直觀蘊涵本質 關聯完善建構

那文君

1 試題呈現

（2022年南京中考·27）在平面內，先將一個多邊形以自身的一個頂點為位似中心放大和縮小，再將所得多邊形沿過該點的直線翻折，我們稱這種變化為自位似軸對稱變換，變換前后的圖形成自位似軸對稱．例如

（1）如圖1，先將△ABC以點A為位似中心縮小，得到△ADE，再將△ADE沿過點A的直線l翻折，得到△AFG，則△ABC與△AFG成自位似軸對稱．

（2）如圖2，在△ABC中，∠ACB=90°，AC

（3）如圖3，已知△ABC經過自位似軸對稱變化得到△ADE，Q是DE上一點，用直尺和圓規作點P，使P和Q是該變化前后的對應點（保留作圖痕跡，寫出必要文字說明）．

（4）如圖4，D為BC中點，∠BAE=∠CAD，∠ABE=∠C，求證DE//AC．

本題是2022年南京中考壓軸題，它是一道即學型試題，涉及圖形的軸對稱、相似變換等知識，考查學生對圖形變化的感知、理解和應用，突出對學生空間觀念、幾何直觀、推理能力、模型觀念等的考查，對初中階段的幾何教學和核心素養培育起到重要的引領作用．

2 特色解讀

2.1 立足教材，凸顯知識生長

教材作為數學知識的載體，是課標精神的體現．命題者基于教材中圖形變化知識點：位似和翻折，進行了整合與創新，尋找到知識的生長點和延伸點，形成了“即學型”題型．此題綜合考查了學生的基本知識和技能的運用能力，數學方法和思想的縱橫溝通與聯系能力，引導學生體會知識發生，發展和應用的過程，感受知識的整體性，也提醒師生重視模型意識，挖掘其潛在的研究價值．

2.2 注重探究，考查幾何直觀

本試題是全卷的壓軸題，承載著區分和選拔的功能，因此，試題在綜合考查“圖形與幾何”模塊的核心基礎知識的同時，突出考查了學生的幾何直觀、邏輯推理等數學思維能力．如本題的第1問，雖然是基礎題，但也需要學生具備一定的幾何直觀和邏輯思維能力，能從新定義的概念中挖掘隱藏的性質．從學生的答題來看，均分不高，也充分暴露了學生在這方面能力的薄弱．

2.3 回歸本源，體現數學能力

“解法開放”是此壓軸題最后一問的特色．即試題回歸到數學本源，注重通性通法．圓內問題“如圖5，在圓內接四邊形ABCD中，AB=AD，M是BC邊的中點，點N在對角線BD上，且滿足∠BAN=∠CAM．求證：MN//AC”與此壓軸題類似，但是壓軸題的圖形顯然更加簡潔大方，并且設置了思維的階梯，層層遞進，同時舍去了圓的大背景，使得學生的思考方向更加的廣泛，凸顯出本題對于圖形變化能力的考查．從學生的做法來看，可謂五彩繽紛，賞心悅目．

3 解法賞析

本題（1）（2）兩問比較基礎，不做探究．下面主要對于第（3）問，剖析符合學生認知規律的自然解法．

視角1 借助幾何直觀，利用中位線突破

仔細觀察題目中的已知條件“中點D”，結合圖形，是否有隱藏的信息？需要證明是過中點D的線段與另外一條線段平行，根據平時幾何學習中所積累的解題經驗，可以自然的想到通過中位線構造圖形并證明．

證法1 如圖6，延長BE交AC于點F，由題意易證ΔABE∽ACDΔ，所以AB/AC=BE/CD．

易證ΔABF∽ACBΔ，所以AB/BC=BF/CB，BF/CB=BE/CE，即CD/CB=BE/BF．

因為D為BC中點，所以BE/BF=1/2，即E為BF中點，所以DE為中位線，故DE//AC．

分析 證法1，2自然、簡潔，圖形的構造相對直接，只需延長BE，就能構造出含有中位線DE的三角形，通過圖形相似，找到邊的比例關系，最后利用BD=CD轉化比例，證出E為BF中點即可．過程中蘊含轉化和化歸的數學思想，可以體現學生的圖形變換能力．證法3是由倍長中線出發，是常用的中點構圖方法，但是該證法對學生比例轉化的能力要求較高．很多學生倍長中線后，無法繼續關聯模型，無法構造出含有DE的中位線，導致做法停滯．證法4是同一法的典型案例，難點體現在①：學生不敢去作AB的中點F，而是選擇延長DE交于F，后面會因為條件不夠而無法說理得證；②：作中點F后，默認DEF，，三點共線，最后導致說理不清．可見此方法對學生的邏輯推理能力要求較高，只有很少學生說理完整清楚，這其實也反映了教師在對于“同一法”的教學中是選擇避而不談的．

