基于關(guān)鍵能力考查的“解三角形中的最值與范圍問題”微專題復(fù)習(xí)課教學(xué)

黃柱鳳　陳兆堅(jiān)

［摘 要］基于高考評(píng)價(jià)體系和數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)，高考數(shù)學(xué)命題越來(lái)越加強(qiáng)對(duì)關(guān)鍵能力的考查，由考知識(shí)向考能力轉(zhuǎn)變。解三角形中的最值與范圍問題是高考數(shù)學(xué)的考查熱點(diǎn)，是考查學(xué)生關(guān)鍵能力的重要載體。結(jié)合學(xué)生的學(xué)情，通過微專題復(fù)習(xí)，可讓學(xué)生不僅掌握利用基本不等式和三角函數(shù)求解三角形中的最值與范圍的方法，而且能夠讓學(xué)生通過比較和思考，發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律和策略。文章以高三復(fù)習(xí)課“解三角形中的最值與范圍問題”為例對(duì)基于關(guān)鍵能力考查的微專題復(fù)習(xí)課教學(xué)進(jìn)行探討。

［關(guān)鍵詞］關(guān)鍵能力；解三角形；最值；范圍

［中圖分類號(hào)］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號(hào)］? ? 1674-6058（2024）08-0033-03

縱觀近幾年的高考數(shù)學(xué)試卷，解三角形中的最值與范圍問題考查頻率不低，一般處于解答題第二小問的位置，分值大多為5～6分。對(duì)于解三角形中的最值與范圍問題，筆者結(jié)合本校學(xué)生的實(shí)際情況，采用微專題的形式引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)。而選擇入口小、針對(duì)性強(qiáng)的微專題，能讓學(xué)生在完成相關(guān)知識(shí)內(nèi)容復(fù)習(xí)的同時(shí)，培養(yǎng)邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

本文以高三復(fù)習(xí)課“解三角形中的最值與范圍問題”為例，對(duì)基于關(guān)鍵能力考查的微專題復(fù)習(xí)課教學(xué)進(jìn)行探討。

一、教學(xué)過程

（一）憶一憶

【例1】［廣西南寧市2023屆高中畢業(yè)班第一次適應(yīng)性測(cè)試數(shù)學(xué)（理科）第17題］在[△ABC]中，角[A、B、C]的對(duì)邊分別為[a、b、c]，已知[（b-c）（sinB+sinC）=a（sinA-sinC）? ]。

（1）求[B]；

（2）若[△ABC]為銳角三角形，[b=3]，求[a2+c2]的取值范圍。

解：（1）由[（b-c）（sinB+sinC）=a（sinA-sinC）]，根據(jù)正弦定理可得[（b-c）（b+c）=a（a-c）]，

所以[a2+c2-b2=ac]，由余弦定理可得[cosB=a2+c2-b22ac=12]，∵[B∈（0，π）]，∴[B=π3]。

（2）由余弦定理得[b2=a2+c2-2accosB]，所以[3=a2+c2-ac]，即[a2+c2=3+ac]，

由余弦定理得[asinA=csinC=bsinB=332=2]，即[a=2sinA]，[c=2sinC]，又[C=2π3-A]，所以[ac=4sinAsinC=4sinAsin2π3-A=23sinAcosA+2sin2A][ =3sin2A-cos2A+1=2sin2A-π6+1]，由[△ABC]為銳角三角形，得[0

對(duì)于第（2）小問，學(xué)生利用基本不等式求出了最大值，但取值范圍的左端點(diǎn)求不出。可見，學(xué)生對(duì)基本題型的解題策略不熟悉。

設(shè)計(jì)意圖：通過回顧廣西南寧市2023屆高中畢業(yè)班第一次適應(yīng)性測(cè)試數(shù)學(xué)（理科）第17題，讓學(xué)生知道在解決三角形中的取值與范圍問題時(shí)，可以先把邊轉(zhuǎn)化成角，再利用三角函數(shù)求解，為本節(jié)復(fù)習(xí)課的教學(xué)做好鋪墊。

變式1：若[b=3]，求[a2+c2]的最大值。

設(shè)計(jì)意圖：第（2）小問條件不變，問題改變，把求取值范圍變成求最大值，可由此喚醒學(xué)生利用基本不等式求最值的經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)為引出例題做好鋪墊。

（二）講一講

【例2】（2020年全國(guó)高考新課標(biāo)Ⅱ卷理科數(shù)學(xué)第17題）[△ABC]中，[sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC]。

（1）求[A]；

（2）若[BC=3]，求[△ABC]周長(zhǎng)的最大值。

解：（1）設(shè)[△ABC]三個(gè)內(nèi)角[A]、[B]、[C]的對(duì)邊分別為[a]、[b]、[c]，由正弦定理[asinA=bsinB=csinC=2R]得[a2-b2-c2=bc]，由余弦定理得[cosA=b2+c2-a22bc=-12]，∵[A∈（0，π）]，∴[A=2π3]。

