生物力學約束下的多孔結構鞋中底設計

摘要：提出一種由足底壓力映射的三維維諾（Voronoi）支桿鞋中底結構設計方法。將足底壓力信息作為鞋中底結構設計的數據驅動基礎，采用加權隨機采樣策略構建Voronoi站點；通過裁剪算法，使三維Voronoi圖適應鞋中底邊界；以裁剪后的三維Voronoi邊為骨架線，采用隱式曲面建模技術和隱式函數融合生成光滑連續的三維Voronoi支柱鞋中底。測試結果表明：三維Voronoi支柱鞋中底可以使足底壓力分布更加均勻，并可有效地減輕跖骨和足跟區域的負荷，降低足底壓力異常集中導致關節損傷的概率。

關鍵詞：鞋中底；足底壓力；多孔結構；維諾圖；隱式曲面

中圖分類號：TH 122；TP 391文獻標志碼：A

文章編號：1000-5013（2024）03-0314-10

Design of Porous Structure Midsole Under Biomechanical Constraints

ZHU Fenying¹，CHENG Huaqin²，LIU Bin²

（1. Huaqiao University Hospital，Huaqiao University，Xiamen 361021，China；2. College of Mechanical Engineering and Automation，Huaqiao University，Xiamen 361021，China）

Abstract：A 3D Voronoi strut midsole structure design method based on plantar pressure mapping is proposed. Using plantar pressure information as the data-driven basis for midsole structure design，a Voronoi site is constructed using a weighted random sampling strategy. The 3D Voronoi diagram is adapted to the midsole boundary through cropping algorithms. Using the trimmed 3D Voronoi edge as the skeleton line，implicit surface modeling technology and implicit function fusion are used to generate a smooth and continuous 3D Voronoi strut midsole. The test results show that the 3D Voronoi strut midsole can make the pressure distribution on the sole of the foot more uniform，effectively reduce the load on the metatarsal and heel areas，as a consequence，significantly reduce the probability of joint damage caused by abnormal concentration of plantar pressure.

Keywords：midsole；plantar pressure；porous structure；Voronoi diagram；implicit surface

隨著生活水平的顯著提高，人們越來越關注鞋子穿著的健康問題。研究表明，足底壓力峰值是前腳疼痛綜合征的主要原因之一^[1-2]。足底壓力高也會導致距骨痛、足跟損傷、軟骨損傷和足底潰瘍等疾病^[3-6]。此外，一些患者可能會無意識地改變緩解疼痛的姿勢，這會抑制正常的行為活動，導致腿部、膝蓋和背部的健康問題。運動鞋鞋中底具有吸能、減震、平衡支撐的作用，對分配腳底壓力分布起著決定性作用，因此，設計與足底壓力分布相適配的鞋中底對于鞋子穿著的健康性具有重要意義。

3D打印技術的快速進步顛覆了傳統的制鞋技術，使鞋業朝著快速、高效、定制化、可持續的方向發展^[7]。利用維諾（Voronoi）多孔結構的優異性能進行面向3D打印的鞋中底設計方案，得到了相關領域專家和工程界的廣泛關注^[8]。因此，本文利用足底壓力數據對三維Voronoi圖進行控制，提出一種在足底壓力映射的三維Voronoi支桿鞋中底設計方法。

1 足底壓力驅動的多孔結構鞋中底設計

1.1 設計思路與流程

為了設計與足底壓力分布特征匹配的定制化多孔鞋中底，將足底壓力數據作為輸入，利用應力分布與相對密度分布的映射模型，實現對三維Voronoi胞元密度的調控。三維Voronoi支桿結構在形狀尺寸上更易精確控制，從而更易調控其局部性能，實現定制化設計目標。

三維Voronoi支桿鞋中底的結構設計流程圖，如圖1所示。首先，使用足底壓力測量系統采集足底壓力分布數據；然后，根據有限元軟件模擬獲得鞋中底的應力分布，并將其作為鞋中底結構設計的驅動條件；再次，構建鞋中底的應力分布向Voronoi站點分布的映射，根據Voronoi站點加權隨機采樣策略，生成自適應的Voronoi圖；通過Voronoi裁剪算法適配鞋中底模型，以Voronoi圖的邊為骨架線，結合隱式曲面造型技術生成光滑連續的Voronoi支桿結構；最后，以Voronoi支桿結構為鞋底模型的內部填充，生成集保護性、舒適性、功能性為一體的定制化鞋中底。

