砂帶磨損對螺桿轉子磨削去除深度影響分析

摘要 為保證螺桿轉子表面磨削加工材料去除的均勻性，考慮砂帶磨料磨損對磨削去除深度的影響，建立螺桿轉子材料去除深度數學模型。根據彈塑性變形理論，結合磨削過程中磨粒的磨損規律，建立單顆磨粒材料去除率理論模型。將磨粒的磨損分為快速磨損階段和穩定磨損階段2個階段。基于單位接觸面積上磨粒的數目和磨粒的出刃規律，運用數值積分和接觸壓力計算出磨粒的最大切削深度，利用積分建立基于砂帶磨損的宏觀材料去除率數學模型。該數學模型考慮了砂帶的磨損，其預測值和試驗值相比，最大誤差為9.6%，最小誤差為4.1%。該試驗數據充分驗證了模型的有效性，可以為保障螺桿轉子廓形精度提供理論基礎。

關鍵詞 砂帶磨損；數學模型；去除深度；螺桿轉子；模型驗證

中圖分類號 TG70；TG580 文獻標志碼 A

文章編號 1006-852X（2024）02-0228-09

DOI 碼 10.13394/j.cnki.jgszz.2023.0094

收稿日期 2023-04-23 修回日期 2023-06-30

砂帶磨削幾乎可以加工工程上的所有材料，有著“萬能磨削”之稱[1]，但是在磨削過程中工件表面材料磨削去除深度存在差異，很大程度上會影響工件表面的形面精度。如何精準地控制加工參數使工件在磨削過程中獲得均勻的材料去除率變得十分重要。預測材料去除率的模型較多，但總的來說可分為基于加工理論、試驗研究、設計實驗和人工智能4類[2]。

ZHE 等[3]根據 Preston 方程及 Hertz 接觸理論預測磨削過程中工件材料的去除深度，以磨削壓力為重點研究對象，研究了砂帶磨削過程中接觸壓力對材料去除的影響。遲玉倫等[4]針對傳統材料去除理論模型未考慮工件表面不規則變形的問題開展了研究，利用分段函數建立了材料去除率理論模型。劉斐等[5]針對接觸輪在張緊力的作用下發生變形的問題，采用復變函數解析法建立材料去除率模型。齊俊德等[6]研究了微觀單顆磨粒對材料去除率的影響規律，結合 Hertz接觸理論以及概率統計理論從單顆磨粒的材料去除率模型推廣到整體砂帶對工件的材料去除率模型，但此模型并未考慮砂帶磨損因素。 WANG 等[7]通過 Hertz 接觸理論分析作用在工件表面的磨削力，采用 Hammann模型建立材料去除深度模型，結果表明非線性材料去除率模型的精度高于線性材料去除率模型的。

目前有很多學者利用仿真軟件將磨粒簡化成球體或錐體等，對工件進行切削仿真，觀察磨削參數對材料去除率的影響[8]。王榮全[9]對鋼軌打磨的磨削過程進行了建模和實驗研究，分析了砂帶磨粒對鋼軌的磨削作用，并以砂帶磨損帶來的影響作為下一步的研究目標。杜瑤等[10]將砂帶的磨削過程分為3個階段，分別探究了不同磨削階段下砂帶磨削中密度纖維板的表面粗糙度以及材料去除率，此研究針對的是磨削平面，未對磨削曲面進行研究。KARKALOS 等[11]建立了2個 金剛石磨粒磨削單晶銅模型，通過研究不同工藝參數下磨屑的形貌，分析得出最佳磨削參數，此研究也未考慮砂帶磨損帶來的影響。楊雅琦等[12]在磨削木材過程中結合砂帶磨損機理對磨削后的木材表面粗糙度進行分析，同時也探究了工藝參數對砂帶磨損的影響規律。

為實現磨削時工件表面材料去除均勻性，相關學者采用各種方式進行研究，例如，通過分析工件與磨具之間的接觸應力或者通過實驗仿真的方式進行理論研究，將實驗與智能算法相結合以建立材料去除率預測模型，但是這些研究通常局限在平面磨削與微觀的點接觸磨削上，由于螺旋曲面的測量以及壓力分析較為復雜，因此對復雜曲面的研究很少。當磨削螺桿轉子類零件時，磨削裝置與螺桿轉子之間的壓力隨著磨削路線的變化而發生變化，從而難以掌控磨削的深度。因此研究復雜磨削路線中磨料磨損對材料去除深度的影響顯得尤為重要，本文根據單磨粒的切削過程，分析不同切削深度下單磨粒的材料去除機理（如圖1所 示），并由此建立基于砂帶磨損的材料去除率數學模型。

