關于圓錐曲線中的斜率取值問題的探究

［摘 要］ 文章圍繞圓錐曲線中的斜率取值問題開展解題探究與教學思考，并提出相應的教學建議.

［關鍵詞］ 圓錐曲線；斜率；取值范圍；思想方法

問題綜述

圓錐曲線中的斜率取值問題較為常見，但問題的綜合性極強，涉及函數、不等式、直線和圓錐曲線等相關知識. 圓錐曲線中的斜率取值問題的解析過程通常分為三個階段：

階段一，開展圓錐曲線位置關系、圓錐曲線特征的分析，挖掘信息條件；

階段二，圍繞問題進行推理轉化，結合已知條件構建斜率模型；

階段三，將斜率取值問題轉化為函數或不等式取值問題，結合信息條件完成求解.

斜率取值問題的求解一般有兩種思路：一是構建函數，將斜率取值問題轉化為與參數相關的取值問題，利用函數的性質來推理求解；二是構建不等式，將斜率取值問題轉化為與參數相關的不等式取值問題，結合圓錐曲線知識探尋不等關系求解.

實例探究

上述針對圓錐曲線中的斜率取值問題進行綜述分析，總結了相應的解題策略，形成了兩大求解思路，下面結合實例探究不同類型問題的解法.

1. 解析角度，破解取值

例1 設F，F分別是橢圓E：+=1（b>0）的左、右焦點，若P是該橢圓上的一個動點，且·的最大值為1.

（1）求橢圓E的方程；

（2）設直線l：x=ky-1與橢圓E相交于不同的兩點A，B，且∠AOB為銳角（O為坐標原點），求k的取值范圍.

思路分析 本題為涉及動點的圓錐曲線綜合題. 第（2）問設定直線l，求其斜率的取值范圍，核心條件為“∠AOB為銳角”，可以利用向量積與角度的相關性構建不等式求解.

過程解析 （1）由條件可知a=2，c=，b2<4，所以點F（-，0），F（，0）. 設點P（x，y），則·=（--x，-y）·（-x，-y）=

1-

x2+2b2-4. 由于x∈［-2，2］，分析可知，當x=±2，即點P為橢圓的長軸端點時，·可取最大值1，解得b2=1，所以橢圓E的方程為+y2=1.

（2）設點A（x，y），B（x，y），聯立直線l與橢圓E的方程，整理得（k2+4）y2-2ky-3=0，則Δ=（-2k）2+12（4+k2）=16k2+48>0，y+y=，y·y=. 因為∠AOB為銳角，所以·=xx+yy=（1+k2）yy-k（y+y）+1=（1+k2）-+1=>0，解得-<k<. 所以k的取值范圍為

-，

.

解后評析 第（2）問結合角度條件，將斜率取值問題轉化為不等式取值問題，再解析不等式獲得答案. 求解的關鍵是把握銳角條件，結合向量積知識構建不等式. 解題分兩步進行：第一步，把握角度條件，設定關鍵點的坐標；第二步，聯立直線與曲線的方程，利用向量積知識構建不等式，將斜率取值問題轉化為不等式取值問題，再解析不等式獲得答案.

2. 解析斜率，破解取值

例2 已知橢圓+=1（a>b>0）的左焦點為F（-c，0），離心率為，點M在橢圓上且位于第一象限，直線FM被圓x2+y2=截得的線段的長為c，

FM

=.

（1）求直線FM的斜率；

（2）求橢圓的方程；

（3）設動點P在橢圓上，若直線FP的斜率大于，求直線OP（O為原點）的斜率的取值范圍.

思路分析 本題為以橢圓為背景的綜合題，第（3）問探究直線OP的斜率的取值范圍，其核心條件是“直線FP的斜率大于”. 可設直線OP的斜率，將其轉化為與坐標參數相關的函數，結合已知條件以及函數的性質推導取值.

過程解析 （1）（簡答）直線FM的斜率為.

（2）可設橢圓的方程為+=1，直線FM的方程為y=（x+c），聯立橢圓與直線的方程，并整理得3x2+2cx-5c2=0，解得x=-c或x=c. 由于點M在第一象限上，推理可得點M的坐標為

c，c

. 所以，FM==，解得c=1，則橢圓的方程為+=1.

（3）設點P的坐標為（x，y），直線FP的斜率為t，則t=，即y=t（x+1） （x≠-1）. 聯立直線FP與橢圓的方程，并整理得2x2+3t2（x+1）2=6，結合已知條件可得t=>，解得-<x<-1或-1<x<0.

設直線OP的斜率為m，則可將其表示為y=mx（x≠0），與橢圓的方程聯立，并整理得m2=-，可將其視為關于x的函數，利用函數的性質分別討論.

①當-<x<-1時，則y=t（x+1）<0，m>0，所以m=，可得m∈

，

.

②當-1<x<0時，則y=t（x+1）>0，m<0，所以m=-，可得m∈

-∞，-

.

