數(shù)學(xué)為什么是必修課？

“秦子同學(xué)為什么會(huì)在這兒？”

學(xué)校體育館里，秦子正搓手準(zhǔn)備攀上巖壁，突然聽(tīng)到身后傳來(lái)荒白教授的聲音，于是轉(zhuǎn)頭說(shuō)：“教授，我試試新線(xiàn)路?！?/p>

教授搓著手上的鎂粉，說(shuō)：“秦子同學(xué)，現(xiàn)在這個(gè)時(shí)間，你應(yīng)該在高數(shù)課堂上吧？”

秦子笑了一聲，回頭緊了緊安全帶，說(shuō)：“沒(méi)有必要。”可他剛要發(fā)力，就被教授拽了回來(lái)。教授問(wèn)：“什么沒(méi)有必要？”

秦子一臉不耐煩地說(shuō)：“我說(shuō)去上高數(shù)課沒(méi)有必要?！?/p>

教授搖頭道：“秦子同學(xué)，這句話(huà)不像一個(gè)大學(xué)生該說(shuō)的?！?/p>

“我不是數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生，又不搞物理和精算，我學(xué)高數(shù)干嗎？別說(shuō)高等數(shù)學(xué)，依我看，數(shù)學(xué)這玩意兒其實(shí)學(xué)到初中水平就夠了。”秦子抬頭看了一眼教授，又補(bǔ)充道：“是是是，我知道您能說(shuō)會(huì)道，更高層次的數(shù)學(xué)在各行各業(yè)都有什么意義，您能隨口說(shuō)幾個(gè)小時(shí)，所以我僅就個(gè)人情況表態(tài)。我說(shuō)我自己，在今后的人生中，數(shù)學(xué)學(xué)到初中水平就夠了。”

教授卻說(shuō)：“不，不夠，秦子同學(xué)不能就這么放棄對(duì)自己的要求。即使不談社會(huì)應(yīng)用，光是在個(gè)人成長(zhǎng)方面，數(shù)學(xué)也是極有價(jià)值的。”

秦子問(wèn)：“有什么價(jià)值？”

教授說(shuō)：“很多，比如，學(xué)數(shù)學(xué)能擴(kuò)充你的詞匯量。”

秦子“哼”了一聲，說(shuō)：“這叫什么價(jià)值？我要是想擴(kuò)充詞匯量，去背詞典不行嗎？”

“不行，有些詞語(yǔ)只能在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中積累，因?yàn)槟切┰~語(yǔ)蘊(yùn)含的其實(shí)是一套復(fù)雜的思維方式乃至世界觀，而這是背詞典所做不到的。”教授一邊說(shuō)，一邊摘下眼鏡擦了擦，“秦子同學(xué)，你知道第一次數(shù)學(xué)危機(jī)嗎？”

秦子搖頭道：“數(shù)學(xué)危機(jī)不知道，我就知道《生化危機(jī)》?！?/p>

教授沒(méi)有理睬秦子的打岔，繼續(xù)說(shuō)：“公元前470年前后，數(shù)學(xué)差點(diǎn)兒完蛋了?！?/p>

“數(shù)學(xué)完蛋？什么意思？”

“就是說(shuō)，數(shù)學(xué)作為一門(mén)學(xué)科在理論上出現(xiàn)了重大矛盾，就仿佛大家在一起編一個(gè)故事，但編著編著，大家驚訝地發(fā)現(xiàn)這個(gè)故事圓不回來(lái)了?！?/p>

秦子一聽(tīng)這個(gè)，臉上就露出了看熱鬧不嫌事大的笑容?！澳唧w說(shuō)說(shuō)，數(shù)學(xué)怎么就完蛋了？”

教授說(shuō)：“公元前5世紀(jì)，古希臘有一個(gè)影響力很大的學(xué)派，叫畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。這個(gè)學(xué)派雖然以學(xué)術(shù)成就聞名于世，比如發(fā)現(xiàn)了勾股定理，但是也搞一些神秘主義和政治活動(dòng)，所以這個(gè)學(xué)派的領(lǐng)袖畢達(dá)哥拉斯的身份很復(fù)雜，他既是學(xué)術(shù)領(lǐng)袖，又像是‘教主’和‘幫派老大’。”

秦子說(shuō)：“嚯，這身份還挺酷。所以，是畢達(dá)哥拉斯引發(fā)了數(shù)學(xué)危機(jī)？”

“不，是他的學(xué)生引發(fā)的，但畢達(dá)哥拉斯也需要為此負(fù)責(zé)。在公元前5世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯聲稱(chēng)，世間的一切數(shù)都可以被歸納為整數(shù)和整數(shù)之比，而數(shù)也恰恰是世界的本源，是一切事物運(yùn)轉(zhuǎn)的根本原則。”

