充分條件與必要條件:揭示邏輯推理的思維密碼

數學是講邏輯、重推理的學科，每一個結論都需要充分的推導．本文尋找充分、必要條件的知識源頭并敘述新中國成立以來的教學要求，從高中數學的教學內容出發，對概念進行多視角闡釋，以期促進學生對概念的理解;從教育功能出發，培養學生的邏輯推理能力和構建知識體系的能力，提升課堂教學效率．

１ 研究緣起

在教研活動中，經常有教師問：“為什么高中數學中要學習充分、必要條件？”在與數學教師的交流中，部分教師也表示“這部分知識是學生學習的一個難點”“學生不理解，做題錯誤率較高”“學不學該部分知識對其他數學知識的學習沒有影響”等，導致教學的現狀是部分教師讓學生死記硬背，學生“知其然，而不知其所以然”，學生做題的錯誤率較高．那么，為什么無論是新教材還是老教材，都沒有刪去這部分內容？ 為什么從原來的數學教學大綱到數學課程標準都保留這部分內容？ 筆者從“充分、必要條件”的知識源頭入手，重點闡釋這一概念的教學思路與功能，以利于教師課堂教學的順利開展，提升課堂教學的效率.

２ 概念的淵源、發展與教學要求

亞里士多德是古希臘三賢之一，在數學、物理、文學、邏輯學等諸多領域都有巨大的成就，其中“三段論”一直被現代數學所沿用，充分、必要條件的概念便源于他所創造的邏輯學理論，他指出充分、必要條件是描述一定語言符號所指概念范疇所必需的集合特征，這些集合特征是對客觀世界中某一類實體的抽象概括，后來充分、必要條件在數理邏輯領域逐漸發展并廣泛應用，直到今天．

“有之則必然，無之則未必不然，是為大故，無之則必不然，有之則未必然，是為小故”出自戰國時期思想家墨子的著作?墨經?，這也是我國關于充分、必要條件概念最早的描述，形象地解釋了充分、必要條件的含義．新中國成立以來，教材版本不斷發生變化，但這一概念一直存在于數學教材之中．表１羅列了新中國成立以來高中數學教學大綱（以下簡稱大綱）、普通高中數學課程標準（以下簡稱課程標準）中關于充分條件與必要條件的表述．

從表１可以看出，充分、必要條件一直存在于高中數學知識體系之中，起初這些概念分散于不同的章節之中，如解析幾何、立體幾何、向量等，后來從培養學生邏輯思維能力的視角出發，這部分內容逐漸被整合到一個系統的章節中，使得學生可以更好地理解和應用這些概念，顯然，對于充分、必要條件知識的重要性的認識也是一個逐漸完善和加強的過程．

３ 充分、必要條件的概念闡釋

３.１ 依據教材，理解概念

北師大版教材給出的定義如下：一般地，當命題“若p，則q”是真命題時，稱q 是p 的必要條件，同時稱p 是q 的充分條件;如果p?q，且q?p，那么稱p是q 的充分且必要條件，簡稱p 是q 的充要條件，記作p?q．

在教學中，學生對充分條件易于理解，但對必要條件的理解較為困難，教材為了讓學生突破這一難點，先通過實例分析數學中的性質和定理，再給出定義，讓學生對必要條件語言有一個認識、歸納、理解的過程．在實際的教學中，效果依然不夠理想，需要從多個維度加以分析，引導學生抓住概念的本質．

３.２ 基于學情，深化概念

１）利用“逆否命題”的知識

在“幾何與圖形”課程內容中有“定義、命題、定理”一節，該節的教學要求：能結合具體實例，會區分命題的條件與結論，了解原命題及其逆命題的概念．會識別兩個互逆命題，知道原命題成立其逆命題不一定成立．為了增強學生的理解力，我們可以補充原命題的逆否命題的概念，利用逆否命題和原命題的等價性，充分、必要條件的定義如下．

“若p，則q”是真命題，則稱p 是q 的充分條件;即如果條件A 成立，則結論B 也成立，我們就稱條件A 是結論B 的充分條件．

“若￢q，則￢p”是真命題，則稱q 是p 的必要條件，即如果條件A 不成立，則結論B 也不成立，我們就稱條件A 是結論B 的必要條件．

這樣就進一步詮釋了必要條件的定義．例如，若兩個三角形全等，則兩個三角形的面積相等，稱兩個三角形全等是這兩個三角形的面積相等的充分條件．顯然，若兩個三角形的面積不相等，則這兩個三角形不全等，我們就稱兩個三角形的面積相等是這兩個三角形全等的必要條件．這也是對古籍?墨經?中的“無之則必不然”的具體解釋．

２）利用“集合”的知識

數學語言包括自然語言、符號語言、圖形語言，我們可以認為p?q 為符號語言，p 是q 的充分條件，q是p 的必要條件為自然語言，借用集合知識A ?B 可以表示為如圖１所示的圖形語言，如果x∈A ，那么x∈B，我們就說x∈A 是x∈B 的充分條件，由于x?B 時，x?A 成立，我們也稱x∈B 是x∈A 的必要條件．

我們知道，同一個研究對象，可以有不同的文字語言表征．同樣，闡釋同一件事物屬性的表達也可以有不同的方法，如“若p，則q”是真命題、p?q、p 是q的充分條件、q 是p 的必要條件這四種說法，表達的意思本質上是等價的，都在描述特定的一個邏輯關系．

