基于關鍵能力考查的“解三角形中的最值與范圍問題”微專題復習課教學

黃柱鳳　陳兆堅

［摘 要］基于高考評價體系和數學學科特點，高考數學命題越來越加強對關鍵能力的考查，由考知識向考能力轉變。解三角形中的最值與范圍問題是高考數學的考查熱點，是考查學生關鍵能力的重要載體。結合學生的學情，通過微專題復習，可讓學生不僅掌握利用基本不等式和三角函數求解三角形中的最值與范圍的方法，而且能夠讓學生通過比較和思考，發現解題規律和策略。文章以高三復習課“解三角形中的最值與范圍問題”為例對基于關鍵能力考查的微專題復習課教學進行探討。

［關鍵詞］關鍵能力；解三角形；最值；范圍

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻標識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2024）08-0033-03

縱觀近幾年的高考數學試卷，解三角形中的最值與范圍問題考查頻率不低，一般處于解答題第二小問的位置，分值大多為5～6分。對于解三角形中的最值與范圍問題，筆者結合本校學生的實際情況，采用微專題的形式引導學生復習。而選擇入口小、針對性強的微專題，能讓學生在完成相關知識內容復習的同時，培養邏輯推理、直觀想象、數學運算等數學學科核心素養。

本文以高三復習課“解三角形中的最值與范圍問題”為例，對基于關鍵能力考查的微專題復習課教學進行探討。

一、教學過程

（一）憶一憶

【例1】［廣西南寧市2023屆高中畢業班第一次適應性測試數學（理科）第17題］在[△ABC]中，角[A、B、C]的對邊分別為[a、b、c]，已知[（b-c）（sinB+sinC）=a（sinA-sinC）? ]。

（1）求[B]；

（2）若[△ABC]為銳角三角形，[b=3]，求[a2+c2]的取值范圍。

解：（1）由[（b-c）（sinB+sinC）=a（sinA-sinC）]，根據正弦定理可得[（b-c）（b+c）=a（a-c）]，

所以[a2+c2-b2=ac]，由余弦定理可得[cosB=a2+c2-b22ac=12]，∵[B∈（0，π）]，∴[B=π3]。

（2）由余弦定理得[b2=a2+c2-2accosB]，所以[3=a2+c2-ac]，即[a2+c2=3+ac]，

由余弦定理得[asinA=csinC=bsinB=332=2]，即[a=2sinA]，[c=2sinC]，又[C=2π3-A]，所以[ac=4sinAsinC=4sinAsin2π3-A=23sinAcosA+2sin2A][ =3sin2A-cos2A+1=2sin2A-π6+1]，由[△ABC]為銳角三角形，得[0

對于第（2）小問，學生利用基本不等式求出了最大值，但取值范圍的左端點求不出。可見，學生對基本題型的解題策略不熟悉。

設計意圖：通過回顧廣西南寧市2023屆高中畢業班第一次適應性測試數學（理科）第17題，讓學生知道在解決三角形中的取值與范圍問題時，可以先把邊轉化成角，再利用三角函數求解，為本節復習課的教學做好鋪墊。

變式1：若[b=3]，求[a2+c2]的最大值。

設計意圖：第（2）小問條件不變，問題改變，把求取值范圍變成求最大值，可由此喚醒學生利用基本不等式求最值的經驗，同時為引出例題做好鋪墊。

（二）講一講

【例2】（2020年全國高考新課標Ⅱ卷理科數學第17題）[△ABC]中，[sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC]。

（1）求[A]；

（2）若[BC=3]，求[△ABC]周長的最大值。

解：（1）設[△ABC]三個內角[A]、[B]、[C]的對邊分別為[a]、[b]、[c]，由正弦定理[asinA=bsinB=csinC=2R]得[a2-b2-c2=bc]，由余弦定理得[cosA=b2+c2-a22bc=-12]，∵[A∈（0，π）]，∴[A=2π3]。