1.2 足底壓力測量

使用F-Scan測量系統對足底壓力進行測量，如圖2所示。足底壓力傳感墊的實際有效測量面積約為48.77 cm×44.70 cm，采樣頻率為185 Hz。待測人員裸足站立在壓力傳感墊上，所采集壓力數據實時顯示在計算機屏幕上（圖2（a））。

由于壓力傳感器獲得的足底壓力云圖是實時變化的，考慮到測量的準確性，被測人員身姿需要保持挺直，放松穩定10 s后開始測量。在同一測量條件下進行4次重復實驗，然后從300張壓力圖中篩選出峰值壓力云圖，導出足底壓力分布數據作為后續鞋中底結構設計的依據。

將獲得的足底壓力數據作為輸入信息，使用ABAQUS有限元分析軟件進行數值仿真模擬。綜合考慮鞋中底需具備的彈性和緩沖減震等性能，根據實驗室的現有條件，選擇具備較好彈性的聚氨酯作為打印材料，在ABAQUS中設置材料參數和初始條件、邊界條件，計算得到靜態站立時鞋中底的壓力云圖（圖2（b））。結合生物力學特性，將足底模型劃分成腳趾、跖骨、足弓和后跟4個區域，以便更加準確地評估足底壓力分布情況。由圖2（b）可以看出，兩只鞋中底的應力分布并不完全一致，這與個體重心分布、腳型特征差異等因素有關。跖骨和后跟這兩個區域應力較大，為了減輕這兩個區域的受力負擔，需要調整鞋中底的密度分布，重新分布足底壓力，以減少足底壓力過大給身體帶來的傷害。

1.3 基于加權隨機采樣策略的3D Voronoi圖構建

通過調整鞋中底的密度分布來控制其強度（彈性）分布。密度分布可以從材料和結構兩個方面進行調整。采用多孔結構作為填充物來調整結構密度更具靈活性和可實現性。Voronoi圖具有連續性好的特點，通過控制Voronoi站點的分布可以改變結構密度分布。因此，引入三維Voronoi圖作為鞋中底結構設計的骨架。

二維Voronoi圖是由連接兩鄰近站點線段的垂直平分線組成的連續多邊形，它的構造順序一般為先構建Delaunay三角形，再根據對偶生成Voronoi圖。拓展到三維空間，表現為一系列平面垂直平分相鄰站點所連接的線段，由這些平分面組成的多面體構成Voronoi胞元，相應地可以根據四面體對偶生成三維Voronoi圖，這是劃分三維Voronoi圖的基本方法之一。依據Voro++開源庫^[9]實現對三維Voronoi圖的構建。給定一個有界開集Ω∈R³和一組點{P_i}ⁿ_i=1，Voronoi圖定義為

V_i={x∈Ω|d（x，P_i）lt;d（x，P_j），j={1，2，…，n}，j≠i}， "i=1，2，…，n。（1）

式（1）中：V_i表示第i個Voronoi胞元，集合{V_i}ⁿ_i=1構成Voronoi圖。

根據初始隨機站點生成的Voronoi胞元分布不均勻，在局部區域易出現胞元密集或稀疏的情況，對整體的性能有較大的影響，如圖3（a）所示。

為了更好地調節空間中站點的分布，防止出現局部性能差異過大的情況，有必要對三維Voronoi圖做重心迭代處理，使胞元的分布更均勻，胞元尺寸趨于一致。采用Lloyd重心迭代算法^[10]，使每個Voronoi站點向各自Voronoi胞元的重心位置移動，從而實現胞元均勻分布的效果，重心迭代后的Voronoi圖，如圖3（b）所示。

