運用問題導學　探究概念本質

陳玉麗

［摘 要］數學概念的掌握程度直接影響學生數學思維的發展。在核心素養導向下，初中數學概念教學要走出“說教式”的誤區，采取問題導學策略，引導學生把握數學概念的本質。文章以“二次根式”教學為例，探討問題導學法在初中數學概念教學中的運用策略。

［關鍵詞］數學概念；問題導學；二次根式

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻標識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2024）11-0008-03

《義務教育數學課程標準（2022年版）》特別強調促進學生對數學概念的理解。數學概念是數學學習的基礎，如何有效地進行數學概念教學，提高學生的學習效率，是當前初中數學教學面臨的重要問題。問題導學法是一種以問題為核心，引導學生主動探究和學習的教學方法，其在多個學科領域都得到了廣泛的應用。本文以“二次根式”教學為例，探討問題導學法在初中數學概念教學中的運用策略，以期為初中數學概念教學提供新的思路和方法。

“二次根式”是蘇科版教材八年級下冊第12章的起始課，在本章中具有非常重要的地位，是把握本章各類題型的關鍵突破口。在此之前，學生已經掌握了與“二次根式”相關的一系列概念，如平方根、實數等。因此，在這一節課的教學中，教師運用問題導學法為學生搭建思維平臺，使他們主動參與到“二次根式”的學習過程中。

一、借助問題導入，引導溫故知新

在初中數學概念教學中，借助問題導入可引導學生溫故知新，深化學生對數學知識的理解與應用。因此，教師應靈活運用問題導入法，創設具有啟發性的問題情境，引導學生主動思考、分析、解決問題。

在本節課中，筆者這樣設計導入環節：

師：上學期，我們已經學習了有關“平方根”的知識，接下來老師要考一考你們，什么數的平方是[25]？[25]的平方根是多少？

生1：±[5的平方是25。]

生2： 25的平方根有兩個，一個是[5]，另一個是[-5]。

師：平方與開平方之間存在怎樣的關系？

生3：它們之間是互逆的。

師：18的平方根和算術平方根分別是多少？

生4：18的平方根[是±18]，它的算術平方根是[18。]

師：看來這一些問題都難不倒大家。那么，誰能說一說什么是平方根？

生5：可以先假設[x2=a]，則[x]就是[a]的平方根，也是二次方根。

師：現在式子中出現了一個[a]，你能否描述[a]的特征，并說明為什么。

生6：[a≥0]。在之前的規律總結中可以知道任意數的平方都是非負數。

師：現在老師又有一個新問題，正數[a]的算術平方根應該是多少？

生7[：a]。

上述教學環節中，教師所設計的問題逐級深入，目的是引導學生回顧、梳理舊知，為接下來的教學活動的順利推進奠定基礎，為學生后續的學習做好充分的準備。

二、運用問題導學，促進概念形成

概念形成是數學概念學習的重要環節。讓學生經歷數學概念的形成過程，有利于加深學生對數學概念的理解。問題導學是一種以問題為核心，引導學生主動探究和學習的教學模式。教師通過設置一定的問題情境，引發學生思考和探究。將問題導學應用于初中數學概念教學，可以有效引導學生經歷概念的形成過程，提高學生的學習效率。

在本課的第二個環節中，筆者通過問題導學法引導學生經歷二次根式概念的探究過程。

1.提出導學問題

問題1：一個正方形的面積為4，它的邊長是多少？如果要用帶根號的式子進行表示，你認為應該怎么表示？假如正方形的面積為[S]，邊長又應該怎樣表示？

問題2：一個長方形的面積為10，已知長為寬的2倍，如何求解長與寬？請嘗試使用帶根號的式子進行解答。

問題3：已知小球的初速度為零，它從距離地面為[h]的高度自由下落，經歷時間[t]后到達地面。根據已知條件可以得出[h]關于[t]的數學表達式為[h=5t2]。應該如何表達[t]關于[h]的數學表達式？當[h]分別為0，20，40，55時，[t]分別是多少？同樣使用帶根號的式子進行解答。

2.引導學生探究

將學生分成小組，每個小組4～5人，每組選擇兩個問題進行合作探究，小組成員進行討論和協作，共同完成探究任務。教師巡視指導，提供必要的幫助。

3.組織反饋交流

師：哪一組同學來匯報問題1的探究結果？

生1：一個正方形的面積為4，它的邊長為2，也就是[4]。一個正方形的面積為S，它的邊長為[S]。

師：你們又是如何解答問題2的呢？

生2：可以先設長方形的寬為[x]，由此可知長方形的長為[2x]，[S長=2x2=10]，進而解得[x2=5]，若使用帶根號的式子進行解答，則長為2[5]，寬為[5]。

師：問題3有一定的難度，哪一組同學已經解出來了？請派代表說一說。

生3：想要求解[t]關于[h]的數學表達式，可以根據已知條件將[h]與[t]的位置互換，由此可以得出[t=h5]。當[h]分別為0，20，40，55時，[t]分別為0，[4]，[8]，[11]。

上述教學環節中，借助問題導學的目的就是引導學生對二次根式進行自主探究，促使他們嘗試使用帶根號的式子進行解答，使他們能夠深刻體會一般形式的數字和帶根號的數字之間的聯系，為接下來的深入學習奠定基礎。同時，以問題驅動學生學習，能夠更好地調動學生參與學習的積極性，使學生養成良好的獨立思考習慣。