1 砂帶磨粒磨損規律

1.1 磨粒模型簡化及測量

工藝參數、砂帶材料以及工件材料共同決定了砂帶壽命，砂帶選型主要是挑選適合磨削多頭螺桿轉子的砂帶，即尋求一種磨削能力較強、服役壽命長、磨削后能夠滿足螺桿轉子表面粗糙度要求的砂帶。目前棕剛玉、陶瓷、碳化硅、鋯剛玉4種類型的砂帶在磨削作業時被廣泛使用，其具體的磨削屬性見表1。磨粒的幾何形狀會影響砂帶的磨削性能。

根據表1可以得出鋯剛玉砂帶的磨削效率較高且 耐磨性能最好。經過實驗發現，粒度為178μm 的鋯剛 玉砂帶可以滿足螺桿轉子的加工需求，通過超景深顯 微鏡觀察發現該類型砂帶磨粒成圓頂圓錐狀，由圓頂 半徑 R、錐頂角α和攻角β表示，磨粒簡圖如圖2所示，磨粒磨損高度示意圖如圖3所示。

式中：h'為磨粒圓頂到三角錐體的高度，即虛擬值； R 為磨粒頂端半徑；Δh 為砂帶的磨損高度；H 為磨粒的 出刃高度。

采用超景深顯微鏡對砂帶磨損前后的高度進行測量，超景深顯微鏡的測量界面如圖4所示。

砂帶基體為長方體，其周長 l 為1400 mm，寬 b 為10 mm，假設底面圓形的直徑為 dm，磨粒的平均粒徑可由式（3）計算得出：

dm =68· Mv ?1.4"""""""""""""""""""""" （3）

式中：Mv 為磨粒的平均粒徑，mm。

建立砂帶表面形貌需要對其表面坐標進行采集，其中采樣間隔會影響砂帶表面形貌，測量間距越小越 接近真實的砂帶表面形貌，但這會導致測量數據點的 增加，進而增加工作量，BLUNT 等[13]提出了適合砂帶 測量的采樣間隔，如式（4）所示。根據本文選擇的砂帶，采樣間隔應為40μm。砂帶的植砂密度通常保持在砂帶表面積的40%～60%，為了重建砂帶表面圖像，采用超景深顯微鏡獲取砂帶表面形貌坐標點，利用編程軟件對坐標點進行三維重建，砂帶磨損前后的表面形貌如圖5、圖6所示。

1.2 磨粒磨損規律

根據圖5、圖6可以得出，砂帶磨損前后磨粒出刃 高度不一致，測量發現未磨損的砂帶磨粒出刃分布規 律近似于高斯分布，磨損后的砂帶磨粒的磨損高度趨 于一致。將砂帶磨削25 min，每隔1 min 測量砂帶磨粒 的出刃高度和螺桿轉子表面粗糙度，測量結果如圖7、圖8所示。

根據圖7、圖8可以得出，砂帶磨粒的出刃高度在 磨削前5 min 時磨損較快，且砂帶磨粒出刃高度不一致，螺桿轉子表面粗糙度為0.7～1.0μm，此時稱為快速磨 損階段。在磨削5～20 min 內砂帶的磨損較為穩定，砂帶磨粒出刃高度較為一致，螺桿轉子表面粗糙度為0.5 左右，此時稱為穩定磨損階段。在磨削20 min 后采用 粗糙度測量儀測出的工件磨削表面的粗糙度不滿足驗 收標準，故在確定磨削螺桿轉子表面材料去除率時，僅需計算磨削20 min 內的材料去除率。

2 壓力仿真及磨粒切削仿真

2.1 接觸壓力仿真

在計算磨削材料去除率時，需確定砂帶與螺桿轉 子之間的接觸壓力。由于螺桿轉子型面復雜，解析方 式不易獲得接觸區域壓力分布情況，故采用有限元仿 真分析的方式獲取螺桿轉子與接觸輪之間的接觸壓力分布，具體如圖9所示，工件與接觸輪的材料屬性見表2。

在進行網格劃分時，將接觸處的網格尺寸設置為0.1 mm ×0.1 mm，在接觸輪磨削時將正壓力設置為80 N。由以上條件，可以得到接觸區域各節點處的接觸應力值。根據圖9接觸輪與螺桿轉子之間的壓力仿真結果可知，該參數下接觸輪的最大壓力約為0.866 MPa。

