逆向思維在初中數學解題中的應用

【摘要】新課改背景下初中數學教師在為學生講解基礎知識的同時，需要傳授其必要的解題方式.逆向思維就是解決數學問題時常用的一種解題技巧，其是從結果出發逆向回推，從而快速得證.通過為學生講解逆向思維解題方法，不僅能調動學生對數學學科的探究欲，更能鍛煉學生數學思維的敏捷性與靈活性.本文通過4道典型例題闡述如何運用逆向思維解決初中數學問題.

【關鍵詞】初中數學；逆向思維；解題技巧

在解答初中數學問題時，學生所采用的解題習慣以及思維方式均會對解題效率以及正確率產生重要影響［1］.傳統模式下學生往往使用正向思維分析題干信息，按部就班解出答案，這可能會耗費大量的解題時間，更容易出現錯誤.逆向思維能夠幫助學生快速理清題干內容，有效突破慣性思維，讓學生充分運用所學知識進行反向推導，最終快速有效地解題［2］.研究發現，逆向思維能夠引導學生發散思考，提高初中學生思維的敏捷性與靈活性，培養學生形成良好的創新意識［3-5］.

1 否定性命題中逆向思維的運用策略

例1 已知：△ABC的三個內角是∠A、∠B、∠C.請證明：∠A、∠B、∠C內不會出現兩個角是直角的情況.

解析 當一個證明類問題里存在“不能”“不會”“沒有”“不是”等字眼時，學生就需引起重視，這屬于十分典型的否定性命題結構.如果學生想要直接證明該結論，首先需要對存在的所有可能性進行整合，其次逐一論證，整個過程十分復雜，且耗費時間.但如果學生采用逆向思維來進行解答，則能夠有效提升解題效率.

證明 假設∠A、∠B、∠C中有兩個角是直角，

可設∠A=90°，∠B=90°，

那么∠A+∠B+∠C>180°，

上述推導結果和“三角形內角和是180°”定理不符.

二者互相矛盾，因此∠A=90°，∠B=90°的假設不成立，

就說明∠A、∠B、∠C內不會出現兩個角是直角的情況.

2 存在性命題中逆向思維的運用策略

例2 若我們通過O點繪制7條直線，請大家證明：相鄰的兩條直線中，必然有一個以O為頂點的夾角度數小于26°.

解析 當題干中出現“存在”“有”等字眼時，授課教師可以引導學生使用逆向思維進行解答，將假設內容變成“沒有一個”.第一步，由于題干指出通過O點的直線為7條，因此兩兩相鄰形成的夾角數量為14個，且14個夾角度數的總和為360°.在運用逆向思維探究時，就可以假設14個夾角的度數均不小于26°；第二步，將14個夾角的度數相加，比較其與360°的大小，就能夠證明該命題.

證明 把O作為頂點，兩兩相鄰的直線能夠產生14個夾角，且這些角能夠圍成一個周角，

假設14個角都不小于26°，

可推出，14個角的度數之和應當不小于14×26°=364°>360°，

該結論與“周角的度數是360°”的定理不符，

進而推出，必然有一個以O為頂點的夾角度數小于26°.

3 “至少”“至多”命題中逆向思維的運用策略

例3 給出任意三個實數，a<b－c、b<c－a、c<a－b三個不等式中，至多同時成立兩個不等式.

解析 很多學生在看到題干中“至多”等字眼時會感到十分棘手，不知該如何解答.此時數學教師可引導學生使用逆向思維分析，首先假設上述所有不等式同時成立，再逐步進行推導.

證明 由于a、b、c為實數，可假設三者為數軸上的三個點，具體如圖1中的A、B、C.

那么a=OA，

b=OB，

c=OC，

b－c=BC，

c－a=AC，

a－b=AB.

假設所有不等式同時成立，

即a<b－c，

b<c－a，

c<a－b，

所以，AO<BC，OB<AC，OC<AB，

此外，OC=OB+BC>OB+OA=AB，

推斷出，OC>AB，這與原本的假設內容互相矛盾，

因此a<b－c、b<c－a、c<a－b三個不等式中至多同時成立兩個不等式.

例4 已知f（x）=x2+px+q，請證明：f（1）、f（2）、f（3）內至少有一個數值不小于12.

解析 當題干中出現“至少”等字眼時，學生同樣可以使用逆向思維進行分析.因此，我們可以將問題假設成：f（1）、f（2）、f（3）三個數值均小于12，再推導得出不成立即可.

證明 假設f（1）、f（2）、f（3）三個數值均小于12，

即1+p+q<12 （1），

4+2p+q<12 （2），

9+3p+q<12 （3），

那么－32<p+q<－12 （4），

－92<2p+q<－72 （5），

－192<3p+q<－172 （6），

將（4）式與（6）式聯立：

－112<2p+q<－92 （7），

由此可發現：（5）式和（7）式互相矛盾，因此原命題正確.

4 結語

在帶領學生解答初中數學問題時，授課教師需要為學生講解逆向思維的內涵以及具體解題思路，通過典型例題來提高學生對逆向思維的實踐運用能力，不斷完善學生的邏輯思維，切實提高學生的解題效率.

參考文獻：

［1］翟悅涵.逆向思維、出其不意：反證法在初中數學解題中的應用［J］.中學數學，2023（24）：68-70.

［2］姜倩梅.逆向思維在初中數學解題中的應用［J］.數理化解題研究，2023（32）：35-37.

［3］尹家惠.初中數學教學中如何培養學生的逆向思維能力［J］.中學課程輔導，2023（32）：96-98.

［4］李洪輝.初中數學教學中學生逆向思維能力的培養方法［J］.試題與研究，2023（33）：1-3.

［5］孫崇美.初中數學解題能力培養教學創新策略芻議［J］.學苑教育，2023（31）：19-21.