４ 緊扣數學本質，發揮知識功能

４.１ 為知識梳理提供方法，建構學生知識體系

充分、必要條件知識貫穿整個高中乃至以后的數學學習，對建構學生的知識體系有重大意義．德國數學家開普勒說過，數學就是研究千變萬化中不變的規律．課程標準已經把“常用邏輯用語”等單獨列為一個主題，作為高中數學的預備知識，這有利于初中、高中的平穩過渡，知道數學中的每一條性質定理都給出了相應數學結論成立的一個必要條件;每一條判定定理都給出了相應數學結論成立的一個充分條件;每一個定義都給出了結論成立的充要條件．讓學生深度理解充分條件、必要條件、充要條件、判定定理、性質定理、定義之間的關系．利用充分、必要條件知識對所學知識進行總結，有利于學生站在更高的視角理解數學，學習數學．

４.２ 為解題提供思路，提升學生思維邏輯

１）分析法與充分條件

分析法是數學證明中常用的方法，其特點是執果索因．從充分、必要條件知識來看，這種方法的本質是從結論出發，然后一步步得到前一個結論成立所具備的充分條件或充要條件，直到歸結為命題的已知條件，或者歸結為定義、定理、公理等．

例１ 設a≥３，求證：

２）參數范圍問題與充要條件

我們在一些導數的綜合問題（如求參數的取值范圍）中，經常采取迂回的策略———必要性探路的方法，得到參數的范圍，然后再證明充分性成立．

例２ （２０２３年全國甲卷理２３）已知函數

至此，我們通過三角恒等變形以及不等式放縮，采用必要性探路的方法找到a 所滿足的必要條件a≤３，完成了必要性探路，下面再去證明充分性成立，即當a≤３時，f（x）＜sin２x 成立．

當a≤３時，有

綜上，a 的取值范圍是（－∞，３]．

必要性探路策略能明晰解題路徑，使問題化繁為簡，是對充分、必要條件知識的靈活運用，可以培養學生的轉化與化歸思想，提升學生的邏輯推理、數據分析等數學核心素養．在許多數學問題中，確定一個條件是否充分或必要是解決問題的關鍵，學習充分、必要條件知識可以幫助學生更好地理解問題，從而提高問題解決的能力．

４.３ 為大概念獲取提供路徑，促進學生深度學習

北京師范大學的郭華教授說過：“所謂深度學習，就是指在教師引領下，學生圍繞著具有挑戰性的學習主題，全身心積極參與、體驗成功、獲得發展的有意義的學習過程．”因此，利用充分、必要條件的功能可為大概念教學提供支撐．如“垂直”是中學數學中的一個核心概念，小學階段學生已經有了兩直線垂直的意識，初中的平面幾何已給出判定兩直線垂直的方法，高中數學也有相關內容，因此教師可以布置任務：如何利用充分、必要條件再次審視“垂直”這一概念呢？學生可以多角度深入思考高中數學中出現的關于“垂直”的相關知識．

若從向量的角度，當a，b 分別是直線a，b 的方向向量時，直線a⊥b 的充要條件是ab＝０;若從斜率的角度，當直線a，b 的斜率分別為k１，k２ 時，k１k２＝－１是直線a⊥b 的充分條件;在立體幾何中，學生可以歸納出更多的內容，如直線b?α，a⊥b 是a⊥α 的必要條件、{b⊥α，a∥b 是a⊥α 的充分條件等．綜上所述，關于“垂直”可以從向量的角度、斜率的角度和空間的角度來描述，這些方法不僅可以判斷兩條直線是否垂直，也可以為我們更好地提取大概念“垂直”創造條件，從而促進學生深度學習數學知識．

４.４ 為新命題的發現提供視角，促進知識自然生長

瑞士心理學家皮亞杰是建構主義理論的代表人物之一，他認為學生通過對概念的理解、應用，可以探索出新的知識，即知識是可以主動構建的．當我們嘗試尋找新的數學命題或結論時，可以運用充分、必要條件的思維方法，假設我們嘗試發現三角函數的某個性質，可以找到充分條件來表達該性質，也可以用必要條件來闡明在什么情況下不滿足該性質．例如，函數y＝Asin（ωx＋θ）（A ＞０）取得最大值時x 的范圍的充分條件既可以表述為{x|ωx＋θ＝２kπ＋π／２，k∈Z}，也可以是過圖像最高點時x 的取值集合，即從數與形兩個方面闡述．再如，已知△ABC 的三邊分別是a，b，c，則△ABC 是等邊三角形的充要條件是a２ ＋b２＋c２＝ab＋ac＋bc．這類問題可以為新命題的發現提供廣闊的視角，幫助學生深入理解數學概念促進知識的生長，養成從不同的視角探索數學奧秘的習慣．

?普通高中數學課程標準（２０１７年版２０２０年修訂）?在實施建議中指出：“樹立以發展學生數學學科核心素養為導向的教學意識，將數學學科核心素養的培養貫穿于教學活動的全過程．”數學教學的核心就是培養學生的邏輯思維能力，充分、必要條件是推理過程中的常用概念之一，它對培養學生的邏輯思維能力，提高他們的分析和解決問題的能力有著重要意義．因此，從某種程度上可以說，充分、必要條件是揭示邏輯推理的一個思維密碼．

本文系安徽省教育科學研究項目２０２３年度課題“‘教—學—評’一致性下的高中數學大單元教學的應用研究（課題編號：JK２３１５０）”的階段性成果．

（完）