利用COMSOL Multiphysics開發高中物理電場線教學素材

摘? 要：在中學物理教育中，電場和電場線是重要的抽象概念。然而，傳統教材中的示意圖往往過于簡化，缺乏實際物理情境的支撐，這不利于學生對這些概念的理解和思維建構。為解決這一問題，筆者利用ＣＯＭＳＯＬ Ｍｕｌｔｉｐｈｙｓｉｃｓ開發了一系列電場線相關的教學素材，生動展現了孤立帶電體及其在復雜外界影響下的電場線分布。這些素材的開發有助于教師利用仿真技術有效地分析和可視化電場概念，同時提供了一系列更貼近真實生活的非理想環境案例，使學生能夠深入理解電場，并培養他們的探究精神和創新能力。

關鍵詞：ＣOMSOL仿真；電場線；等勢線

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A ? ? 文章編號：1003-6148（2024）6-0083-4

電場線作為高中物理教學的關鍵內容，能夠直觀地揭示電場的方向和強度，是學生理解電場特性的重要工具。此外，電場線的知識為學生進一步探索電場能量性質奠定了基礎。現行人教版高中物理教材雖然提供了孤立點電荷、等量電荷以及平行板電容器等電場線分布示意圖，但這些示例有限且簡化，不足以全面深化學生對電場的認識，也不利于創新能力的培養。因此，開發更多教學素材以增強學生對電場概念的理解變得尤為迫切。

鑒于電場線的抽象性和不可觸摸性，軟件仿真是構建電場線教學素材的關鍵技術。目前，市場上存在多種用于模擬電場線的軟件，如Ｇｅｏｇｅｂｒａ［１］、ＮＯＢＯＯＫ［２］、ＰｈＥＴ交互仿真平臺［３］、ＭATLAB［４］和Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ［５］等。這些軟件能夠以幾何方法繪制電場線，但多數僅限于簡單示意圖的展示，難以仿真不同表面電荷密度下、不同介電質中的電場線和等勢線或等勢面，無法與真實物理情形關聯起來。此外，這些軟件也不擅長處理帶電體電場與其他物體之間的耦合問題，例如帶電體在金屬或介電材料附近的電場線扭曲現象。盡管ＭATLAB和Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ具備解決這類問題的能力，但較高的編程技能要求限制了它們的廣泛應用?；诖耍疚睦茫茫希停樱希?Ｍｕｌｔｉｐｈｙｓｉｃｓ （以下簡稱“ＣＯＭＳＯＬ”）開發的教學素材，不僅展示了孤立帶電體的電場線，還模擬了帶電體在復雜環境中的電場線分布，從而提供了一種更接近現實情境的教學方法，有助于學生深入領悟電場的本質。

１? ? ＣＯＭＳＯＬ簡介

ＣＯＭＳＯＬ 是一款基于有限元法的通用分析和仿真軟件［６］，能夠模擬單個物理場以及靈活地耦合多個物理場。該軟件便利地仿真單物理場和多物理場耦合問題，允許用戶通過幾何模塊構建物理模型，并通過網格剖分實現有限元分析。用戶可以為模型對象匹配材料和物理場接口，每個物理場接口內置了相應的物理公式，從而實現對電磁、結構力學、聲學、流體流動、傳熱等專業問題的分析計算，并繪制可視化場景。ＣＯＭＳＯＬ的物理模型可視化功能不僅提升了中學物理課堂教學的趣味性，幫助學生構建科學思維，還有利于培養學生的探究意識和創新素養。

２? ? 電場線教學素材開發

２．１? ? 孤立帶電體電場線和等勢面

為了便于對比ＣＯＭＳＯＬ與教材中的素材差異，首先仿真一個孤立帶電體的電場線和等勢面。在仿真過程中，需要建立物理模型，而ＣＯＭＳＯＬ提供了一個功能強大且簡單易用的模型開發器。全局定義可以設置一些全局參數，如帶電體的表面電荷密度。通過組件中的幾何組件來構建帶電體及靜電場分布空間，并通過材料組件確定空間介質的材料屬性。選擇三維模型，并選擇相應的物理場接口，如ＡＣ／ＤＣ—電場和電流—靜電（ｅｓ）。在幾何中，選擇生成球體，并在參數中帶電球體畫成半徑為０．１ m的球體１，球心位于坐標系原點，并在全局定義—參數１中定義好球體１的面電荷密度為１×１０－８ Ｃ/ｍ２。為了計算球體１在周圍空間產生的電場線，設置一個更大的、半徑為１ m的球體２，通過“差集”功能把球體１和球體２球面之間的區域作為物理場的域。然后，通過軟件的材料庫選擇空氣（Ａｉｒ）作為域內的介質。

