基于數學概念學習理論優化高中概念教學

龍雯婷

一、教材分析

在函數性質的單元教學中，重點要學習函數的單調性和奇偶性。單調性是函數基本性質中的重要概念，它描述了函數值如何隨著自變量的變化而變化。函數的奇偶性是另一個基本的函數性質，與單調性不同，它不涉及函數的局部變化，而是關注函數的對稱性。函數的奇偶性可以通過數學符號和函數圖象來描述，它決定了函數圖象的對稱特征，并且在解決特定問題時非常有用。總的來說，單調性和奇偶性是函數的兩個基本性質，它不僅聯系著初高中數學的知識點，而且對培養學生的數學思維和核心素養至關重要。

二、學情分析

在中學階段，學生已通過解析式、列表和繪圖等方法研究了函數性質，但沒有用符號語言進行規范描述。學生還需持續學習歸納函數的基本屬性，從宏觀角度對函數性質形成全面的認知。

三、教學目標

1.學會如何用數學語言表示函數的單調性；知道函數定義域內的特點區間是函數單調性成立的必備條件；掌握推導函數單調區間的具體方法，準確辨別增函數與減函數之間的區別。

2.把握單調性的含義，并運用邏輯性的符號來進行函數單調性的論證；總結并熟練掌握證明函數單調性的流程。

3.采用數形結合的方法，讓學生掌握用符號來定量描述函數奇偶性，并理解這是對函數定義域整體性質的描述；綜合考查函數圖象的整體形態。

4.明確偶函數、奇函數、既奇又偶函數以及非奇非偶函數之間的區別。

5.構建涵蓋函數奇偶性的知識體系，讓學生明確本階段教學的重要性，從而產生學習的內生動力。

6.創設數學情境，用引導教學法教學生解決實際問題，以增強學生整體的數學素養。

四、教學重難點

1.函數單調性

教學重點：掌握函數單調性的具體內容，能證明函數具有單調性。

教學難點：用符號邏輯深入解釋函數單調性的概念，并用此概念進行邏輯推理，證明函數的單調性。

2.函數奇偶性

教學重點：掌握函數奇偶性的具體內容；學會證明函數奇偶性。

教學難點：利用符號邏輯深入解釋函數奇偶性的概念，并用此概念進行邏輯推理，證明函數的奇偶性。

五、教學課時

兩課時

六、教學過程

第一課時 函數的單調性

（一）情境導入

我們之前探討過函數的基本概念及其表達方式，現在我們將一同研究函數的特性，首先我們繪制三個函數的圖象：f（x）=x，g（x）=，h（x）=x2。

師：觀察函數圖象，你發現了哪些特點？

生1：函數f（x）是一條上升的直線，而函數g（x）是一條下降的直線，函數h（x）則先是下降后上升。

師：在初中階段，對于上升和下降的趨勢，我們該如何表述呢？

生2：當y隨著x的增加而增加時，我們稱之為上升；而當y隨著x的增加而減少時，我們稱之為下降。

師：那么，如何描述函數f（x）中x的增加呢？

生3：x的數值變大就是增加，x的數值變小就是減小。

師：那么這個x數值增加到超過f（x）的定義域也可以嗎？沒有對比值也能比較出大小嗎？

生4：不行，超出定義域范圍都不行。還需要一個對比值。

師：所以誰來總結一下？

生5：在函數f（x）的定義域內，對于任意的x1和x2，如果x1＜x2，那么f（x1）＜f（x2）。

師：對于函數g（x）=的圖象，y是否隨著x的增加而減小，在不同區間上的單調性呢？

生6：因為函數g（x）=的定義域是x≠0，圖象可以分為兩部分。在（-∞，0）上，y隨著x的增加而減小；在（0，+∞）上，y同樣隨著x的增加而減小。

師：對于函數h（x），如何在區間（0，+∞）上描述y隨著x的增加而增加呢？

生7：取任意的x1和x2屬于（0，+∞），我們有h（x1）=x12和h（x2）=x22。當x1＜x2時，我們可以看到h（x1）＜h（x2）。

（設計意圖：首先通過直觀的幾何圖象讓學生感受函數的動態變化，然后用文字語言闡釋這些變化，最后再引入符號語言，讓學生在多種表達方式中深刻理解函數的本質，深化對函數單調性的理解，促進學生數學抽象思維的形成。最終，全面提升學生的數學核心素養。）

（二）抽象構建

師：請用符號語言定義單調增函數。

生8：如果函數f（x）的定義域為1，x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），則稱函數f（x）為單調增函數，區間D為函數f（x）的單調增區間。

教師追問：任何區間內都是這樣嗎？這樣說準確嗎？

學生補充：如果函數f（x）的定義域為1，且在區間D？哿1上，對于任意x1，x2∈D，且x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），則稱函數f（x）為單調增函數，區間D為函數f（x）的單調增區間。

師：請用符號語言定義單調減函數。

生9：如果函數f（x）的定義域為I，且在區間D？哿1上，對于任意x1，x2∈D，且x1＞x2，都有f（x1）＞f（x2）則稱函數f（x）在區間D上為單調減函數，區間D為函數（f）x的單調減區間。

