類比推理　創新求解　提升素養

陶漢斌

［摘 要］類比是一種極具啟發性、創造性和靈活性的推理方法。每當學生缺乏可靠論證的思路時，類比這一方法往往能使他們厘清思路，指引他們進行深度學習。2024年1月浙江選考物理第20題通過類比設置問題情境，情境設計既熟悉又新穎；巧妙借用光學知識類比電磁場知識，通過調控磁場或電場實現質子束的“反射”和“折射”；從知識、方法到能力，問題的設計由易到難，全面考查了學生的綜合分析能力。

［關鍵詞］類比；情境；反射；折射；電磁場

［中圖分類號］? ? G633.7? ? ? ? ［文獻標識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2024）08-0040-03

類比是一種邏輯推理形式，是一種極具啟發性、創造性和靈活性的推理方法。當物理學研究陷入困境時，通過類比方法往往能打開一片新天地。每當學生缺乏可靠論證的思路時，類比這一方法往往能使學生厘清思路，指引他們進行深度學習。2024年1月浙江選考物理第20題通過類比設置問題情境，類比光學中的反射和折射現象，用磁場或電場調控實現質子束的“反射”和“折射”。同時，由易到難設計問題，全面考查學生的綜合分析能力。

一、試題呈現

類似光學中的反射和折射現象，用磁場或電場調控也能實現質子束的“反射”和“折射”。如圖1所示，在豎直平面內有三個平行區域Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。Ⅰ區寬度為[d]，存在磁感應強度大小為[B]、方向垂直平面向外的勻強磁場，Ⅱ區的寬度很小。Ⅰ區和Ⅲ區電勢處處相等，分別為[φⅠ]和[φⅢ]，其電勢差[U=φⅠ-φⅢ]。一束質量為[m]、電荷量為[e]的質子從[O]點以入射角[θ]射向Ⅰ區，在[P]點以出射角[θ]射出，實現“反射”；質子束從[P]點以入射角[θ]射入Ⅱ區，經Ⅱ區“折射”進入Ⅲ區，其出射方向與法線夾角為“折射”角。已知質子僅在平面內運動，單位時間發射的質子數為[N]，初速度為[v0]，不計質子重力，不考慮質子間相互作用以及質子對磁場和電勢分布的影響。

（1）若不同角度射向磁場的質子都能實現“反射”，求[d]的最小值；

（2）若[U=mv202e]，求“折射率”n（入射角正弦與折射角正弦的比值）；

（3）計算說明如何調控電場，實現質子束從[P]點進入Ⅱ區發生“全反射”（即質子束全部返回Ⅰ區）；

（4）在[P]點下方距離[3mv0Be]處水平放置一長為[4mv0Be]的探測板[CQD] （[Q]在[P]的正下方）， [CQ]長為[mv0Be]，質子打在探測板上即被吸收中和。若還有另一相同質子束，與原質子束關于法線左右對稱，同時從[O]點射入Ⅰ區，且[θ=30°]，求探測板受到豎直方向力[F]的大小與[U]之間的關系。

二、考情分析

此題利用學生熟悉的光學中的反射和折射現象，類比推理電磁場中的“反射”和“折射”，設計巧妙新穎。很多學生以為這是一道光學題，但它只是利用光學中的反射場景類比質子在磁場中的勻速圓周運動；利用光學中的全反射情境類比質子在電場中斜拋后運動到最高點又在電場中返回（逆平拋）；以光學中熟悉的折射類比質子穿越電場的斜拋運動。本題的最后一個問題涉及利用臨界條件進行分析的分段函數，常考常新，非常精彩。

三、詳細解答

（1）在磁場中的勻速圓周運動——類比反射

質子射入磁場后在磁場中做勻速圓周運動，當豎直方向上射出的質子恰好打到上極板時有：

[Bev0=mv20r]

[2r=d]

[d=2mv0Be]

（2）在電場中的斜拋運動——類比折射

質子束從[P]點以入射角[θ]射入Ⅱ區中的電場，在電場中做斜拋運動，有[U=mv202e]，設質子射出Ⅱ區時的速度為[v]，由動能定理可得：

[eU=12mv2-12mv20]

