橢圓焦點三角形的周長結論專題探究

陳慶武

［摘 要］橢圓焦點三角形的周長結論廣泛應用于解題，建議教學中采用專題探究的方式引導學生探索證明。文章對橢圓焦點三角形的周長結論進行專題探究，并提出相應的教學建議。

［關鍵詞］橢圓；焦點三角形；周長結論；專題探究

［中圖分類號］??? G633.6??????? ［文獻標識碼］? ??A??????? ［文章編號］??? 1674-6058（2024）14-0005-03

橢圓焦點三角形的特征十分鮮明，即過橢圓一條焦點弦的兩個端點與另一個焦點。對于橢圓焦點三角形生成的一些特殊結論，學生在探究學習中若能準確歸納、深刻理解，則解題將事半功倍。教學中教師可以采用專題探究的方式，引導學生解析模型，針對性地進行探索證明，并結合實例進行強化訓練。下面筆者針對橢圓焦點三角形的周長結論進行專題探究。

一、專題探究

對于橢圓焦點三角形的周長結論，可以按照“結論探索→應用探究→深度拓展”的思路來進行探究。證明過程可結合具體模型，引導學生明晰證明邏輯；應用強化階段可遵循由易到難的原則設計問題，引導學生掌握解題方法。

教學環節一：模型透視，結論探索

橢圓焦點三角形的周長實則為定值，模型中最為鮮明的特點是生成了焦點三角形，其過橢圓一條焦點弦的兩個端點與另一焦點。下面進行具體探究。

［題1］如圖1，橢圓[C：x24+y23=1]的左焦點為[F1]，過[F1]的直線交橢圓于[A]、[B]兩點，求△[ABF2]的周長。

模型解讀：焦點弦——直線過橢圓的左焦點[F1]，與橢圓有兩個交點A和B，形成的線段[AB]。

焦點三角形——焦點弦AB與另一焦點[F2]構成的△[ABF2]。

結論探究：根據橢圓的第一定義可知[AF1+AF2=2a]，[BF1+BF2=2a]，將兩式相加得[AB+AF2+BF2=4a]，可得△[ABF2]的周長為[4a]。

深度解析：對于橢圓焦點三角形的周長結論——周長為定值[4a]，教師需要讓學生注意兩點：一是圖1中的直線AB經過的是橢圓左焦點，若直線AB經過橢圓的右焦點，結論不變，證明過程一致；二是關于該結論，可以解讀為橢圓焦點三角形的周長為定值，為長軸長的2倍，并且與過焦點的直線的傾斜角無關。

教學環節二：初步應用，過程指導

［題2］設[F1]、[F2]是橢圓[C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的左、右焦點，O為坐標原點，點P在橢圓C上，延長[PF2]交橢圓C于點Q，且[PF1=PQ]，若[△OPF1]的面積為[36b2]，則[PQF1F2=]???????????? 。

教學預設：本題看似是橢圓綜合題，實則為橢圓焦點三角形問題，問題條件較為隱晦。教學中，教師需要引導學生分步剖析突破，推導解析過程，可按照“條件解讀→圖象繪制→初步推理→解析求解”的邏輯來求解。

第一步，條件解讀。

條件1：點P在橢圓C上，延長[PF2]交橢圓C于點Q。解讀1：弦PQ經過橢圓的右焦點，為焦點弦，且[△PF1Q]為焦點三角形。

條件2：[PF1=PQ]。解讀2：[△PF1Q]為等腰三角形。

第二步，圖象繪制。

根據上述條件及其解讀，引導學生繪制如圖2所示的圖象。

第三步，初步推理。

由題意可知，[△OPF1]的面積為[36b2]，橢圓的兩個焦點關于點O對稱，[OF1=OF2]，則可以推知[S△PF1F2=2S△OPF1=236b2]。

在[△PF1F2]中，設[∠F1PF2=θ]，[θ∈（0，π）]，由余弦定理可得[F1F22=PF12+PF22-2PF1PF2cosθ]，則[4c2=4a2+（-2-2cosθ）PF1PF2]，整理可得[（2+2cosθ）PF1PF2=4a2-4c2=4b2]，所以[△F1PF2]的面積為[S=12PF1PF2sinθ=sinθ1+cosθb2=33b2]，即[3sinθ-cosθ=1]，[sinθ-π6=12]。

因為[θ-π6∈-π6，5π6]，所以[θ=π3]，結合[PF1=PQ]可知[△PF1F2]是等邊三角形，即[PF1=QF1=PQ]。

第四步，解析求解。

[△PF1Q]為橢圓的焦點三角形，根據橢圓焦點三角形的周長結論，可得[PF1+QF1+PQ=4a]，則有[PF1=43a]，則[PF2=23a]，所以[QF2=2a3]，可推知[PQ⊥F1F2]，故[PQF1F2=2PF2F1F2=2tan∠PF1F2=233]。

解后思考 本題的綜合性極強，核心點有兩個：一是探索[△PF1F2]的特性，需要靈活運用余弦定理來分析推理；二是合理利用橢圓焦點三角形的周長結論。教師在指導學生應用橢圓焦點三角形的周長結論時，需要明確兩點：一是注意圖形特征的挖掘；二是應用時要靈活變通，結合其他條件進行分析推理。

教學環節三：靈活變通，應用再探

［題3］已知[F1]、[F2]分別是橢圓[E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的左、右焦點，過[F1]的直線與橢圓交于A、B兩點，C、D分別為線段[AF2]、[BF2]的中點，[△CDF2]的周長為4，當A為橢圓E的上頂點時，[F1B=65]，則橢圓[E]的離心率為 ????????????。