局部足底壓力高是使穿著者感到不舒服的主要原因之一。實驗設計的目標是減小足底壓力的峰值壓力和區域之間的壓力差，將足底壓力重新分布到盡可能多的區域。因此，對于高應力區，應增加Voronoi胞元的數量以提高局部密度；對于低應力區，應減少Voronoi胞元的數量以降低低應力區域的局部密度。提出基于應力的加權隨機采樣策略來控制Voronoi站點的分布，以提供適當的鞋中底彈性和剛度，滿足定制化設計要求。加權隨機采樣策略的具體步驟如下。

1）對鞋中底模型的包圍盒進行均勻柵格化，并將這些柵格頂點視為候選站點。候選站點與有限元分析獲得的應力節點之間不是一一對應的。只有與候選站點相鄰的有限元節點對站點有顯著影響。采用k近鄰算法，通過選擇n個近鄰有限元節點來計算候選站點的應力值。候選站點的應力值σ^j通過反向距離加權方法計算，即

式（2）中：σⁱ為第i個鄰近節點的應力；u_i，j為權因子，定義為

式（3）中：d_i，j為候選站點到其鄰近節點的歐式距離。

2）從所有候選站點中提取m個采樣點作為Voronoi站點。這里，m要遠小于候選站點總數。隨機采樣方法參考文獻[11]中的蓄水池采樣策略，即

式（4）中：R為采樣產生的隨機數，位于0～1之間；ω_i為第i個候選站點處的相對密度；S_i為第i個候選站點處的采樣分數，對每個候選點計算出采樣分數后，從大到小對采樣分數進行排序，選取前m個樣本點作為Voronoi站點。

根據前期工作，應力分布與相對密度之間的映射關系^[12]可以表示為

式（5）中：σⁱ_e表示等效應力，即第i節點的von Mises；σ_p表示基材的比例極限。

3）根據加權Voronoi站點構建三維Voronoi圖。鞋中底模型邊界框內的三維Voronoi圖，如圖4所示。由圖4可知：通過加權隨機采樣計算的三維Voronoi圖可以精確地匹配足底壓力，并可以根據力學條件調節密度分布。Voronoi胞元在高應力區域（圖2（b）中的跖骨和后跟區域）變得更密集；相反，Voronoi胞元在低應力區域（圖2（b）中腳趾和足弓的區域）變得更稀疏。

三維Voronoi圖在鞋中底的最小邊界框內生成。為了使三維Voronoi圖適配鞋中底外形，求長方體包圍盒中生成的三維Voronoi圖與鞋中底模型的交集。為簡化三維Voronoi圖和鞋中底模型間交叉點的計算，應先確定Voronoi單元和鞋中底模型的相對位置，只允許與模型有交叉點的Voronois單元參與剪切操作。Voronoi胞元裁剪與重構算法，如圖5所示。

適配邊界約束的三維Voronoi圖，如圖6所示。

1.4 隨機采樣對多孔結構力學性能的影響

為了為探究Voronoi站點隨機分布對模型壓縮力學性能的影響，在站點數量一致的前提下，生成相對密度（ω）分別為0.3，0.4，0.5，尺寸（長×寬×高）為36 mm×36 mm×36 mm的3組Voronoi支桿立方體模型，每組有5個模型，其相對密度保持一致。將設計好的支桿模型通過CREALITY CR-3040 Pro型熔融沉積成型（FDM）打印機進行打印，打印材料選擇聚乳酸（PLA）絲材，通過拉伸實驗測得材料的楊氏模量為 2 400 MPa，泊松比為0.35。3組Voronoi支桿立方體模型的打印結果，如圖7所示。圖7中：每排模型的質量均保持一致。

根據國家標準GB/T 1041-1992《塑料拉伸性能試驗法》，在TSE504D型萬能機械試驗機上進行壓縮實驗，壓縮速度為1 mm·min^-1。3組Voronoi支桿結構隨機性實驗結果，如圖8所示。圖8中：F為壓力；D為位移。實驗結果表明，相對密度相同的支桿模型在彈性階段的力學性能基本一致，說明在彈性階段隨機性對模型力學性能的影響較小；當進入塑性變形階段時，曲線的變化趨勢仍相似，但數值的波動較大，相對密度為0.3，0.4，0.5的3組實驗的最大相對誤差分別為10.07%，9.61%，8.72%。這是因為在站點隨機分布的情況下，有些地方支桿相對密集而有些位置較為稀疏，在變形乃至壓潰過程中支桿提供的支持不一致，在塑性變形階段支桿模型的力學性能受隨機性影響較大。對于鞋中底來說，其變形都保持在彈性范圍內，因而可以忽略隨機采樣的影響。