2.2 磨粒切削仿真

砂帶磨削過程中，磨粒逐漸發生磨損，其頂端半徑會逐漸增大，經過測量發現初始時磨粒的圓頂半徑約 為10μm，在磨削5 min 后磨粒的圓頂半徑約為30μm，當磨削25 min 時，磨粒的頂端半徑約為55μm，因此將 磨粒簡化為圓頂圓錐進行磨削仿真，根據其磨削力的 變化，計算磨損系數，磨削仿真如圖10至圖12所示。磨削力變化規律如圖13所示，參數設置如下：磨粒彈 性模量為300 GPa，泊松比為0.24，切削速度為10 m/s，工件采用六面體進行網格劃分。

從圖10至圖12可以得出，磨粒的圓頂半徑越大工件與磨粒之間的應力越小，因為磨粒圓頂半徑越大磨削時磨粒切削深度降低，磨粒與工件的接觸面積減小且應力降低。由圖13可知，磨粒的磨削力隨著頂端半徑的增大而增大，因此砂帶磨鈍后切削能力下降。根據圖13將砂帶的磨削分為2部分，并根據磨削力的變化計算砂帶磨粒的磨損系數ξ， 即當前磨損形態磨粒的磨削力與初始時未磨損磨粒磨削力的比值：

式中：Fc 為當前磨損形態磨粒的磨削力；Fq 為未磨損磨粒的磨削力。

3 材料去除數學模型建立

3.1 磨粒切削時的彈塑性變形

當最高磨粒的出刃高度小于螺桿轉子的最大彈性變形量時，砂帶表面的磨粒與螺桿轉子之間只發生彈性變形。當單顆磨粒受到的壓力為 F0時，螺桿轉子發生彈性變形量，如式（6）～（9）所示[14]，單顆磨粒與工件作用示意圖如圖14所示。

式中：Pv 為單顆磨粒受到的平均壓強；Rm 為磨粒底端半徑；F0為施加壓力；E 為綜合彈性模量。

?=π（1） 16（9）RmE（F02）2）3（1）

式中：δ為彈性變形切入深度。

式中：δmax 為工件在發生彈性變形時，磨粒的最大切入深度。

式中：E1、E2分別為工件和磨粒的彈性模量；v1、v2分別為工件和磨粒的泊松比。經過計算發現工件發生彈性變形時磨粒的切入深度為7.63×10-5μm，遠小于磨粒塑性變形時磨粒的切入深度，所以忽略工件的彈性變形。

3.2 最高磨粒刺入深度求解

當砂帶磨粒所受的切向力足夠大時，磨粒會對螺桿轉子表面產生耕犁或切削作用，此時磨粒受到的壓強通常取 Pv=HB/2。由于磨粒的形狀為圓頂圓錐，其切入螺桿轉子表面的部分分為球體和錐體2部分，球體的切入表面積 S1如式（11）所示，錐體的切入表面積 S2如式（13）所示。

式中：S1為圓頂部分與螺桿轉子的接觸面積。

式中：Fs1為磨粒圓頂對螺桿轉子產生的塑性變形力。

式中：S2為磨粒與螺桿轉子的接觸面積。

式中：Fs2為磨粒對螺桿轉子產生的塑性變形力。

采用超景深顯微鏡對砂帶磨粒單位面積的數目和出刃高度進行測量，砂帶磨粒與螺桿轉子相互作用的情況如圖15所示，以磨粒平均出刃高度作為原點建立直角坐標系，其中ω’為磨粒最高出刃高度。