（2）解法一：（利用基本不等式）

由（1）以及余弦定理得[a2=b2+c2-2bccosA]，代入數(shù)據(jù)化簡(jiǎn)得[a2=b2+c2+bc]， 即[（b+c）2=a2+bc=9+bc]，故[bc=（b+c）2-9]，由均值不等式得[bc≤b+c22]，將其代入上式得[（b+c）2-9≤（b+c）24]，

當(dāng)且僅當(dāng)[b=c]時(shí)等號(hào)成立，解得[b+c≤23]，所以[△ABC]的周長(zhǎng)[a+b+c]的最大值為[3+23]。

解法二：（利用三角函數(shù)）

由正弦定理得[bsinB=csinC=asinA=23] ，即[b=23sinB]，[c=23sinC]。

記[△ABC]的周長(zhǎng)為[C△ABC]，則[C△ABC=3+23（sinB+sinC）]，

[∵A+B+C=π]， [∴C=π3-B]且[B∈0，π3]，[C△ABC=3+23sinB+sinπ3-B=3+23sinB+π3]，

[∵B+π3∈π3，2π3] 所以當(dāng)[B+π3=π2]時(shí)，[sinB+π3]有最大值1，所以[△ABC]的周長(zhǎng)的最大值為[3+23] 。

設(shè)計(jì)意圖：本題的重點(diǎn)在于第（2）小問，它可以采用兩種解法進(jìn)行解答，進(jìn)而復(fù)習(xí)鞏固用基本不等式和把邊轉(zhuǎn)化成角利用三角函數(shù)求最值的方法。而該題運(yùn)用基本不等式求最值更便捷。該小問的難點(diǎn)是方法的選取和三角函數(shù)的化簡(jiǎn)。課堂上，教師首先投影學(xué)生做題情況并讓學(xué)生講解思路，然后對(duì)學(xué)生的答題規(guī)范情況和思路進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，最后給出規(guī)范的解答過程。

變式2：（2）求[△ABC]周長(zhǎng)的取值范圍。

設(shè)計(jì)意圖：利用基本不等式，只能求出取值范圍的最大值，取值范圍的左端點(diǎn)只能依據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊；利用三角函數(shù)，取值范圍的左右端點(diǎn)依然可以結(jié)合角的范圍得到，此題并沒有體現(xiàn)三角函數(shù)求取值范圍的通法的優(yōu)越性。

變式3：（2）在銳角[△ABC]中，若[A=π3]，[BC=3]，求[△ABC]周長(zhǎng)的取值范圍。

設(shè)計(jì)意圖：增加“在銳角三角形中”這一條件，如果利用基本不等式求解，用不到銳角三角形這個(gè)條件；但如果把邊轉(zhuǎn)化成角再利用三角函數(shù)求取值范圍，可以直接利用銳角三角形角的范圍求解。該變式體現(xiàn)了三角函數(shù)解法的優(yōu)越性和通用性，讓學(xué)生感受到這兩種解法的區(qū)別，從而總結(jié)兩種解法及其適用條件。

（三）測(cè)一測(cè)

在[△ABC]中，角[A、B、C]所對(duì)的邊分別為[a、b、c]，已知[3b=2asinB]。

（1）求角[A]的大小；

（2）若[a=6]，求[b+c]的取值范圍。

解：（1）由[3b=2asinB]及正弦定理化簡(jiǎn)得[3sinB=2sinAsinB]，

∵[sinB≠0] ， ∴[sinA=32]， 由銳角三角形知[A=60°]。

（2）由正弦定理得[bsinB=csinC=asinA=43]，故[b=43sinB]，[c=43sinC]，[∵A+B+C=π]，[A=60°]，∴ [C=120°-B]，

[∴b+c=43sinB+sin（120°-B）=4332sinB+32cosB=12sin（B+30°）]，

由銳角三角形得[0°

由三角函數(shù)圖象知[sin（B+30°）∈32，1]， ∴[b+c=12sin（B+30°）∈63，12]。

設(shè)計(jì)意圖：本題的重點(diǎn)在于第（2）小問，讓學(xué)生對(duì)在例題和變式中總結(jié)的解法進(jìn)行演練，學(xué)會(huì)快速地選擇求取值范圍的方法，熟練地把邊轉(zhuǎn)化成角再利用三角函數(shù)求解。

（四）拓一拓

（1）（2014年全國(guó)高考新課標(biāo)Ⅰ卷理科數(shù)學(xué)第16題）已知[a、b、c]分別為[△ABC]三個(gè)內(nèi)角[A、B、C]的對(duì)邊，[a=2]，且[（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC]，則[△ABC]面積的最大值為? ? ? ? ? ? ? ?。

（2）（2011年全國(guó)高考新課標(biāo)理科數(shù)學(xué)第16題）在[△ABC]中，[B=60°]，[AC=3]，則[AB+2BC]的最大值為? ? ? ? ? ? ? 。

（3）（2019年全國(guó)高考新課標(biāo)Ⅲ卷理科數(shù)學(xué)第18題）[△ABC]的內(nèi)角[A、B、C]的對(duì)邊分別為[a、b、c]，已知[asinA+C2=bsinA]。