視角2 把握問題關聯，運用軸對稱突破

本題是即學型題型，一般以思維遞進形式設計，使用的模型和方法往往一脈相承．所以想一想前面的問題關聯，利用軸對稱來構造圖形，尋找解題的突破口．

分析 本題的立意是位似和翻折整合，形成即學型題目，學生在解決最后一問的過程中需要關聯思考前兩問的意義和作用，想象圖中是否有三角形可以通過位似翻折，繼而想到證法5，通過翻折，去思考有沒有相似圖形出現，如果可以發現新三角形相似，那么推導證明角相等就水到渠成了．在證法5的啟發下，證法6自然生成．此方法的難點在于不易察覺到CGBG⊥，學生陷入倒角證明角相等的循環中不可自拔，最后草草收場．證法7是在自相似軸對稱的引導下形成A字形相似，再翻折，就會找到ABFΔ≌AGHΔ∽ΔABC，利用比例關系推導出E點為中點，此方法對于構圖和識圖能力要求較高，學生容易誤認為GH過E點，從而做出錯誤解答．

視角3 借助模型意識，“一線三等角”突破

“同位角或內錯角相等，兩直線平行”，即“若∠ECB=∠C=∠ABE，則得證”，而這三個角頂點在一條線上，自然聯想到“一線三等角”模型，但是這三個角位置還需要調整，如此產生出以下的解題方法，甚是巧妙．

分析 證法8是比較簡潔的作法，是思維含量比較高的一種方法，“多思少算”體現得淋漓盡致．此方法要求學生必須對幾何證明中的“分析法”了然于心，只有通過分析法推導才能發現隱藏的模型，并且還要通過圖形的變化才能真正地形成“一線三等角”模型，突出考查了學生層層突破的能力和分析探究的素養以及尋找問題本源的能力．只有在平時教學過程中真正讓學生體會“要證”“即證”“得證”的思維過程，才能讓學生真正做到“對癥”施策．

4 教學啟示

4.1 深挖題目本質，開發優質素材

《義務教育數學課程標準》（2022年版）指出：“廣大教育工作者要勤勉認真、行而不輟，不斷創新實踐，把育人藍圖變為現實．”對經典題目進行創新研究，科學改編開發新穎題目，再作為教學素材探究學習，能夠反復地錘煉相關知識，不斷地認識問題本質，螺旋式提升思維水平．題目原型圖形較為復雜，本題從“簡化圖形、提升思維、發展素養”的視角去創新，重視基礎考查，創設情景引入，改掉大背景，隱掉一些關鍵的線段，相信讀者會驚嘆它設計之巧妙．因此，教師在平時備課時，要深挖問題內涵本質，理清整體來龍去脈，不斷進行新問題、新思想和新方法的探索，試圖開發具有前瞻功能和推廣價值的優質教學素材，以精干的研究品質帶動學生發揚進取精神，以創新的思維理念引領學生進行創新實踐．

4.2 開放課堂探究，助力圖形教學

章建躍博士說：“對于‘距離近的知識，如推論、有直接類比對象等知識的教學，教師可以不干預或少干預，讓學生獨立自學、自主探究．”探究式教學是發展學生思維的重要教學方式，教師出示問題后給足學生時間，鼓勵學生自主思考和表達，教師適時點撥而不過多干預．本題的證法1到證法9都是常見的自然解法，若在解題教學課上讓學生去逐步展示出來、讓小組去深度交流起來，學生的思維就會自然生長．過度靈巧的方法，學生思維難以觸及，教師也無需過度展示、強行灌輸．小巧一題一法，不應提倡，大巧法無定法，確實太難，出路在于中巧，這里的中巧指的就是有章可循的通性通法．教師在日常教學中，要本著“一切為了發展學生思維”的教學理念，摒棄“滿堂灌”的陳舊模式，維持探究教學的良好常態，筑牢思維生長的根本之基，讓課堂成為學生思維成長的加油站，使課堂成為學生能力提升的助推器．

4.3 引導關聯思考，發展數學能力

數學家G·波利亞在《怎樣解題》中指出：“從你獲得的那個幸運念頭開始，并補充一些可能需要的次要細節，盡可能詳細進行你想起的以前可行的所有代數或幾何運算．”對問題進行關聯思考是破解問題的必由之路，是發展數學關鍵能力的重要方式．在本題的解答中，學生對“中點”“相似”等條件進行正向思考，對“平行”結論進行逆向思考，想到與之關聯的中位線、軸對稱、等腰三角形等知識，然后補全其中的證明步驟，搭建起連接條件和結論的橋梁，問題就能迎刃而解，能力也就潛移默化地提升了．即學型題目，關聯性還體現在問與問之間，問題一般以思維遞進形式設計，使用的模型和方法往往一脈相承，想一想前面的問題間關聯，也是尋找突破口的自然思維．因此教師在平時的教學，要讓學生去深度關聯思考，然后及時進行方法總結，將碎片化的知識整合起來，形成相對完整的知識體系，植根于思維的深處，后續解決此類問題，便可快速調用知識體系中的內容，有條有理地進行思考，科學高效地解決問題．