速度矢量場二階滑模無人艇引導律

摘要：針對航速和航道未知擾動等因素，提出一種速度矢量場二階滑模無人水面艇（USV）引導律。首先，建立無人艇運動學和航向角動力學模型；其次構造路徑誤差（y_e）模型，設計基于航速（V_g）的路徑誤差矢量場，速度越大，航向角變化越小；再結合二階滑模面設計一種速度矢量場二階滑模無人艇引導律，并考慮未知擾動因素Δ分析速度矢量場二階滑模無人艇引導律的穩定性。仿真結果表明：相比于經典矢量場，速度矢量場有效實現航速V_g越快，航向角變化率越小，矢量場越平緩，提高了USV航行安全性和穩定性；基于速度矢量場二階滑模無人艇引導律的路徑跟蹤控制系統魯棒性更強，路徑跟蹤準確度更高，能夠較好地完成路徑跟蹤。

關鍵詞：無人水面艇；矢量場引導律；路徑跟蹤；滑模控制

中圖分類號：TP 273文獻標志碼：A

文章編號：1000-5013（2024）03-0324-08

Second-Order Sliding Mode Guidance Law in Velocity Vector Field for Unmanned Surface Vessel

WEN Jinyuan，HUANG Yanwei

（College of Electrical Engineering and Automation，Fuzhou University，Fuzhou 350116，China）

Abstract：Aiming at factors such as unknown disturbances of course speed and course path，a second-order sliding mode guidance law in velocity vector field fof unmanned surface vessel （ USV） is proposed in the paper. Firstly，kinematics and course angle dynamics models of USV are established. Secondly，the path error （y_e）model is constructed，and the path error vector field based on course speed （V_g）is designed. The greater the speed，the smaller the change of course angle. Recombined with the second-order sliding mode surface，a velocity vector field second-order sliding mode USV guidance law is designed，and the stability of velocity vector field second-order sliding mode USV guidance law is analyzed considering the unknown disturbance factor Δ. The simulation results show that compared with the classical vector field，the velocity vector field achieves faster course speed V_g with smaller course angle change rate and smoother vector field，which improves the navigation safety and stability of USV. The path tracking control system based on the second-order sliding mode guidance law in a velocity vector field exhibits enhanced robustness and higher accuracy in path following， which achieves path tracking with remarkable precision.

Keywords：unmanned surface vessel；vector field guidance law；path following；sliding mode control

無人水面艇（unmanned surface vessel，USV）是一種用于水上的獨立可控的無人駕駛平臺^[1]。 路徑跟蹤問題是實現USV高精度控制的重中之重，而導引算法是完成路徑跟蹤任務的關鍵。 現階段導引算法種類繁多，例如，純跟蹤算法^[2]、視線導引算法^[3-4]、矢量場導引（vector field guidance，VFG）算法^[5-7]。純跟蹤算法可以縮小位置誤差，但無法縮小角度誤差；視線導引算法對前視距離依賴大，變化敏感。VFG分為矢量場（vector field，VF）設計和引導律設計兩部分，對比純追蹤算法和視線導引算法，矢量場算法^[8-10]設計簡單且控制性能優秀。

然而，VF主要考慮路徑誤差設計跟蹤軌跡。針對三維路徑跟蹤問題，文獻[11]擴展二維全局路徑誤差VF，使機器人能夠實現三維路徑跟蹤。文獻[12]提出一種利用亥姆霍茲定理構建二維和三維路徑誤差VF。文獻[13]提出一種能夠調節沖擊時間和飛行角度的三維路徑誤差VF。針對無人機路徑跟蹤精度和安全性問題，文獻[14]利用亥姆霍茲定理構建二維路徑誤差VF，并結合反步法設計控制器，提高欠驅動飛艇跟蹤精度。文獻[15]利用滑模控制理論設計位置誤差VF，將VF視為滑模面，保證任意初始狀態的無人機都能跟蹤上期望路徑。這些研究利用路徑誤差設計VF，忽略了運動對象的動態特征。然而，動態特征直接影響系統的安全性和精度。因此，引入運動對象的動態特性來設計VF是非常重要的。路徑跟蹤精度還取決于VFG引導律設計，文獻[15]在路徑誤差VF的基礎上，利用飽和函數設計VFG引導律，有效地提高跟蹤系統的魯棒性。文獻[16] 在一階航向角方程中引入擾動量，根據航向角誤差設計自適應VFG引導律，實時估計外界擾動進行補償，使無人機在復雜的外界情況下，能夠準確跟蹤期望路徑。基于VFG控制精度高特點，文獻[17]將VF應用于USV路徑跟蹤，設計了一種基于VFG的二維路徑跟蹤控制系統，使用LS-SVM方法辨識參數，該控制系統具有較好的魯棒性。文獻[18]提出了一種基于路徑誤差的時變VFG引導律，利用估計器補償外界擾動，設計自動駕駛儀，給出半葉指數穩定性證明，由此構建的級聯系統魯棒性較好，但這些研究成果未考慮對象的運動模型特性而設計VFG，難以保證路徑跟蹤的性能。