（2）解法一：（利用基本不等式）

由（1）以及余弦定理得[a2=b2+c2-2bccosA]，代入數據化簡得[a2=b2+c2+bc]， 即[（b+c）2=a2+bc=9+bc]，故[bc=（b+c）2-9]，由均值不等式得[bc≤b+c22]，將其代入上式得[（b+c）2-9≤（b+c）24]，

當且僅當[b=c]時等號成立，解得[b+c≤23]，所以[△ABC]的周長[a+b+c]的最大值為[3+23]。

解法二：（利用三角函數）

由正弦定理得[bsinB=csinC=asinA=23] ，即[b=23sinB]，[c=23sinC]。

記[△ABC]的周長為[C△ABC]，則[C△ABC=3+23（sinB+sinC）]，

[∵A+B+C=π]， [∴C=π3-B]且[B∈0，π3]，[C△ABC=3+23sinB+sinπ3-B=3+23sinB+π3]，

[∵B+π3∈π3，2π3] 所以當[B+π3=π2]時，[sinB+π3]有最大值1，所以[△ABC]的周長的最大值為[3+23] 。

設計意圖：本題的重點在于第（2）小問，它可以采用兩種解法進行解答，進而復習鞏固用基本不等式和把邊轉化成角利用三角函數求最值的方法。而該題運用基本不等式求最值更便捷。該小問的難點是方法的選取和三角函數的化簡。課堂上，教師首先投影學生做題情況并讓學生講解思路，然后對學生的答題規范情況和思路進行點評，最后給出規范的解答過程。

變式2：（2）求[△ABC]周長的取值范圍。

設計意圖：利用基本不等式，只能求出取值范圍的最大值，取值范圍的左端點只能依據三角形兩邊之和大于第三邊；利用三角函數，取值范圍的左右端點依然可以結合角的范圍得到，此題并沒有體現三角函數求取值范圍的通法的優越性。

變式3：（2）在銳角[△ABC]中，若[A=π3]，[BC=3]，求[△ABC]周長的取值范圍。

設計意圖：增加“在銳角三角形中”這一條件，如果利用基本不等式求解，用不到銳角三角形這個條件；但如果把邊轉化成角再利用三角函數求取值范圍，可以直接利用銳角三角形角的范圍求解。該變式體現了三角函數解法的優越性和通用性，讓學生感受到這兩種解法的區別，從而總結兩種解法及其適用條件。

（三）測一測

在[△ABC]中，角[A、B、C]所對的邊分別為[a、b、c]，已知[3b=2asinB]。

（1）求角[A]的大小；

（2）若[a=6]，求[b+c]的取值范圍。

解：（1）由[3b=2asinB]及正弦定理化簡得[3sinB=2sinAsinB]，

∵[sinB≠0] ， ∴[sinA=32]， 由銳角三角形知[A=60°]。

（2）由正弦定理得[bsinB=csinC=asinA=43]，故[b=43sinB]，[c=43sinC]，[∵A+B+C=π]，[A=60°]，∴ [C=120°-B]，

[∴b+c=43sinB+sin（120°-B）=4332sinB+32cosB=12sin（B+30°）]，

由銳角三角形得[0°

由三角函數圖象知[sin（B+30°）∈32，1]， ∴[b+c=12sin（B+30°）∈63，12]。

設計意圖：本題的重點在于第（2）小問，讓學生對在例題和變式中總結的解法進行演練，學會快速地選擇求取值范圍的方法，熟練地把邊轉化成角再利用三角函數求解。

（四）拓一拓

（1）（2014年全國高考新課標Ⅰ卷理科數學第16題）已知[a、b、c]分別為[△ABC]三個內角[A、B、C]的對邊，[a=2]，且[（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC]，則[△ABC]面積的最大值為? ? ? ? ? ? ? ?。

