多層面思考，解決與圓相關(guān)的問題

【摘要】在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，同學(xué)們需要多層面思考，以提升解題能力，促進(jìn)自身核心素養(yǎng)發(fā)展.通過跨界思考、一題多解和分類思考的訓(xùn)練，能夠培養(yǎng)初中學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)的能力，拓展解決問題的思路和方法.幫助學(xué)生更好地理解抽象的數(shù)學(xué)概念，提高解決復(fù)雜問題的能力，現(xiàn)以與圓相關(guān)的問題為例，作具體表述.

【關(guān)鍵詞】多層面思考；與圓相關(guān)的問題；初中數(shù)學(xué)

1 跨界思考

例1 已知圓心O到直線l的距離d=6，且⊙O的半徑是一元二次方程x2－3x－4=0的一個(gè)根.試判斷直線l與⊙O的位置關(guān)系.

分析 可先求解方程的根，確定半徑r的值，再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法，判斷直線和圓的位置關(guān)系.

解：因?yàn)閤2－3x－4=0，

所以x1=－1，x2=4.

又因?yàn)椤袿的半徑為一元二次方程x2－3x－4=0的根，

所以r=4，

因?yàn)閐>r，

所以直線l與⊙O的位置關(guān)系是相離.

2 一題多解

例2 如圖1，△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，求△ABC的內(nèi)切圓⊙O的半徑r.

分析 根據(jù)勾股定理，可以求出直角三角形的斜邊AB的長度.接下來，連接OD、OF.由于O是內(nèi)切圓的圓心，D和F分別是切點(diǎn)，根據(jù)切線的性質(zhì)，我們知道OD⊥AC且OF⊥BC，進(jìn)而得出矩形ODCF是正方形.再由CD = CF = OD = r，最終得出結(jié)果.

解法1 連接OD、OF，因?yàn)椤袿切△ABC的邊BC、AC于點(diǎn)D、F，所以可得OD⊥BC，OF⊥AC. 又因?yàn)椤螩=90°，所以四邊形ODCF是矩形. 因?yàn)镺D=OF， 可得：矩形ODCF是正方形.進(jìn)而，可進(jìn)一步推得：CD=CF=OD=r，BD=4-r，AF=3-r.還可以看出，因?yàn)锳B切⊙O于E，所以BE = BD，AE = AF，BD + AF = AB，最終可得：4- r +3- r =5，r = 1.

分析 當(dāng)將三角形上的B、D、R、F點(diǎn)與O點(diǎn)連接之后，就會(huì)形成大小不等的三個(gè)三角形，△AOB、△BOC、△AOC，這三個(gè)三角形的高都是圓的半徑，這三個(gè)三角形的面積加起來就是ABC的面積.借助這樣的等量關(guān)系，可求得r的數(shù)值.

解法2 由圖2所示，此題亦可采用面積變換求解.連接OA、OB、OC、OD、OE、OF，因?yàn)椤袿是△ABC的內(nèi)切圓，可得：OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC.因?yàn)椤螩=90°，BC=4，AC =3，可得：AB=5，因?yàn)椋篠△AOB+S△BOC+S△AOC=S△ABC，可根據(jù)三角形面積公式求得：r=1.

3 分類思考

例3 如圖3所示，正方形ABCD的邊長為6，M是AB的中點(diǎn)，P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接PM，并以P為圓心，PM為半徑作⊙P.當(dāng)⊙P與正方形ABCD的邊相切時(shí)，求BP的長度？

分析 要解決這道題，同學(xué)們需要運(yùn)用切線性質(zhì)、正方形性質(zhì)和勾股定理等相關(guān)知識(shí).關(guān)鍵是要利用分類討論的思維方式，通過設(shè)定參數(shù)和構(gòu)建方程來解決問題.這樣的解題方法可以幫助學(xué)生更好地理解幾何概念，提高解題能力.

解 因?yàn)檎叫蜛BCD的邊長為6，M是AB的中點(diǎn)，所以BM=3.

情況1 如圖3中的左所示，當(dāng)⊙P與直線CD相切時(shí)，設(shè)PC=PM=x. 在Rt△PBM中，因?yàn)镻M2=BM2+PB2，

所以x2=32+6－x2，

所以x=154，

所以PC=154，BP=BC－PC=94.

第二種情況：如圖3中的右所示，當(dāng)直線AD與⊙P相切時(shí)，假設(shè)切點(diǎn)為K.連接PK，則有以下結(jié)論：PK與AD垂直，同時(shí)四邊形PKDC是一個(gè)矩形.進(jìn)而可得：PM=PK=CD=2BM，

BM=3，PM=6，BP=PM2－BM2=33.綜上所述，BP的長為94或33.

在這道題中，學(xué)生可以將P點(diǎn)的位置分為兩種情況來進(jìn)行討論，將問題分解為幾個(gè)小問題，這樣能更容易地理解和解決每個(gè)小問題.其實(shí)，通過排除無關(guān)的情況，也可以縮小解決問題的范圍，從而節(jié)省時(shí)間和精力.因此，學(xué)生通過對(duì)所有可能的情況進(jìn)行分類討論，找到每種情況下的解決方案，能夠得到全面的答案.

參考文獻(xiàn)：

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