三、創設探究平臺，探究概念性質

在初中數學概念教學中，教師可借助問題鏈為學生創設探究平臺，使學生在問題層層深入的引導下，不斷激發求知欲望，產生創新研究的意識，從而發展數學思維。

二次根式是一個數學表達式，其中包含一個被開方數和一個根號符號。二次根式具有一些重要的性質，這些性質對于幾何學、統計學、物理學等領域都有著重要的應用價值。

在這一節課中，筆者這樣引導學生探究二次根式的性質：

師：通過前面的學習，你現在能說一說[2]的具體意義嗎？

生1：[2]可以看成是2的算術平方根。

師：現在有這樣一個表達式（[2]）2，你認為應該如何計算？

生2：在計算這個表達式時可以對比算術平方根的意義，我認為[（2）2=2]。

師：請大家繼續計算（[4]）2，（[9]）2，（[0.01]）2，（[30]）2。

（學生很快就給出了具體的答案，教師進行相應評價。）

師：那么，你能否嘗試列舉具有相同特征的其他式子？

（學生在小組內舉例驗證并交流。）

師：在這些式子中，又存在怎樣的規律？能不能用字母進行表示？

生3：我認為可以用[（a）2=a]來表示。

生4：我覺得不對，這里的[a是]有取值范圍的。

師： [a的]取值范圍是多少呢？

生4：不能是負數。

師：那么應該怎樣對這個式子進行完善呢？

生5：當[a≥0]時，[（a）2=a]。

師（板書）：這一式子得以成立的算理是什么？

生6：通過求解算術平方根，我們可以發現它與平方運算是互逆的，而且平方結果都是非負數，所以[a]必然是非負數。

本教學環節是以上一教學環節的概念習得為基礎，要求學生完成觀察、舉例，并自主猜想二次根式的性質，然后進行科學說理，形成深刻理解。為使學生深刻理解二次根式的性質，為學生打開二次根式的性質的探究之旅，教師不斷追問，引導學生基于定義推導出重要性質。在這個過程中，學生經歷了由特殊到一般的探究過程，自主推導出了二次根式的性質，對二次根式有了更加深刻的理解。

四、進行適度拓展，促進概念內化

在初中數學概念教學中，幫助學生深入理解和內化數學概念是教師的重要任務。然而，由于初中生的認知水平有限和思維能力尚不成熟，要實現對數學概念的深入理解和內化并不容易。因此，教師可以進行適度拓展，以促進學生對數學概念的內化。

教學中，筆者給學生呈現以下題目：給定兩個二次根式 [a]和[b]，其中[a]和[b]均為整數，求[a+b]的值。讓學生先獨立思考，然后在小組內交流。對于這一道題，學生要根據已有的知識進行分類討論：（1）如果[a]和[b]均為完全平方數，即[a=m2]，[b=n2]，其中[m]和[n]均為整數，那么 [a+b=m+n]。（2）如果[a]和[b]中只有一個為完全平方數，假設[a=m2]，其中[m]為整數，而[b]不是完全平方數，那么[ a+b=m+b]。（3）如果[a]和[b]都不是完全平方數，則可以使用數值逼近的方法來求 [a+b]的值。對于第三種情況，可以引入牛頓迭代法的相關內容，以此拓寬學生的學習視野，為他們的后續學習奠定基礎。

適度拓展是促進學生對數學概念進行內化的有效方法。通過提供多樣化的教學材料，采用啟發式教學方法，對教學內容進行適度深化和拓展，可以幫助學生更好地理解和掌握數學概念，提高他們的思維能力和解決問題能力。因此，教師應根據學生的實際情況，對教學內容進行適度拓展，以促進學生對數學概念的內化。

五、設計層次性練習，引導方法遷移

在初中數學概念教學中設計層次性練習，有助于學生深入理解數學概念，提高他們的理解能力和思維能力。教師可以設計不同類型的練習，有效引導學生運用知識解決問題，提高他們的解決問題能力。在這過程中，教師可以采取及時反饋、多樣化教學和強化實踐等方法，有效設計層次性練習，提高練習質量。

1.基礎性練習

求使下列二次根式有意義的未知數[x]的取值范圍。

[x2-3x+4]? ?[3y-1+1-3y]

[x+4x-4] [y-10=1]

2.變式性練習

（1）已知[x-5+y+9]=0，[yx]的值是多少？

（2）已知[2x+1+3x-2y+（x+y+z）2=0]， [x、y、z]的值分別是多少？

3.提高性練習

已知[a]滿足[2003-a+a-2003=a]，求[a-2003]2的值。

上述練習的思維含量豐富，三道練習題的設計關注了三個不同的視角：（1）使二次根式有意義的前提是什么？其中涉及哪些重要知識點？（2）當多個非負數的和為零時，如何確定其取值？（3）如何深挖二次根式的隱含條件，進而計算出正確的結果？

總之，數學概念是數學的基礎，也是數學思維的生長點。問題導學法在“二次根式”教學中具有重要的作用，通過問題的引導，可以激發學生的學習興趣和好奇心，提高學生解決問題的能力。在核心素養導向下，教師要多樣化設計概念教學，為學生搭建良好的思維平臺，促使學生自主思考、挖掘潛能、發展思維。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?］

［1］? 馬霞.初中數學課堂中問題導學法的運用策略［J］.中學課程輔導，2023（21）：39-41.

［2］? 黃福君.淺談問題導學法在初中數學教學中的應用［J］.試題與研究，2023（12）：69-71.

［3］? 吳婷.問題導學視角下的初中數學教學方法探究［J］.教師，2023（6）：30-32.

［4］? 陳東欣.巧設問題，創建活力四射的初中數學課堂［J］.亞太教育，2022（9）：136-138.

（責任編輯 黃桂堅）