教學預設：本題給定了三角形的周長，求解橢圓的離心率。教學中教師要引導學生關注其中的相似關系，利用相似三角形的周長特性反推出橢圓的特征參數，再結合條件求解橢圓的離心率。建議同樣采用分步突破的策略。

第一步，條件解讀。

條件1：過[F1]的直線與橢圓交于A、B兩點。解讀：[△ABF2]為橢圓的焦點三角形。

條件2：C、D分別為線段[AF2]、[BF2]的中點。解讀：CD為[△ABF2]的中位線。

第二步，圖象繪制。

根據上述條件及其解讀，引導學生繪制如圖3所示的圖象，其中CD∥AB。

第三步，初步推理。

根據題意可知[△ABF2]為橢圓的焦點三角形，且與[△CDF2]相似，相似比為2∶1，由橢圓焦點三角形的周長結論可知[△ABF2]的周長為[4a]，則[△CDF2]的周長為[2a=4]，可得[a=2]。

當點A為橢圓E的上頂點時，[AF1=c2+b2=a=2]，過點B作[BM⊥x]軸，垂足為M（如圖4），顯然[Rt△AOF1]∽[Rt△BMF1]（O為坐標原點）。因為[F1B=65]，所以[BMAO=F1MF1O=BF1AF1]，即[BMb=F1Mc=652=35]，所以[BM=35b]，[F1M=35c]，[OM=F1M+OF1=85c]，可求出點[B]的坐標為[B-85c，-35b]。

第四步，解析求解。

將點[B]的坐標代入橢圓方程中有[-85c24+-35b2b2=1]，則[c=1]，所以橢圓[E]的離心率為[e=ca=12]。

解后思考 本題是圍繞橢圓的焦點三角形進行構建的，其核心知識為三角形相似，在探究中教師應引導學生關注其中的相似模型，利用相似三角形性質來推理求解。對于其中的線段中點，注意推理衍生中位線、相似關系。

教學環節四：深度拓展，結論衍生

上述探究了橢圓焦點三角形的周長結論，顯然同為核心圓錐曲線的雙曲線，也應存在相似的結論。教學中教師需要引導學生參考橢圓焦點三角形的探究方法，立足具體圖形，對雙曲線焦點三角形問題進行推理證明。

［題4］已知[F1]、[F2]分別是雙曲線[E：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]的左、右焦點，過[F1]的直線與雙曲線的左支交于[A]、[B]兩點，連接[AF2]、[BF2]，試求△[ABF2]的周長。

模型解讀：過雙曲線左焦點的直線與雙曲線的左支交于[A]、[B]兩點，顯然△[ABF2]為雙曲線的焦點三角形，可根據題意繪制如圖5所示的圖象。

結論探究：由雙曲線的第一定義可知，[AF2-AF1=2a]，[BF2-BF1=2a]。設[AF1+BF1=m]，綜合上述兩個式子可得[AF2+BF2=4a+m]，則[ AB+AF2+BF2=4a+2m]，即△[ABF2]的周長為[4a+2m]。

深度解析：對于直線與雙曲線的同一支有兩個交點的情形，雙曲線焦點三角形的周長為[4a+2m]，該值顯然不為定值，[m]表示[AB]的長，該長度與直線的傾斜角相關。當直線與[x]軸垂直時，該長度最小，此情形也常作為最值問題來設問考查。

另外，直線與雙曲線的兩支分別有一個交點情形的結論，此處暫不進行探究證明，教師可引導學生自行分析論證。

二、專題教學建議

專題探究是數學教學的一種重要方式，旨在引導學生圍繞核心知識考點進行系統探究，歸納總結相應結論。教學中教師需要循序漸進地引導學生，促進學生充分參與。下面筆者針對專題教學提出幾點建議。

（一）立足模型，注重推理

關于數學結論的探索證明，建議立足模型，注重推理。例如對于雙曲線的焦點三角形，可以一般的圖形為例，繪制對應圖象，在此基礎上進行推理分析、生成結論，并加以解讀。同時，引導學生思考可能涉及的全部情形，確保結論嚴謹可靠。

（二）注重應用，強化記憶

專題教學中教師應合理設置問題，引導學生思考解決，以此強化學生的知識運用。設置問題時要注意兩點：一是問題要由易到難，逐步深入，讓學生能夠逐步理解探究的結論，并能夠靈活運用；二是問題要全面覆蓋，具有代表性，可以結合近幾年的考題進行拓展。

（三）思維拓展，提升素養

專題教學中教師應注意拓展學生的思維，提升學生的素養。以上述橢圓焦點三角形和雙曲線焦點三角形的周長結論的探究為例，應注意模型構建以及數形結合思想、化歸與轉化思想的滲透。借助問題結論探究滲透數學思想方法，讓學生逐步感悟思想精髓，在潛移默化中提升學生的數學素養。

綜上，橢圓焦點三角形的周長結論具有極高的應用價值，教師在引導學生開展探究時要注意結合模型，為學生展示過程證明，強化學生的應用實踐。在教學環節中，教師應合理設置問題，引導學生思考，啟發學生思維。在應用探索環節中，教師應深入反思總結，幫助學生積累解題經驗。

［?? 參?? 考?? 文?? 獻?? ］

[1]? 周躍佳.圓錐曲線焦點三角形角平分線性質的探究[J].數學教學通訊，2022（36）：84-86.

[2]? 岳緒彬.雙曲線焦點三角形內心的性質及其應用[J].中學數學，2022（3）：58-59.

[3]? 王學會.創新背景，總結方法，類比拓展：對一道橢圓綜合題的探討[J].中學數學教學參考，2023（15）：71-72.

（責任編輯 黃春香）