（2）（2011年全國高考新課標理科數學第16題）在[△ABC]中，[B=60°]，[AC=3]，則[AB+2BC]的最大值為? ? ? ? ? ? ? 。

（3）（2019年全國高考新課標Ⅲ卷理科數學第18題）[△ABC]的內角[A、B、C]的對邊分別為[a、b、c]，已知[asinA+C2=bsinA]。

（Ⅰ）求[B]；

（Ⅱ）若[△ABC]為銳角三角形，且[c=1]，求[△ABC]面積的取值范圍。

設計意圖：該環節的訓練題選自高考真題，一方面讓學生了解此類題型在高考中出現的頻率不低，另一方面讓學生進一步加深和鞏固對該題型的理解，學會靈活應用，進而提升學生解決問題的能力，培養學生的邏輯思維。

二、教學反思

（一）精選習題

本節課的習題選用模擬題、高考真題及相應變式，具有代表性和典型性。以廣西南寧市2023屆高中畢業班第一次適應性測試數學（理科）第17題作為例題，對近十年全國高考數學試卷中的解三角形中的最值與范圍問題進行分析。該類題型以中等難度題和基礎題為主，通常利用基本不等式和三角函數來求解。為了更好地讓學生復習鞏固舊知、獲取新知，提高學生分析問題、解決問題的能力，教師精選習題。本節課教師選取2020年全國高考新課標Ⅱ卷理科數學第17題作為例題，引導學生運用基本不等式和三角函數兩種方法解題，并對高考真題的問題進行變式，把求最值變成求取值范圍，再變式添加銳角三角形這一條件。如此，讓學生學會根據題目所給的條件和問題內容選擇解題方法，以及留意每種解題方法在使用過程中需要注意什么。“測一測”中的習題主要讓學生熟悉題型、解題方法和書寫步驟。

（二）一題多變

本節課的設計讓學生經歷由求最值到求取值范圍，一題多變，由淺入深，層層推進。以2020年全國高考新課標Ⅱ卷理科數學第17題作為例題，對例題進行三次變式，以加深學生對該類題型的理解和認識，培養學生的創造性思維。

（三）規范書寫

本節課的習題以解答題的形式呈現，而解答題需要學生書寫規范的解答過程。為了讓學生規范書寫，教師在每道習題后面都參考高考答題卡的形式設計了相應的答題框，旨在讓學生養成在規定地方答題的習慣。同時，通過多媒體投影對學生的答題情況進行點評，并給出規范的答題過程。讓學生規范書寫答題過程，這不僅是高考的要求，還是對學生關鍵能力的培養要求。

（四）預留時間

本節課在解答例題和講解環節都給學生留足思考的時間，并讓學生說明自己是怎么想的；在“測一測”環節中更是模擬考試場景讓學生動筆作答，展現解題過程，調動學生的主觀能動性，讓課堂活起來。課堂上給學生思考表達的時間，有助于學生理解吸收知識，同時便于教師了解學生的思考方式，更好地實現教學目標。而這也有利于培養學生獨立思考的習慣，提升學生的思維品質，提高學生的語言表達能力和邏輯推理能力。

綜上所述，在高三第二輪復習教學中，教師要深入研究學情、考情，發現學生的問題，根據學生的實際情況采用針對性的復習策略，幫助學生解決困惑，有效復習。通過本節課的微專題復習，學生掌握了解決三角形中的最值與范圍問題的基本思想方法，構建了完整的知識網絡，更重要的是關鍵能力得到了提升。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?］

［1］? 韓雪.發現問題本質 提升解題能力：以“一類含二次形式的多元變量最值問題”為例談高三二輪微專題的教學［J］.中學數學教學參考，2020（34）：52-54.

［2］? 李瑞杰.一節高三復習課的設計與反思［J］.中學數學教學參考，2020（31）：44-45，51.

［3］? 姚發權.基于關鍵能力考查的“等差數列與等比數列”復習課設計示例［J］.中學數學教學參考，2023（1）：54-56.

（責任編輯 羅 艷）