可通過柱狀圖描繪出砂帶表面磨粒出刃高度的分布密度曲線，從而對其整體分布規律進行評估，通過測量，砂帶磨粒出刃高度分布如圖16所示。

通過圖16可以計算出磨粒的平均高度為177.5μm，標準差為37.8。

式中：Nz 為單位面積上的磨粒總數占比率；Nm 為測量區域內磨粒總數；M1、N1分別為測量的行數和列數；ΔL 為測量的步長。

f（h）= e?（h?u）2，|h|lt;3σ""""" （16）

式中：σ為出刃高度均方差。

通過分析得出，砂帶單位面積上磨粒對螺桿轉子產生的壓力 Pz 主要由磨粒的彈性變形力與塑性變形力2部分組成，設最高磨粒的切入深度為ω′，可得出：

h0=3σ?ω′"""""""""""""""""" （17）

當最高磨粒的切入深度ω′小于彈性變形的壓入深度，即3σ-ω′≤h0≤3σ-ω′+δmax 時，此時單位面積上磨粒對螺桿轉子產生的彈性變形力為：

Ft = lh 0+?max Nz F0f（h）dh"""""""" （18）

當工件發生塑性變形時，假設最高磨粒的切入深度為δmaxlt;ω′lt;R，砂帶單位面積上磨粒對螺桿轉子產生的塑性變形力為：

F1= lh NzFS1f（h）dh"""""""" （19）

假設最高磨粒的切入深度為 Rlt;ω'lt;3σ， 砂帶單位面積上磨粒對螺桿轉子產生的塑性變形力為：

F2= lh0（3） R NzFS2f（h）dh

磨粒單位面積所受的外力為：

結合式（18）～式（20），通過仿真求出單位面積上的壓強分布，進而可以得到最高磨粒的實際切削深度。

3.3 材料去除模型建立

在磨削過程中，假設在單位時間 t 內磨粒與螺桿轉子接觸掃掠過的體積為微元 Q。砂帶磨粒進入磨削區域后對微元持續地進行材料去除，直至微元處的體積被磨粒切削掉為止。微元 Q 的總體積為接觸區域內 所有磨粒切削材料體積的總和，將微元 Q 進行放大，dx、 dy、dz 分別為微元 Q 的長寬高，微元簡圖如圖17所示。

由圖17可得，微元的表面積為：

S 3= dldx""""""""""""""""""""""""" （22）

式中：dl 為磨粒單位時間內砂帶旋轉磨粒經過微元的實際長度。

dl = VS dt"""""""""""""" （23）

V′= Vc ± wr"""nbsp;"""""""""""""""""" （24）

式中：VS 為砂帶的選擇速度；V'為砂帶與螺桿轉子的相對速度；wr 為工件旋轉速度，同向為負，逆向為正。

單位時間內微元處參與磨削的磨粒數為：

N2= S 1Nz lh0（3）σ f（h）dh""""""""" （25）

當磨粒的切削深度小于球冠半徑時，磨粒頂部球冠切削橫截面積為：

ΔA1=πR2 R2 sinαcosβ"""""" （26）

單顆磨粒的球冠切削體積為：

V1=ΔA1 dy"""""""""""""" （27）

當磨粒的切削深度大于球冠半徑時，磨粒切入的橫截面積為：

ΔA2=πR2 R2 sin αcos β+

（h? h0+ h′）2tan α? Rsin α（h′+ R ? Rsin α）（28）

磨粒的去除體積為：

V2=ΔA2 dy""""nbsp;"""""""" （29）

微元處磨粒總體材料去除體積為：

V =dxdydz = h 0+R e?h2/2σ2ΔA1 dh+

lh0（3） R e?h2/2σ2ΔA2 dh）dy

在微元處磨粒的磨削深度為：

H1= d（d）y（z）= d（N）x（2）dy2（V0）= vf（ξ）2π（Nz）σ lh 0+R e?h2/2σ2（ΔA1）dh+lh0（3） R e?h2/2σ2ΔA2 dh）dh（31）

將式（31）簡化為：

H1= lh 0+R e?h2/2σ2（ΔA1）dh+lh0（3） R e?h2/2σ2ΔA2 dh）dh

對于砂帶磨削穩定期，其磨粒刺入深度區域一致，因此將磨粒形貌化作一致，計算出單顆磨粒的材料去 除量，結合接觸面積上的總磨粒數即可計算總材料去 除量，假設磨粒從某一位置切削到另一位置走過的距 離為 L1，則磨粒切削掉的材料總體積應為：

V0=¨Δ（Δ）A2（A1）·（·）L1（L1），，（） ap（ap） R（R）"""""""" （33）

式中：ap 為穩定磨削期間磨粒的切削深度。

當磨粒與螺桿轉子接觸的時間無限小時，單顆磨粒切削的材料量為：

dap = v′dt"""""""""""""""""""""" （34）

若已知砂帶磨損的起始位置，則可計算磨削穩定期的磨削深度，具體如下：

ap = l 2 Ldl""""""""""" （35）

穩定磨削期間總的材料磨削量為：

Nz · SξPvΔA1 ll2 Ldl， ap lt; R

Q總=〈 N · Sξ（H）P（B）ΔA2" l2（l1）""""""""""""" （36）

綜上所述，砂帶磨損對磨削螺桿轉子材料去除率的求解流程如圖18所示。

4 試驗驗證

4.1 試驗設備及流程

本文采用自主研發的磨削裝置對螺桿轉子凹面進行試驗，首先設置試驗參數，然后將磨削裝置的接觸輪調整到螺桿轉子凹面，使其沿著螺旋線進行運動，最后采用線性激光測量儀對螺桿轉子磨削前后的表面輪廓進行測量，一共測量8組試驗。