解得[v=2v0]

射出時質子的水平速度為[vx=v0sinθ]

通過類比可得折射率為[n=sinθv0sinθ2v0=2]

（3）在電場中做減速運動后返回——類比全反射

質子從[P]點射入時，設電場的間距為[L]，在質子剛好在Ⅱ區減速到0時，應用運動學公式有：

[0-（v0cosθ）2=2U0emLL]

[U0=-mv02cos2θ2e]

即當? [U≤-mv02cos2θ2e] 時發生“全反射”

（4）利用臨界值求解分段函數——常規考點

第（4）問需要根據隱含條件進行分析，判斷臨界邊際，多個角度討論各種情況，物理模型的構建與數學處理有一定難度。我們可利用臨界值進行求解，由于[θ=30°]，質子恰好不能進入Ⅲ區的電壓為[U1]，在豎直方向上應用運動學公式有：

[0-（v0cos30°）2=2U1emLL]

[U1=-3mv208e]

考慮探測板上的C點，當電壓為[U2=0]時，由于[tan30°=CQPQ=33]，左側的質子經過Ⅱ區時做勻速直線運動，恰好打在C點。

考慮探測板上的D點，當電壓為[U3]時恰好打在D點，右側的質子經過Ⅱ區，由動能定理得：

[eU3=12mv0sin30°cos30°2-12mv20]

[U3=-mv203e]

①當[U<-mv203e]時，[F=0]

②當[-mv203e≤U<0]時，左側質子打不到探測板，設打到探測板的右側質子的速度為[v]，則有：

[eU=12mv2-12mv20]

解得[v=v20+2eUm]

而右側質子的水平速度為[vx=v0sin30°=0.5v0]

因此打到探測板時右側質子的豎直速度為[vy=34v20+2eUm]

豎直方向應用動量定理有：

[F·Δt=N·Δtm34v20+2eUm]

解得豎直方向上的力[F=Nm34v20+2eUm]

③當電壓[U>0]，左、右兩側質子都打到探測板，同理可得[F=2Nm34v20+2eUm]

綜上所述，探測板受到豎直方向上的力[F]的大小與電壓[U]之間的關系如下：

當[U<-mv203e]時，[F=0]

當[-mv203e≤U<0]時，[F=Nm34v20+2eUm]

當[U>0]時，[F=2Nm34v20+2eUm]

四、教學反思

此題學生普遍反映難度很大，這是因為他們缺乏類比推理的能力。通過此題，學生知道原來類比光學中的反射和折射現象，通過磁場或電場調控也可以實現質子束的“反射”和“折射”。類比是一種邏輯推理形式，是一種極具啟發性、創造性和靈活性的推理方法。應用兩種物理現象和兩種物理規律之間的相似或相同，而推出其他方面也相似或相同的方法就是類比法，類比法貫穿物理學的研究過程。

類比法往往能指引學生進行深度學習。比如“電場”這一章中庫侖定律與萬有引力定律的類比，電場與重力場的類比，重力場中的平拋與電場中的類平拋的類比。

其中，萬有引力定律與庫侖定律的類比如表1所示。

電場與重力場的類比如表2所示。

學生應該具有這樣的意識——考試中的失分都應該歸結到自身素養欠缺上，而素養除物理觀念、科學探究、科學推理、科學論證、模型建構外［1］，還包括對自身思維過程進行的監控——“對自己的思維方式、思維過程進行質疑”。教師在向學生傳授知識的同時，還應該引導學生歸納總結重要的科學研究方法，以更好地培養學生的科學研究能力。科學研究是學生終身受用的本領。只有讓學生積極主動地開展科學研究，才能更好地提升學生的學科核心素養。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?］

［1］? 梁旭.基于核心素養的學·教·評：浙江省近幾年高中物理教學的探索與實踐［J］.中學物理，2021（21）：2-6.

（責任編輯 黃春香）