由于研究的是靜電場，因此選擇了物理場—添加物理場—ＡＣ／ＤＣ—電場和電流—靜電（ｅｓ）。接著，在靜電選項中點擊右鍵添加表面—電荷密度，并在設置窗口中手動添加邊界，將球體１的外表面作為電荷密度的分布區域。由于系統把球體的表面切分為８個邊界，因此需要全部選定這８個邊界。在計算前，還需設置靜電場的接地端，即選擇球體２的球面作為接地。由于ＣＯＭＳＯＬ是基于有限元法進行計算的，因此需要網格剖分。點擊網格，在設置中選擇全部構建，即可實現對域的網格剖分，如圖1所示。

最后，點擊研究—計算，執行計算后，就可以得到電場和電勢等靜電性質。由于是三維空間，可以得到電場線的三維空間分布，如圖2（ａ）所示。從圖2可以看出，電場線由球體表面沿經線向外輻射。右側的顏色圖例表示當顏色從淺紫、紫、蘭、橙、紅、棕變化時，電場強度從１１．２ Ｖ/ｍ增加到１．１９×１０３ Ｖ/ｍ。從圖中可以看出，離帶電體越近，顏色越紅，電場線越密集，電場強度越大。這一素材和教材中的示意圖相比，多了場強大小的顏色表達。因此，將其作為教學素材時，教師不僅可以實現電場線的可視化，還能實現場強大小的可視化。學生多了一個了解靜電場的視覺維度，更容易形成對電場的思維建構。

需要指出的是，圖2給出的是電場和電場強度的計算結果，而非教材中的示意圖。將其作為教學素材，還能讓學生接觸到科學繪圖，培養嚴謹的科學態度和精神。由于孤立帶電體的電場線具有球對稱分布的特點，可以通過軟件的視圖切換功能（點擊箭頭所指方向），切換到ｘｙ平面視圖，如圖2（ｂ）所示。平面視圖更簡單，容易理解。由平面視圖可以看出，電場線向外輻射是沿圓的徑向方向。不同顏色的分界面為等勢線，等勢線為圓形，與電場線垂直。在教學時，可以先展現平面視圖，再向學生展現三維視圖。展現三維視圖時，告訴學生在三維視角下，電勢相等的點形成的不再是圓線，而是球面。這樣由易到難的進階式教學，更符合學生的認知規律。

通過三維繪圖組—添加流線—流線類型中添加箭頭，還可以給電場線加上方向箭頭，便于學生判斷電場的方向，結果如圖3所示。可以看出，圖中還描繪了一個等勢面（等勢面的個數可以設置），等勢面是球面，與電場線方向垂直。這說明電勢在球面內不變，但會沿著電場線的方向變化。在電場線中引入等勢面，能把電場線、等勢面（或者等勢線）和電場的概念聯系起來，便于學生理解電場線的物理內涵。

２．２? ? 兩個帶電體的電場線和等勢面

對于兩同種電荷或兩異種電荷的電場線分布的模型建構與孤立帶電體類似。建構時，由于缺少球形對稱性，不宜再采用球形域，而是采用立方體與兩個小球的“差集”作為物理場的“域”空間?？臻g介質仍然取空氣，并讓立方體的六個面接地。案例中，采取相同半徑的兩個帶電量相同的球體作為電荷載體。

對于同種正電荷，由于體積相同，只需要設置兩個球體的表面電荷密度相等且符號均為正值即可，計算結果的平面視圖（ｘｙ平面）如圖4所示。

由圖4（ａ）可以看出，兩個帶正電球體發出的電場線垂直于球體表面向外，由于是同種電荷，所以電場線不閉合。圖4（ｂ）為流線圖的二維視圖，電場線上加了箭頭，學生更容易判斷電場線的特點，即從正電荷出發，向無窮遠處延伸。顏色圖例表明，沿電場線方向，電勢是逐漸減小的。不同顏色的分界面為等勢面，靠近電荷的地方，等勢面為球面，且量值最大。離電荷較遠的地方，由于兩個電荷電場線的耦合，電場線不再球對稱，等勢面也不再是球面。由于立方體外表面接地，所以外表面電勢為零。平面視圖表現為矩形的四個邊電勢為零，電場線與邊垂直。

對于異種電荷，只需要把其中一個球體的表面電荷密度設為正值，另一個設為負值，即可計算得到ｘｙ平面多切面視圖和流線視圖，如圖5所示。

２．３? ? 帶電體附近有其他介質存在時的電場線和等勢面

在實際情況下，帶電體附近常常存在其他物質，這些物質會影響帶電體產生的電場，表現為電場線分布的變化。因此，可以利用ＣＯＭＳＯＬ強大的計算和仿真功能來研究這一問題。含電介質的平行板電容器是一個很好的例子，其結構簡單，適合作為初學者的學習素材。