“我怎么覺(jué)得神神秘秘的，真有點(diǎn)兒教主的勁頭了?！?/p>

“確實(shí)，那時(shí)候數(shù)學(xué)理論還非常淺陋，而且科學(xué)遠(yuǎn)未昌明，所以人們?cè)谘芯砍橄蟾拍顣r(shí)，很容易滑到神秘主義的旋渦里去。另外，因?yàn)楫?dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)主要是古希臘人對(duì)生產(chǎn)實(shí)踐的總結(jié)歸納，這使得畢達(dá)哥拉斯的理論基礎(chǔ)，即世間一切數(shù)都可以用整數(shù)和整數(shù)之比來(lái)表示，也是符合直覺(jué)和經(jīng)驗(yàn)的，大家看不出有什么破綻。”

秦子問(wèn)：“后來(lái)呢？到底是什么引發(fā)了危機(jī)？”

“后來(lái)，畢達(dá)哥拉斯有個(gè)學(xué)生，名叫希伯斯，他發(fā)現(xiàn)了一件非常可怕的事……”教授說(shuō)到這兒，嗓音都低沉了下來(lái)。

秦子也慢慢湊過(guò)去，小聲問(wèn)：“到底是什么可怕的事？”

教授說(shuō)：“他發(fā)現(xiàn)，一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，其對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度無(wú)法用整數(shù)或整數(shù)之比表示?！?/p>

秦子聽(tīng)完，肩膀都快聳到耳朵上邊去了，攤開(kāi)雙手，道：“邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度？那不就是根號(hào)2嗎？”

教授說(shuō)：“是的，但是當(dāng)時(shí)的古希臘還沒(méi)有人知道根號(hào)是什么東西，更沒(méi)有無(wú)理數(shù)的概念，所以，正方形的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度引發(fā)了一些人的恐慌?！?/p>

“恐慌？”

“是的，特別是畢達(dá)哥拉斯本人，簡(jiǎn)直惶惶不可終日，因?yàn)檎叫螌?duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度問(wèn)題是他無(wú)論如何都無(wú)法解釋清楚的。可以說(shuō)，他之前的所有理論都因?yàn)檫@個(gè)小小問(wèn)題崩塌了。這就是第一次數(shù)學(xué)危機(jī)?！?/p>

秦子說(shuō)：“那趕緊把理論改一改，圓回來(lái)不就行了？”

“沒(méi)那么簡(jiǎn)單?！苯淌跀[擺手，“畢達(dá)哥拉斯對(duì)于自己的數(shù)學(xué)理論有一種宗教式的狂熱崇拜，不容褻瀆，所以當(dāng)他發(fā)現(xiàn)希伯斯指出了自己理論的問(wèn)題所在時(shí)，他要求自己的學(xué)生閉嘴，不許對(duì)外界透露這件可怕的事?！?/p>

“但他的學(xué)生還是對(duì)外披露了這個(gè)秘密，對(duì)吧？”

“是的，在歷史傳說(shuō)里，畢達(dá)哥拉斯也因此陷入狂怒之中，命人把這個(gè)背叛自己的學(xué)生扔進(jìn)大海淹死了?！?/p>

秦子倒吸了一口涼氣?！昂眉一铮畔ＥD‘學(xué)閥’還能直接殺人滅口呢?！?/p>

教授說(shuō)：“雖然希伯斯被殺了，但他揭露的問(wèn)題卻已然為公眾所知，所以古希臘人不得不硬著頭皮去應(yīng)對(duì)。正是吸取了這場(chǎng)危機(jī)的慘痛教訓(xùn)后，古希臘學(xué)者才明白，來(lái)自生活的經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)是不可靠的，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评聿攀钦嬷幕?，這也在后世成為自然科學(xué)的基本原則。所以，如今有很多專(zhuān)家表示科學(xué)孕育自‘兩希’文化，即古希臘和希伯斯。”

秦子點(diǎn)了點(diǎn)頭，道：“但您說(shuō)了這么多，我依然沒(méi)看出數(shù)學(xué)對(duì)個(gè)人能力的提升有什么幫助?！?/p>

教授說(shuō)：“維特根斯坦說(shuō)過(guò)一句名言，語(yǔ)言的邊界即世界的邊界。你可以將其理解為：如果一個(gè)概念對(duì)于某人是無(wú)法言說(shuō)的，那么在此人的世界觀里，這個(gè)概念即是不存在的?！?/p>

秦子說(shuō)：“教授，您說(shuō)得太抽象了，我沒(méi)明白?！?/p>

教授說(shuō)：“結(jié)合剛才的例子來(lái)看，在第一次數(shù)學(xué)危機(jī)爆發(fā)時(shí)，畢達(dá)哥拉斯的腦海中還沒(méi)有無(wú)理數(shù)和根號(hào)2這樣的詞，這使得他根本無(wú)法描述正方形對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度，因?yàn)樗X內(nèi)是沒(méi)有相應(yīng)概念的?！?/p>