考慮航速和航道未知擾動等因素，本文提出基于一種基于速度矢量場的二階滑模無人艇引導律，能夠實現快速準確跟蹤期望路徑。

1 USV平面模型

在忽略垂蕩、橫搖和縱搖等自由度時，USV在水面運動可以簡化為3個自由度：縱蕩，橫蕩和艏搖。USV平面運動示意圖，如圖1所示。圖1中：XY為地球坐標系，X為正北向，Y為正東向；ψ為艏向角；β為漂移角；χ為航向角；（x，y）為USV當前的位置坐標；u，v，r分別為船體坐標系x_gy_g下的縱蕩速度，橫蕩速度和轉艏角速度；V_g為航速；L為期望路徑；期望路徑P點坐標為（x_P，y_P），α_P為P點的路徑切向角；y_e為路徑位置誤差。

1.1 運動學模型

USV運動學模型為

式（1）中：u=V_gcos β；v=V_gsin β；χ=ψ+β。

式（1）化簡為位置運動學模型，即

1.2 航向角動力學模型

在實際跟蹤過程中，環境擾動的形式非常復雜，并依賴于許多參數，航向角動力學方程^[18]為

式（3）中：χ^c_ε為矢量場引導律；a為時間常數；Δ為外界干擾。

2 速度的路徑誤差矢量場

2.1 位置誤差設計

USV路徑跟蹤示意圖，如圖2所示。圖2中：跟蹤與P相切半徑為R的圓o；XY地球坐標系轉為X₁Y₁為極坐標系；圓心坐標為（x_o，y_o）；d為USV與圓心距離；γ為USV相對于圓心角度。

圓心坐標o（x_o，y_o）可以表示為

將式（4）代入式（2），有

由圖2可知，路徑誤差（y_e）計算式為

y_e=d-R。（6）

對式（6）求導，并代入式（5），有

2.2 速度路徑誤差矢量場的設計

航速矢量場（χ_d）為

式（8）中：V_m為航速最大值；k₁為常數，k₁gt;0。

由式（8）可知：當y_e很大時，矢量場χ_d=γ-π；當y_e=0時，χ_d=γ-π/2。與經典矢量場^[15]對比，在y_e的基礎上，考慮V_g因素。當V_g=0時，航速矢量場與經典矢量場一致，V_g越大，χ_d越小，表明航速越快，航向角越小，有效減小USV側翻風險，提高航行安全，更全面合理。

設李雅普諾夫函數（W）為

對式（9）求導，并代入式（7），（8），有

因此，當χ=χ_d時，能夠精準跟蹤期望路徑，即y_e→0；航速矢量場（χ_d）能夠收斂到給定路徑中。

3 速度矢量場二階滑模無人艇引導律

3.1 速度矢量場二階滑模無人艇引導律的設計

定義航向角誤差（χ_e）為

χ_e=χ-χ_d。（11）

設計速度矢量場二階滑模無人艇引導律（VVFSOSG）的χ^c_ε為

χ^c_ε=χ^c+Δχ。（12）

式（12）中：χ^c為等效航向角引導律；Δχ為魯棒補償律。

在不考慮不確定量（Δ）的情況下，χ^c為

對式（11）求導，代入式（8）和式（13）可得

因此，USV路徑跟蹤過程可視為勻速運動，V^·_g≈0，故式（14）可簡化為

選擇等效航向角引導律為

為抑制不確定量（Δ）對航向角帶來的不利影響，需設計魯棒補償項（Δχ）。

對航向角誤差進行微分，有

構造滑模面S^[19-21]，有

S=χ_e。（18）

對式（18）求導，并代入式（16），有

在式（19）的基礎上構造二階滑模面^[22-23]，有

式（20）中：m為常數，且mgt;0。

對式（20）求導，有

選取滑模面ξ控制律^[24]，有

式（22）中：λ，p和q為常數，且λgt;0，p，q∈{2n+1，n=0，1，2，…}，1lt;p/qlt;2。

由式（21），（22），有

對式（19）求導，有

將式（24）代入式（23），可最終求得控制量，即

為有效抑制Δ^·，有

其中，Δ^[25]為

Δ=A_wsin（ω_et+θ）。（27）

式（27）中：A_w為擾動幅值；ω_e為擾動頻率；θ為擾動相位。

對式（27）求導，有

將式（26）代入式（29），有

由式（30）可知，當ηδgt;|A_wω_e|時，能夠有效抑制Δ·，則式（25）可簡化為

綜合式（12），（16），（31），可得到χ^c_ε，即

3.2 VVFSOSG穩定性分析

李雅普諾夫函數（V）為

對式（33）求導，有

將式（24）代入式（34），有

將式（31）代入式（35），有

將式（30）代入式（36），有

式（37）說明在有限時間內，滑模面ξ收斂至0，根據滑模面ξ結構，滑模面S也將收斂至0，因此，航向角（χ）在VVFSOSG作用下能夠到達滑模面ξ并最終收斂至χ_d。