1.5 基于Voronoi邊的隱式曲面建模

1.5.1 隱式曲面 在獲得適配鞋中底模型邊界的Voronoi圖后，相當于獲得了多孔結構的布局，接下來的工作是將其實體化，形成可3D打印的多孔結構鞋中底模型。為此，以Voronoi圖的邊作為骨架線，結合隱式曲面建模技術構建Voronoi支桿結構。在三維空間中隱式曲面的定義為

S_α={q∈R³|F（q）=α}。（6）

式（6）中：q為三維空間點；F（q）為勢函數；α為等勢值。

與參數曲面相比，隱式曲面雖然可控性差，但易于判斷與空間點的相對位置。當F（q）gt;α時，q在閉合曲面外部；當F（q）lt;α時，q在閉合曲面內部；當F（q）=α時，q在曲面上。此外，隱式曲面具有很高的光滑性。隱式曲面造型的關鍵問題是構造勢函數F（q），通過設計勢函數能夠得到復雜的曲面^[13]。

以Voronoi胞元的邊為骨架線，根據空間點與骨架線的距離建立勢函數。即

F_e（q）=（q-v_i）·n_i。（7）

式（7）中：v_i為Voronoi頂點；n_i為空間點q指向Voronoi邊V_e垂直方向的單位法矢。

根據勢函數的定義，等勢值α相當于以Voronoi胞元的邊（骨架線）為中心軸線構造半徑為α的Voronoi圓柱支桿。當α =0時，點與骨架線的距離為0，所獲得的支桿為骨架線本身。

1.5.2 隱式函數的調和 基于隱式曲面的3D Voronoi支桿結構，如圖9所示。直接以Voronoi邊為骨架結合隱式函數計算得到的Voronoi支桿在其頂點位置會產生干涉現象，即多個支桿間相互交叉（圖9（a））。交叉位置容易出現應力集中現象，為了保證模型的力學性能及整體結構的連續性和美觀性，需要對其做進一步的處理。傳統的處理方法是在頂點處放置一球體，讓球體分別與相連的支桿模型做布爾并運算。這種方法計算量巨大且依賴于網格質量，魯棒性差。為此，采用勢函數調和策略，將對三角網格模型的布爾操作問題轉化為對數學函數的運算問題，克服因大量布爾運算帶來的數值計算不穩定、計算量大、魯棒性差等問題。

相鄰Voronoi支桿間融合的具體實現如下。首先，構造空間點到Voronoi邊的勢函數F_e（q），根據式（7）實現。其次，構造空間點到Voronoi頂點（Voronoi邊的端點）的勢函數F_v（q），根據空間點q與Voronoi頂點v_i的距離建立勢函數。即

式（8）中：（q_x，q_y，q_z）表示空間點q的三維坐標值；（v_i，x，v_i，y，v_i，z）表示頂點v_i的三維坐標值。

最后，將同一Voronoi胞元的頂點和其對應的Voronoi邊相接處的勢函數調和疊加進行勢值融合操作。使用Ricci超橢圓融合算子實現相交處的平滑過渡^[14]，廣義融合操作為

式（9）中：β表示調節因子，當β =1時，為狹義融合操作；當β→∞時，融合效果與布爾并操作相似；當β→-∞時，融合效果接近布爾交操作，文中β取值為2。經調和處理后的接頭效果，如圖9（b）所示。

由上述方法生成的與足底壓力相適配的多孔結構鞋中底模型，如圖10所示。由圖10可知：鞋中底在密度上具有漸變和連續過渡。從局部放大圖中可以看出，Voronoi胞元在跖骨和足跟區域更密集，而在腳趾和足弓區域，Voronoi胞元更稀疏。