解后評析 第（3）問將斜率取值問題轉化為函數取值問題，借用函數的性質獲得答案. 求解的關鍵是聯立直線與橢圓的方程，構建關于坐標參數的函數. 解題分兩步進行：第一步，解析直線與橢圓的位置關系，設定關鍵點的坐標，聯立方程；第二步，建立關于坐標參數的函數，利用函數的性質推導取值.

3. 解析線段，破解取值

例3 如圖3所示，已知A是橢圓E：+=1（t>3）的左頂點，斜率為k（k>0）的直線交E于A，M兩點，點N在E上，MA⊥NA.

（1）當t=4，

AM

=

AN

時，求△AMN的面積；

（2）當2

AM

=

AN

時，求k的取值范圍.

思路分析 本題為以橢圓為背景的綜合題，題干設定直線與橢圓相交. 第（2）問是關于斜率k的取值范圍問題，解析重點是線段之間的關系，即2

AM

=

AN

，求解時可設定關鍵點的坐標，聯立方程進行轉化，結合相關條件構建不等式，推導斜率的取值范圍.

過程解析 （1）（簡答）構建面積模型，△AMN的面積可以表示為S=MN·d，其中d表示點A到直線MN的距離，求得△AMN的面積S=.

（2）由題意知t>3，k>0，A（-，0），聯立直線AM與橢圓的方程，并整理得（3+tk2）x2+2·tk2x+t2k2-3t=0. 設M（x，y），則x·（-）=，即x=，推理可得AM=. 根據題設可知，直線AN的方程可表示為y=-（x+），同理可得AN=. 已知2

AM

=

AN

，故=，即（k3-2）t=3k（2k-1）. 分析可知，當k=時，上式不成立，因此t=. 由于t>3，可得>3，整理可得<0，即k-2>0，

k3-2<0，或k-2<0，

k3-2>0，解得<k<2. 所以斜率k的取值范圍為（，2）.

解后評析 第（2）問將斜率取值問題轉化為不等式取值問題，利用不等式的性質獲得答案. 其中的核心條件為線段關系——2

AM

=

AN

，故解析關鍵是聯立方程，構建斜率k與參數t之間的關系. 求解分兩步進行：第一步，聯立方程構建線段關系式，提取參數之間的關系；第二步，圍繞所求問題，建立兩個參數之間的等量關系，將斜率取值問題轉化為不等式取值問題，再利用不等式的性質獲得答案.

解后思考

上文提出了圓錐曲線中的斜率取值問題的解題思路，并圍繞常見的考查題型開展了實例探究，所總結的方法策略對于圓錐曲線中的斜率取值問題的破解有一定的幫助. 下面結合實踐提出幾點教學建議.

建議1：典例探究需要注意問題特征的解讀

開展問題特征的解讀有助于提升學生的解題能力. 在解讀時，建議分階段循序推進，引導學生解讀問題的特征，把握問題的特點，讓學生明晰考查的重點，為后續的解法探究做鋪墊. 解讀時要注意以下三點：一是要準確定位問題，歸納問題所涉及的知識重點和知識考點，如上述問題就涉及函數、不等式、圓錐曲線、幾何等相關知識以及模型構建方法；二是挖掘特征時要逐漸深入，包括模型構建方法、常見的設問情形等；三是要合理拆解問題，注意引導梳理，一般按照基本信息、核心條件、重點問題來分別梳理.

建議2：典例探究需要注意破題策略的總結

破題策略的總結是典例探bc94ebbe76f444b4c9d894c453a3478cd819adc0ff74159fc7253af1a5d53794究的重要環節，在該環節中需要立足問題的特征結構開展解法思路探究，引導學生“知其緣由，明晰何故”，深刻理解解題的方法策略. 該環節建議結合以下三點來開展：一是挖掘問題的本質，構建解題思路. 二是總結分步方法，形成系統策略. 如上述探究中，針對斜率取值問題，結合圓錐曲線的知識特點，構建問題破解三步策略，將解析過程分為三個階段，思路清晰明了. 三是梳理總結解題過程所涉及數學思想方法，如上述問題的求解就用到了數形結合、分類討論、模型構造、化歸與轉化等數學思想方法，教學中要重點講解數學思想方法，讓學生逐步體會數學思想方法的內涵.

建議3：典例探究需要注意解題過程中的問題引導

解題過程中的問題引導可培養學生的數學思維，是有效提升學生解題能力的重要途徑. 在解題教學中，需要精選問題引導學生開展問題探究，讓學生充分體驗解題過程，積累解題經驗. 解題教學可分四個階段：階段一，給定問題，引導學生解析問題，剖析關鍵條件；階段二，引導學生思考解題思路，探索解題方向；階段三，引導學生構建解題過程；階段四，開展解后評析，引導學生反思解題過程，歸納總結解法. 整個解題過程中教師可采用“設問引導”的方法，利用問題引導學生思考，關注學生的思維變化，充分把握學情，合理靈活調整教學方式.

寫在最后

圓錐曲線中的斜率取值問題的探究，可按照“特征分析—方法解讀—典例探究—解后反思”的流程來設計. 教學中教師要引導學生關注問題特點，思考解題方法，形成解題策略，從而拓展學生的數學思維，提升學生的數學素養.