4 仿真驗證

基于VVFSOSG的路徑跟蹤系統框圖^[26]，如圖3所示。圖3中：τ_u為前向推力；τ_r為轉艏力矩。

首先，根據船體位置和期望路徑，由式（7）求取位置誤差，由式（8）得到VVF的航速矢量場（χ_d）。VVF的χ_d和航向角（χ）通過式（32）得到VVFSOSG的χ^c_ε，最終利用航向和航速PID控制器實現USV路徑跟蹤控制。

Fossen模型參數^[26]如下：船體長度為1.180 m，寬度為0.355 m，質量為8.46 kg，I_zz=1.07，X_u′=-0.42，Y_v′=-1.07，N_r′=-0.13，X_u=4.39，Y_v=20，Y_r=-0.2，N_v=-0.2，N_r=5，X_uu=-10.65，Y_vv=-15.6，N_vr=-15。

基于VVFSOSG路徑跟蹤系統，式（8）中VVF參數如下：V_m=10 m·s^-1，k₁=1。式（32）VVFSOSG參數如下：a=1.5，λ=50，η=25，δ=1，m=1/70，航向和航速均采用PID控制。控制器參數如下：k_p=150，k_i=10，k_d=100。

為展示VVF和VVFSOSG的優越性，引入VF和VFG^[16]。VF參數如下：α=1.5，k=1.5；VFG參數如下：κ=3.5，施加擾動Δ^[25]，A_w=5，θ=0 rad，ω_e=0.1 rad·s^-1。期望路徑（L）設置如下：x_P=t，y_P=5sin（0.01t）和 5t+4，0≤t≤50 s。

當航速（V_g）為7 m·s^-1時，USV直線跟蹤軌跡和位置誤差（y_e），分別如圖4，5所示。由圖5可知：VFG跟蹤軌跡發生了抖動，位置誤差（y_e）為±0.100 m，而VVFSOSG位置誤差（y_e）僅有±0.001 m。

USV曲線跟蹤軌跡和位置誤差（y_e），分別如圖6，7所示。由圖7可知：VFG跟蹤軌跡抖動加劇，VFG位置誤差（y_e）為±0.200 m，而VVFSOSG位置誤差（y_e）僅有±0.003 m；基于VVFSOSG的路徑跟蹤系統能夠有效抵抗干擾，跟蹤系統的魯棒性更強，跟蹤的精度更高。

當k₁=1時，不同V_g時的USV跟蹤軌跡和航向角（χ）響應，分別如圖8，9所示。當航速（V_g）為7 m·s^-1時，不同k₁時的USV跟蹤軌跡和航向角（χ）響應，分別如圖10，11所示。

由圖9可知：不同航速V_g下，VVF 的USV跟蹤軌跡和航向角（χ）響應，表明航速（V_g）越大，航向角（χ）變化率越小，收斂時間越長，跟蹤軌跡越順滑；當航速（V_g）為7 m·s^-1時，能夠提高USV航行安全性，并且收斂時間合適。

由圖10，11可知：k₁越大，收斂時間越小，航向角變化率越大；當k₁=5時，USV無法平穩跟蹤期望路徑，出現抖動，因此，選擇k₁=1最為合適。

5 結論

在實際航行中，由于航速（V_g）和航道未知擾動的影響，致使轉艏角速度出現偏差，進而影響航向角，最終導致了USV無法精準跟蹤期望路徑。速度矢量場二階滑模無人艇引導律能實現快速準確跟蹤期望路徑。

首先，建立運動學和航向角動力學模型；其次，構造路徑誤差模型，引入航速變量（V_g）設計VVF，以達到速度越大航向角變化越小，速度矢量場越平緩；最后，結合二階滑模面，設計一種VVFSOSG，并考慮未知擾動分析VVFSOSG的穩定性。

仿真結果表明：相比于VF，VVF有效實現航速（V_g）越快，航向角越小，能減小USV側翻風險，有助于提高航行安全；基于VVFSOSG的路徑跟蹤控制系統魯棒性及路徑跟蹤準確度更高。

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（責任編輯：陳志賢 "英文審校：陳婧）