師：函數g（x）=1的減區間（-∞，0）∪（0，+∞），那么g（x）=1在（-∞，0）∪（0，+∞）上是否為減函數？

生10：不正確。因為g（x）=1是一個常數函數，它在任何區間上的導數都為0，所以它既不是單調增函數，也不是單調減函數。它在整個定義域上都是常數函數，不具有單調性。

（設計意圖：讓學生在抽象與具體的交界處，把握函數單調性的精髓。通過引導他們用符號語言表達這一概念，激發學生從個別到一般、從具體到抽象的思考模式。）

（三）隨堂小測

師：請利用定義證明函數f（x）=的單調性，并指出它的單調區間。

（設計意圖：運用“定義法”清晰展示了學生的邏輯思維過程，讓學生進一步感受數學學科的嚴謹性。）

（四）總結分享

師：通過學習，同學們有什么收獲？在今天的學術探索中，你汲取了哪些智慧的甘露？請慷慨地分享你的見解與領悟。

第二課時 函數的奇偶性

（一）情境重構

師：下列各圖形（見圖1）展現了哪些獨特的美？

生1：軸對稱的美。

師：回顧你所學的函數圖象，哪些是軸對稱的？

生2：如f（x）=x2，g（x）=x2+1，h（x）=x等的函數圖象。

（設計意圖：借助軸對稱圖形這種導入方式，自然地過渡到偶函數圖象的討論。這既符合學生的認知規律，又能有效地激發他們對函數圖象性質的探究興趣。）

（二）分析與構建

師：深入觀察函數f（x）=x2和g（x）=x的圖象，它們之間有什么共性？

生3：這些圖象都展現出了關于y軸的對稱性。

師：比較f（1）和f（-1），以及f（2）和f（-2），還有f（3）和f（-3）的數值，它們之間有何聯系？

生4：無論自變量是正數還是其相反數，對應的函數值是相等的。

師：思考上述觀察是否具有普遍性，即f（-x）是否總是等于f（x）。

生5：通過分析，我們發現對于所有x值，f（-x）總是等于f（x），這表明函數f（x）是一個偶函數。

師：基于以上發現，我們能否推斷出一般性的結論：即對于任意函數y=f（x），如果它的圖象關于y軸對稱，那么f（-x）必然等于f（x）嗎？

生6：我覺得可以。

教師小結：偶函數圖象的特性體現在它們關于y軸鏡像對稱。這種對稱性意味著圖象上的每個點都有一個在y軸另一側的對稱點。基于這樣的圖象特征，我們可以正式提出偶函數的概念。考慮一個定義在集合I上的函數f（x），我們稱f（x）為偶函數，當且僅當對于I中任意一個元素x，其相反數-x也屬于I，并且f（-x）的值等于f（x）的值。

師：通過觀察函數f（x）=x和g（x）=的圖象，我們可以識別它們共享的顯著特征。它們分別具有哪些獨特的圖形屬性？

（明確：這兩個函數的圖象都展現了關于原點的對稱性。）

師：參照偶函數的研究方法，我們來計算f（1）和f（-1）、以及f（2）和f（-2）、還有f（3）和f（-3）的函數值，并探討它們之間的關系。

（明確：當自變量互為相反數時，因變量的符號也會互為相反數。）

師：現在我們來分析這些問題是否具有普遍性， f（-x）=-f（x）是否總是成立？

生7：通過驗證，得出結論：f（-x）=-x確實等于

-f（x），這一等式普遍成立。

師：基于以上發現，我們能否推廣出一般性的結論，即對于任意函數y=f（x），如果它的圖象關于原點對稱，那么f（-x）必然等于-f（x）？

生8：是的。對于任何關于原點對稱的函數圖象，都滿足f（-x）=-f（x）的性質，這也是奇函數的一個重要特征。

（設計意圖：通過研究具體的函數和它們的圖象，識別并總結偶函數的一般特點。這個過程不僅鞏固了研究函數性質的方法，而且展現了從特殊到一般的數學思想。隨后，采用類比教學加深了學生對函數奇偶性的理解，培養學生解決問題的能力及運用已有的知識去發現新知識的能力。）

（三）深化理解

師：深入理解偶函數和奇函數的概念，涉及函數f（x）的定義域I。在這個定義域中，對于任意的x值，都必須滿足-x也屬于I，這一條件說明了偶函數和奇函數的定義域具有什么共同特征。

師：在函數單調性的學習中，我們了解到單調性關注的是函數的局部變化趨勢，那么，函數的奇偶性是否也屬于研究函數的局部性質呢？

（設計意圖：以上兩個問題，旨在深化學生對函數奇偶性概念的理解。通過探討定義域的對稱性，學生能夠認識到函數的點對稱性內涵，同時使這一概念在數學的圖象中得到直觀展現。這不僅塑造了定義域的結構，還深刻地揭示了函數的本質特性。通過探究以上兩個問題，架起培養學生數學推理能力的橋梁，加強學生對數學概念的深度理解。）

（作者單位：陜西省安康市漢濱區漢濱高級中學）

編輯：蔚慧敏