秦子低著頭，捏著下巴，一邊思考一邊說(shuō)：“好像是啊……無(wú)法用詞語(yǔ)表達(dá)出來(lái)的概念，就很難對(duì)其進(jìn)行分析推理，有種大腦使不上勁兒的感覺(jué)?！?/p>

教授點(diǎn)頭道：“這樣的例子在當(dāng)代也有。1987年，有個(gè)人類(lèi)學(xué)家深入菲律賓雨林中的矮黑人部落，他發(fā)現(xiàn)這些矮黑人的文明水平依然處于石器時(shí)代，語(yǔ)言中沒(méi)有3以上的數(shù)詞?！?/p>

秦子問(wèn)：“他們只能數(shù)到3嗎？”

教授點(diǎn)點(diǎn)頭。“人類(lèi)學(xué)家曾問(wèn)一個(gè)矮黑人女性有幾個(gè)孩子，那個(gè)女性的孩子超過(guò)了3個(gè)，于是她就不知道該怎么表達(dá)了，只能依次說(shuō)出孩子的名字。凡是大于3的數(shù)字，他們都無(wú)法理解，所以這些原住民無(wú)法使用大面值貨幣，在和外界做交易時(shí)只能以物換物，這便是難以理解、不能言說(shuō)的概念。”

秦子說(shuō)：“我大概明白您的意思了，但我依然覺(jué)得這些離我很遠(yuǎn)，畢竟我能數(shù)到3以上?！?/p>

教授又一次搖起頭來(lái)。“然而，在數(shù)學(xué)的世界中，并不只有整數(shù)和無(wú)理數(shù)的概念，還有很多詞是完全超出生活經(jīng)驗(yàn)范圍的，如果沒(méi)有學(xué)習(xí)過(guò)相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)以掌握相應(yīng)詞語(yǔ)，人們就很難甚至無(wú)法表達(dá)一些概念。”

秦子問(wèn)：“您能舉幾個(gè)例子嗎？”

教授說(shuō)：“當(dāng)然。比如，你如何靠日常用語(yǔ)表達(dá)補(bǔ)集這個(gè)概念？”

“嗯……這個(gè)我知道，大概是一定范圍內(nèi)的元素組合中……某一個(gè)相對(duì)小范圍內(nèi)的元素之外所有其他元素的總和？”秦子說(shuō)完這一大串，忍不住喘了口氣。

教授笑道：“且不說(shuō)你剛才的表達(dá)是否嚴(yán)謹(jǐn)，就光說(shuō)這么長(zhǎng)一串啰唆的話(huà)，費(fèi)勁不費(fèi)勁？麻煩不麻煩？你不妨再說(shuō)說(shuō)，逆否是什么意思？周延是什么意思？共軛、遞歸、期望、離散、積分又都是什么意思？”

秦子紅著臉張了張嘴，但什么都沒(méi)說(shuō)出來(lái)，腦門(mén)兒上還浮出一層虛汗。

教授攤開(kāi)雙手，說(shuō)：“就算你能給出一個(gè)不甚嚴(yán)謹(jǐn)，甚至啰唆的解釋?zhuān)谒伎贾?，如果不能把?fù)雜抽象且自帶前提和限制條件的概念壓縮成簡(jiǎn)單詞語(yǔ)，那么人的大腦內(nèi)存將很快被占滿(mǎn)，思考和推理就會(huì)變成一件特別低效且痛苦的事。特別是那些根本沒(méi)接觸過(guò)的數(shù)學(xué)詞語(yǔ)所對(duì)應(yīng)的概念，你根本就不能理解，就像菲律賓熱帶雨林中的矮黑人原住民不能理解8是什么意思一樣?！?/p>

秦子吸了一口氣，點(diǎn)了點(diǎn)頭。

教授抬起頭看著高高的巖壁，說(shuō)：“做個(gè)類(lèi)比的話(huà)，思考一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題就好像攀巖，而一個(gè)個(gè)數(shù)學(xué)詞語(yǔ)就仿佛巖壁上的凸起。如果沒(méi)有這些數(shù)學(xué)詞語(yǔ)，你就仿佛在爬一面光滑的玻璃墻，有一種大腦使不上勁的感覺(jué)，而有了這些數(shù)學(xué)詞語(yǔ)，你就可以踩著它們、摳著它們，以讓自己的大腦充分發(fā)力，進(jìn)退有據(jù)，在巖壁上又快又穩(wěn)地攀爬。秦子同學(xué)，如果一個(gè)人在思考時(shí)又快又穩(wěn)，那我們通常會(huì)用一個(gè)詞來(lái)形容此人?！?/p>

秦子問(wèn)：“聰明？”

教授點(diǎn)頭道：“所以，回去上數(shù)學(xué)課?！?/p>

（蒹葭摘自中信出版集團(tuán)《教授與年輕人》）