（Ⅰ）求[B]；

（Ⅱ）若[△ABC]為銳角三角形，且[c=1]，求[△ABC]面積的取值范圍。

設(shè)計(jì)意圖：該環(huán)節(jié)的訓(xùn)練題選自高考真題，一方面讓學(xué)生了解此類題型在高考中出現(xiàn)的頻率不低，另一方面讓學(xué)生進(jìn)一步加深和鞏固對(duì)該題型的理解，學(xué)會(huì)靈活應(yīng)用，進(jìn)而提升學(xué)生解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維。

二、教學(xué)反思

（一）精選習(xí)題

本節(jié)課的習(xí)題選用模擬題、高考真題及相應(yīng)變式，具有代表性和典型性。以廣西南寧市2023屆高中畢業(yè)班第一次適應(yīng)性測(cè)試數(shù)學(xué)（理科）第17題作為例題，對(duì)近十年全國(guó)高考數(shù)學(xué)試卷中的解三角形中的最值與范圍問題進(jìn)行分析。該類題型以中等難度題和基礎(chǔ)題為主，通常利用基本不等式和三角函數(shù)來(lái)求解。為了更好地讓學(xué)生復(fù)習(xí)鞏固舊知、獲取新知，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，教師精選習(xí)題。本節(jié)課教師選取2020年全國(guó)高考新課標(biāo)Ⅱ卷理科數(shù)學(xué)第17題作為例題，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用基本不等式和三角函數(shù)兩種方法解題，并對(duì)高考真題的問題進(jìn)行變式，把求最值變成求取值范圍，再變式添加銳角三角形這一條件。如此，讓學(xué)生學(xué)會(huì)根據(jù)題目所給的條件和問題內(nèi)容選擇解題方法，以及留意每種解題方法在使用過程中需要注意什么。“測(cè)一測(cè)”中的習(xí)題主要讓學(xué)生熟悉題型、解題方法和書寫步驟。

（二）一題多變

本節(jié)課的設(shè)計(jì)讓學(xué)生經(jīng)歷由求最值到求取值范圍，一題多變，由淺入深，層層推進(jìn)。以2020年全國(guó)高考新課標(biāo)Ⅱ卷理科數(shù)學(xué)第17題作為例題，對(duì)例題進(jìn)行三次變式，以加深學(xué)生對(duì)該類題型的理解和認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。

（三）規(guī)范書寫

本節(jié)課的習(xí)題以解答題的形式呈現(xiàn)，而解答題需要學(xué)生書寫規(guī)范的解答過程。為了讓學(xué)生規(guī)范書寫，教師在每道習(xí)題后面都參考高考答題卡的形式設(shè)計(jì)了相應(yīng)的答題框，旨在讓學(xué)生養(yǎng)成在規(guī)定地方答題的習(xí)慣。同時(shí)，通過多媒體投影對(duì)學(xué)生的答題情況進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，并給出規(guī)范的答題過程。讓學(xué)生規(guī)范書寫答題過程，這不僅是高考的要求，還是對(duì)學(xué)生關(guān)鍵能力的培養(yǎng)要求。

（四）預(yù)留時(shí)間

本節(jié)課在解答例題和講解環(huán)節(jié)都給學(xué)生留足思考的時(shí)間，并讓學(xué)生說(shuō)明自己是怎么想的；在“測(cè)一測(cè)”環(huán)節(jié)中更是模擬考試場(chǎng)景讓學(xué)生動(dòng)筆作答，展現(xiàn)解題過程，調(diào)動(dòng)學(xué)生的主觀能動(dòng)性，讓課堂活起來(lái)。課堂上給學(xué)生思考表達(dá)的時(shí)間，有助于學(xué)生理解吸收知識(shí)，同時(shí)便于教師了解學(xué)生的思考方式，更好地實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)。而這也有利于培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考的習(xí)慣，提升學(xué)生的思維品質(zhì)，提高學(xué)生的語(yǔ)言表達(dá)能力和邏輯推理能力。

綜上所述，在高三第二輪復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師要深入研究學(xué)情、考情，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的問題，根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況采用針對(duì)性的復(fù)習(xí)策略，幫助學(xué)生解決困惑，有效復(fù)習(xí)。通過本節(jié)課的微專題復(fù)習(xí)，學(xué)生掌握了解決三角形中的最值與范圍問題的基本思想方法，構(gòu)建了完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，更重要的是關(guān)鍵能力得到了提升。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?］

［1］? 韓雪.發(fā)現(xiàn)問題本質(zhì) 提升解題能力：以“一類含二次形式的多元變量最值問題”為例談高三二輪微專題的教學(xué)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2020（34）：52-54.

［2］? 李瑞杰.一節(jié)高三復(fù)習(xí)課的設(shè)計(jì)與反思［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2020（31）：44-45，51.

［3］? 姚發(fā)權(quán).基于關(guān)鍵能力考查的“等差數(shù)列與等比數(shù)列”復(fù)習(xí)課設(shè)計(jì)示例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2023（1）：54-56.

（責(zé)任編輯 羅 艷）