2 鞋中底性能測試

多孔結構雖然具備非常好的性能，但其結構復雜，傳統加工或成型方法都無法制造。3D打印技術的快速進步使多孔結構的快速制造成為可能。在眾多的3D打印技術中，FDM工藝簡單，設備便宜，因此選用FDM打印鞋中底。打印材料選用聚氨酯（TPU），該材料具有良好的彈性、柔韌性、耐磨性、耐用性，成本低廉。TPU的楊氏模量為26 MPa，泊松比為0.46。打印設置層厚為0.1 mm，打印速度為15 mm·s^-1。3D打印Voronoi支桿鞋中底模型，如圖11所示。由圖11可知：選擇TPU打印材料的鞋中底具有較好的變形能力。

2.1 靜態足底壓力測試

靜態足底壓力實驗是一種有效評估站立時足底表面壓力分布的方法，該實驗能夠直觀地提供用戶足部生物力學有價值的信息，特別是矯形設計相關信息。檢驗所設計的Voronoi鞋中底性能最直接、有效的方式是對足底壓力進行采集。使用F-Scan測量系統對靜態的足底壓力進行測量，將足底壓力傳感器貼合在鞋中底的上表面，被測人員雙腳綁上固定繃帶，將Cuff貼在繃帶上以保證壓力傳感器穩定不受外界噪聲干擾。體質量為75 kg的被測人員挺直站立于貼有鞋墊式壓力傳感器的鞋中底上，采集靜態站立時的足底峰值壓力，如圖12所示。

在足部健康研究中，足底峰值壓力是一個重要的評價指標。峰值壓力越大或足底壓力分布越集中，地面回彈力越大，足部舒適度越低，越容易出現疲勞或局部損傷，嚴重時可能導致關節損傷^[15]。當峰值壓力較小且分布較均勻時，不僅可以提高穿著的舒適性，而且在一定程度上能夠糾正特殊足型局部壓力異常集中的問題。為了更準確地獲取足底壓力數據，分別對足底壓力映射的Voronoi支桿鞋中底和重心Voronoi支桿鞋中底進行5次重復性實驗，記錄后跟和跖骨的峰值壓力，如表1所示。

靜態站立時的足底峰值壓力云圖，如圖13所示。由表1和圖13可知：在靜態站立時，左、右足的峰值壓力略有偏差，但總體的趨勢保持一致。

對5組實驗數據取平均值，擬合得到沿腳長方向的足底壓力曲線，如圖14所示。圖14中：P為足底壓力；L為腳長；藍色區域為跖骨區域；紅色區域為后跟區域。由圖14可知：足底受力區域主要集中在跖骨及后跟區域，雙足足底壓力曲線均呈現典型的雙峰特征；跖骨區域，足底壓力映射的Voronoi支桿鞋中底的最大峰值壓力為0.071 MPa，相比重心Voronoi支桿鞋中底的最大峰值壓力（0.095 MPa）下降了25.3%；后跟區域，足底壓力映射的Voronoi支桿鞋中底的最大峰值壓力為0.085 MPa，相比重心Voronoi支桿鞋中底的最大峰值壓力（0.129 MPa）下降了34.1%。

中設計的鞋中底能夠顯著降低靜態站立時跖骨和后跟區域的壓力，同時使鞋中底的壓力分布更加均勻，表明足底壓力映射的Voronoi支桿鞋中底可以有效調整足底壓力分布，提供更舒適的穿著體驗，減少足部支撐負擔，降低足部及關節損傷的風險。

2.2 步態分析對比

步態是步行的行為特征，分析評估步行時的足底壓力變化，對臨床診斷、療效評估和術后療效評價均具有重要意義。看似簡單的步行實際上是由一系列復雜的動作組成，一般來說，步行被定義為一系列連續的步態，一個步態周期是指同一腳跟2次觸地之間的時間間隔。步態由支撐階段和擺動階段組成，其中，支撐階段為足部接觸地面的時間，約占步態周期的60%，主要為單足支撐。