需要指出的是，雖然平行板電容器是三維器件，但在垂直于平行板的切面上，電場分布相同。因此，可以將三維問題簡化為二維問題，分析切面上的電場即可。這樣做的好處是，可以減少計算量和自由度，提升仿真效率。

在構建有限元模型時，尖銳的邊緣會導致局部奇點和場與網格細化不收斂。為了避免這些尖銳的邊緣及其產生的奇點對仿真結果的負面影響，可以將兩個矩形的一端進行倒圓角處理，以使邊界更加光滑。利用矩形、倒圓角、復制和鏡像等操作構建幾何對象，既可以提高作圖速度，又便于后續的網格剖分和計算。

在此模型中，將下面的對稱平板接地，上面的兩個對稱平板作為終端，終端電壓設置為５ Ｖ，平行板間距為４ ｃｍ。中間的圓球定義為介電屏蔽材料，表面厚度為１ ｍｍ。域內空間介質為空氣，介電常數為１。當電容器中間不存在介電屏蔽材料時，中間圓球的介電常數設定為１（與空氣一致），計算結果如圖6（ａ）所示；當電容器中間存在介電常數為３０的屏蔽材料時（圓球的介電常數設定為３０），計算結果如圖6（ｂ）所示。其中，帶箭頭的流線為電場線，而不帶箭頭的線為等勢線。

可以看出，當沒有介電屏蔽材料時，平行板內部的電場線和等勢線都是平行的，形成一個矩形網格。從平行板邊緣開始，它們變得不平行。而當存在一個介電常數為３０的球形屏蔽材料時，平行板內部的電場線和等勢線明顯受到介電屏蔽材料的影響，在球形的上、下端變得密集，而在左、右端變得稀疏，流線箭頭類型為等時間流線箭頭。在圖6（ｂ）中，介質內的電場線箭頭位置偏上，表明電場線在經過介電屏蔽介質時，運動速度較慢。這些計算仿真結果可以作為電場線教學的可視化素材，讓學生觀察、分析和思考，從而形成對靜電場、等勢線和介電屏蔽等概念的思維建構。

３? ? 結? 語

通過ＣＯＭＳＯＬ Ｍｕｌｔｉｐｈｙｓｉｃｓ軟件開發了三個靜電場教學素材，旨在向中學物理教師展示如何利用ＣＯＭＳＯＬ構建物理模型，以及其在教學中的應用技巧。這些素材設計貼近實際生活中的復雜環境，有助于學生深入理解電磁場的概念。ＣＯＭＳＯＬ的優勢在于它平衡了入門難度，功能強大，使具備一定物理基礎的教師能夠在短時間內掌握，并仿真復雜的電磁場模型。這種方法不僅促進了學生探究精神、批判性思維和創新能力的發展，而且ＣＯＭＳＯＬ的多功能性還允許教師構建傳熱、聲學、力學和光學等多種物理模型。ＣＯＭＳＯＬ官網提供了豐富的仿真案例資源，教師可以從中獲得靈感，進一步開發新的教學素材。本研究中的第三個教學實例即是在官方案例的基礎上構建而成，這種借鑒方式大大提高了開發效率。

參考文獻：

［１］張鑫燚，邱蒼穹，徐麗佳，等．Ｇｅｏｇｅｂｒａ可視化輔助的電磁學習題教學［Ｊ］．物理教學探討，２０２２，４０（３）：６９－７１．

［２］劉傳寧．ＮＯＢＯＯＫ虛擬仿真軟件在高中物理實驗教學中的應用研究［Ｄ］.黃岡：黃岡師范學院，２０２３．

［３］萬嘉譽．五款虛擬仿真軟件在高中電學實驗中應用的對比研究［Ｄ］．昆明：云南師范大學，２０２３．

［４］譚偉，楊珍珂，賈偉堯．利用ＭＡＴＬＡＢ ＧＵＩ仿真實驗輔助中學物理電磁場教學［Ｊ］．物理教學探討，２０２２，４０（4）：７０－７２．

［５］謝文海，張佳寧，楊碩． Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ在高中物理電磁學可視化教學中的應用［Ｊ］．物理通報，２０２３（１２）：１３９－１４３．

［６］鄧文官，鐘文虎，張殷，等．孤立導體電場線作圖規范探討［Ｊ］．廣西物理，２０２３，４４（４）：１６－１９．

（欄目編輯? ? 賈偉堯）

收稿日期：2024-02-27

基金項目：重慶市研究生教育教學改革研究項目“理工類學術研究生的多學科交叉融合課程體系探索”（yjg223035）。

作者簡介：王明亮（1981-），男，中學一級教師，主要從事初中物理教學和研究工作。