的直線，而后者是過點（0，b）與（-b/k，0）的直線，直線y=kx和y=kx+b互相平行，事實上，后者可看作是由前者向上或向下平移|b|個單位長度得到的.例如，y=3x+2與y=3x-2可分別由直線y=3x向上平移2個單位和向下平移2個單位而得到.常數k代表圖象的傾斜程度，b表示圖象在y軸上的截距，即直線與y軸交點的縱坐標，它們的符號決定著直線的位置.即當k＞0時，直線必過第一、三象限；當k<0時，直線必過第二、四象限；當b＞0時，直線交y軸于正半軸；當b=0時，直線過原點；當b＜0時，直線交y軸于負半軸．

例3? 如圖1所示，一次函數y=ax+b與反比例函數y=k/x相交于點A（3，4），B兩點，點B的縱坐標為1．

（1）直接寫出a=，b=，c=；

（2）如圖2，點M（0，m）在y軸上，連接AM，BM，當△ABM的面積為15時，求m的值；

（3）關于x的不等式ax+b＜k/x的解集是．

解析? （1）a=-2/3，b=6，k=12；

（2）如圖2所示，設直線y=-2x/3+6交y軸于點C，易知C（0，6），因為S△ABM=S△CBM-S△ACM=15，所以CM（6-3）/2=15，所以CM=10，所以m的值為16或-4；

（3）根據函數圖象可知，關于x的不等式ax+b＜k/x的解集為0＜x＜3或x＞6．

點評? 一次函數與反比例函數圖象相結合充分體現數形結合的思想方法，這類問題其題型廣泛，求解方法靈活，能夠綜合考查基礎知識與基本技能.問題（3）是不等式問題，體現了函數與不等式之間的關系，求解時需根據一次函數圖象與反比例函數圖象的位置關系確定不等式的解集．

3 一次函數與圖形面積相結合

例4? 如圖3所示，在平面直角坐標系中，一次函數y=2x+6圖象分別交x軸、y軸于點A，B，一次函數y=-2x+t的圖象經過點B，并與x軸交于點M，點Q是直線AB上的一個動點．

（1）求△AOB的面積；

（2）動點Q在直線AB上，當△AMQ的面積為21時，求出點Q的坐標．

解析? （1）易求得A（-3，0），B（0，6），所以OB=6，OA=3，所以1/2OA·OB=9.

（2）根據已知條件易得t＝6，所以直線BM的解析式為y＝-2x+6，易知當y＝0時，x=3，所以M（3，0）.當△AMQ的面積為21時，（AM·Qy）/2=21，所以Qy=7，即滿足條件的點Q坐標為（0.5，7）或（-6.5，-7）．

點評? 一次函數與圖形面積的結合，讓學生體會到函數、坐標、圖形面積之間的關系，以及數形結合思想、化歸轉化思想、方程思想、分類討論思想在解題中的運用，有助于發展學生的數學思維．

4 一次函數與比例性質結合

例5? 若abc≠0，且（a+b）/c=（b+c）/a=（a+c）/b=2m，則直線y=mx+m的一定經過哪些象限？

解析? 顯然，需根據已知條件確定出m的值.由等比的性質可得［2（a+b+c）］/（a+b+c）=2m，所以m=1，所以一次函數的表達式為y=x+1，圖象經過第一、二、三象限；當a+b+c=0時，則m=-1/2，一次函數y=-x/2-1/2的圖象經過第二、三、四象限，所以一次函數y=mx+m的圖象一定過第二、三象限．

5 一次函數與圓的切線結合

例6? 如圖4，直線 y=-3x/4-3 交x軸于點A，交y軸于點B，點P是x軸上一動點，以點P為圓心，1個單位長度為半徑作⊙P，當⊙P與直線AB相切時，點P的坐標是．

解析? 當⊙P與直線AB相切時，如圖6所示，因為y=-3x/4-3 ，所以A-4，0，B0，-3，所以OA=4，OB=3，所以AB=32+42=5.

作PD⊥AB于D，則∠ADP=∠AOB=90°，∠PAD=∠BAO，所以△APD∽△ABO，所以PD/OB=AP/AB.當PD=1時，⊙P與直線 AB 相切，即1/3=AP/5，解得AP=

5/3，所以OP=7/3.同理可得 OP′=

17/3，所以點P的坐標為-7/3，0或 -17/3，0．

點評? 解決一次函數與圓的切線相結合的數學問題，學生需熟悉圓的切線的性質.這類問題綜合性強，靈活運用直線與圓的位置關系是解題的關鍵.

6 一次函數與二次函數相結合

例7? 在平面直角坐標系中，一次函數y=-2x+5的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點，二次函數y=ax2+bx（a≠0）的圖象經過點A．

（1）求點A，B的坐標；

（2）若二次函數y=ax2+bx（a≠0）的圖象經過線段AB上的點C（不含A、B兩點），且BC=5，求二次函數的關系式．

解析? （1）令x=0，y=5，則B（0，5）.令y=0，則-2x+5=0，所以x=5/2，即A（5/2，0）.

（2）設點C（m，-2 m+5），因為B（0，5），所以BC=m2+（-2m+5-5）2=5|m|，故m=±1.因為C在線段AB上，所以m=1，所以C（1，3）.將點A（5/2，0），C（1，3）代入y=ax2+bx（a≠0）中，得6.25a+2.5b=0，a+b=3，所以a=-2，b=5.所以二次函數的關系式為y=-2x2+5x．

點評? 本題主要考查一次函數圖象與二次函數圖象的交點問題，仔細分析條件和結論，先求出直線與坐標軸的交點坐標，然后利用勾股定理，建立方程求出C點坐標，從而解決問題．

7 結束語

在解決與一次函數有關的綜合性問題時，學生應在觀察、分析、應用中，歸納總結出很多新的知識、新的學習思路及解題規律.運用恰當的學習方法，對后續學習初中數學知識有更好的延展性．

參考文獻：［1］ 程蘭.以一次函數為背景的規律探究［J］.初中生學習指導，2022（7）：10-12.

［2］ 張元超.“一次函數”單元整體復習［J］.初中生輔導，2022（9）：33-34，11.

［責任編輯：李? 璟］