4.2 螺桿轉子磨削材料去除率模型試驗驗證

使用 LJ-X Navigator 軟件采集 LJ-X 系列測得的圖 像及坐標點，并將采集的結果通過 LJ-X Navigator 作為 數字日記進行輸出，打磨之前將線性激光位移傳感器 安裝在夾具上，使線性激光垂直打在螺桿轉子截面輪 廓上，調整夾具至合適的位置，使線性激光測量儀測量 出的坐標位置在有效范圍內。測出的部分數據點見表3， X 坐標代表螺桿輪廓數據點的橫向位置，Y 坐標代表螺 桿輪廓數據點的縱向位置，磨削前后需要將坐標點相 匹配，匹配原則如式（37）所示，實際螺桿轉子廓形與 理論螺桿轉子部分廓形如圖19所示。

mind = è （（xi（′）? xi ）2+（yi（′）? yi ）2）

式中：mind 為磨削前后坐標位置的最小距離。

挑選采集的數據點并將其進行擬合，在同一坐標系中將磨削前螺桿轉子曲面數據點坐標減去磨削后螺桿轉子曲面坐標即可得到實際磨削深度，砂帶實際磨削深度與計算值對比結果見表4。

通過對比螺桿轉子磨削前后表面輪廓測量得到的磨削深度與數學模型計算的磨削深度發現，試驗8組數據中最大誤差為9.6%，最小誤差為4.1%。分析誤差主要來源于兩方面，一方面是磨粒磨削初始時高度的分布狀態并非完全符合高斯分布，在磨損過程中對工件進行切削的磨粒頂部不是規則的球形。另一方面則是由于螺桿轉子與接觸輪實際接觸區域的壓力分布與有限元分析存在誤差。但模型的整體準確率保持在10%以內，由此證明了建立的螺桿轉子材料去除率數學模型的可行性。

5 結論

（1）對砂帶表面磨粒出刃高度進行測量，探究砂帶磨粒的磨損規律，利用計算機編程建立砂帶表面三維數字化模型，解決了砂帶表面形貌難以重塑的問題。

（2）利用有限元仿真軟件對螺桿轉子與接觸輪接觸區域的壓力進行仿真，獲得接觸區域壓力分布情況，并利用單顆磨粒磨削仿真的方式明確磨削歷程中磨削力的變化規律。

（3）將砂帶磨粒簡化為圓頂圓錐，利用磨粒的彈塑性變形、數值分析等理論建立了基于砂帶磨損的材料去除率數學模型。通過試驗驗證，該模型的誤差在10%以內，可以為螺桿轉子砂帶磨削表面的均勻去除提供理論基礎。

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作者簡介

陳斯睿，男，1998年生，碩士研究生。主要研究方向：復雜曲面精密加工。

Email： a13897990910@163.com

通信作者：孫興偉，女，1970年生，教授，博士研究生導師。主要研究方向：數控裝備及理論。

Email：ww7247@126.com

Analysis of the influence of abrasive belt wear on the removal depth ofgrinding screw rotor

CHEN Sirui1，2，SUN Xingwei1，2，YANG Heran1，2，LIU Yin1，2

（1. School of Mechanical Engineering， Shenyang University of Technology， Shenyang 110870， China）

（2. Key Laboratory of Numerical Control Manufacturing Technology for Complex Surfaces ofLiaoning Province， Shenyang 110870， China）

Abstract To ensure the uniformity of material removal during surface grinding of screw rotors， a mathematical model for the material removal depth of screw rotors is established， considering the impact of abrasive wear on grinding re- moval depth. Based on the theory of elastic-plastic deformation and the wear pattern of abrasive particles during grind- ing， a theoretical model for the removal rate of single abrasive material is established. The wear of abrasive particles is divided into two stages： the rapid wear stage and the stable wear stage. Based on the number of abrasive particles per unit contact area and the rule of abrasive cutting edge， the maximum cutting depth of abrasive particles is calculated by numerical integration and contact pressure， and the mathematical model of macroscopic material removal rate based on abrasive belt wear is established. The model consideres the wear of the sand belt. The maximum error of the predicted value is 9.6%， and the minimum error is 4.1% compared with the experimental value. The experimental data fully veri- fy the effectiveness of the model， and can provide a theoretical basis for ensuring the profile accuracy of the screw rotor.

Key words belt wear；mathematical model；removal depth；screw rotor；model verification