研究穿著不同鞋中底的鞋在行走過程中足底的壓力變化。動態足底壓力測量，如圖15所示。步態采集過程中，測試人員穿著文中設計的鞋中底以平常的步態自然行走，實時采集步行過程中的足部壓力，獲得整個行走過程中足底各處的壓力、峰值壓力等數據。行走過程中步態周期由兩個單步組成，受試者在步行的支撐階段單側腳經歷了后跟觸地、整足觸地、跖骨觸地和腳趾觸地4個階段。

分別對足底壓力映射的Voronoi支桿鞋中底和重心Voronoi支桿鞋中底進行步態測試，相應的步態壓力云圖和足底壓力-時間（t）曲線，如圖16所示。由圖16可知：在行走過程中，相較于重心Voronoi支桿鞋中底，足底壓力映射的Voronoi支桿鞋中底的壓力值更低。

行走過程中鞋底不同區域的峰值壓力，如表2所示。表2中：P₁為足底壓力映射的Voronoi支桿鞋中底的峰值壓力；P₂為重心Voronoi支桿鞋中底的峰值壓力。

對比一個步態周期（足底壓力-時間曲線圖中框出來的區域），支撐階段的前期，即一側足跟第1次接觸地面到整個足底剛剛接觸地面時，該時間約占整個步態周期的10%，足底觸底時出現最大峰值壓力；支撐階段的中期，此時左足足底部完全接觸地面支撐著身體全部質量，這個時間約占步態周期的30%，由于整只腳參與受力，足底壓力降低；支撐階段的后期，即支撐腿足跟離地到足尖離地時，該時間約占步態周期的20%，該階段力從足跟傳遞到腳趾，在跖骨和地面接觸時，出現次峰值。行走過程中，足跟與前掌跖骨是主要著地部位，承受著人體質量和行走負荷的絕大部分，從足跟著地到腳尖離地的過程中，足底所受的力也隨之傳遞。

在足跟觸地時，足底壓力映射的Voronoi支桿鞋中底的峰值壓力比重心Voronoi支桿鞋中底的峰值壓力降低了27.9%；在跖骨觸地時，足底壓力映射的Voronoi支桿鞋中底的峰值壓力比重心Voronoi支桿鞋中底的峰值壓力降低了27.0%；足弓區域壓力值大小基本一致。由此可以看出，足底壓力映射的Voronoi支桿鞋中底的足弓部分提供了更大支撐，能夠顯著減輕足跟和跖骨部位的負重，減少行走過程中的負荷，緩解行走過程中的疲勞。

3 結論

通過加權隨機采樣策略，構建應力分布向密度分布的映射關系，提出足底壓力映射的多孔結構鞋中底設計方法。對所設計的鞋中底進行3D打印成型，并進行靜態腳底壓力測評和步態分析，得出以下3個結論。

1）根據掃描的實際足部模型和測量的實際足底壓力分布，計算鞋中底的壓力分布，從而驅動生成相應的變密度三維Voronoi圖，可以實現應力場與密度分布的精確映射。

2）測試證明，所設計的鞋中底可以降低足底峰值壓力，使足底壓力分布更加均勻，有利于改善足部健康。在足跟觸地時，足底壓力映射的Voronoi支桿鞋中底峰值壓力比重心Voronoi支桿鞋中底峰值壓力降低了27.9%；在跖骨觸地時，足底壓力映射的Voronoi支桿鞋中底的峰值壓力比重心Voronoi支桿鞋中底的峰值壓力降低了27.0%；足弓區域壓力值大小基本一致。足底壓力映射的Voronoi支桿鞋中底的足弓部分提供了更大支撐，能夠顯著減輕足跟和跖骨部位的負重，減少行走過程中的負荷，緩解行走過程中的疲勞。

3）所提設計方法將多孔結構分布與多孔實體生成分開處理，有利于解決鞋底級放過程中多孔結構支桿半徑與模型整體縮放比例不一致的矛盾，可以實現在鞋底級放過程中保持多孔結構支桿半徑不變，具有實際應用價值。

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（責任編輯：黃曉楠 "英文審校：吳躍勤）