溯教材之源，探直觀想象培養

［摘 要］ 文章從2022年福建省質檢的一道立體幾何題入手，探究試題的背景，分析學生存在的問題，反思教學過程中存在的不足，提出教學改進策略.

［關鍵詞］ 空間向量；立體幾何；直觀想象；課堂教學

2022年3月，福建省舉行了一次高三診斷性檢測，這是福建省使用《普通高中數學課程標準實驗教科書》的最后一屆. 在《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（簡稱新課標）的指導下，以立德樹人和學科核心素養為焦點的課程改革正在穩步推進，命題理念也發生了變化. 筆者對2022年福建省高三診斷性檢測第19題進行了探究與反思，現結合“空間向量與立體幾何”的教學，與大家一起探討教學策略.

試題呈現

試題 如圖1所示，在三棱錐V-ABC中，△VAB和△ABC均是邊長為4的等邊三角形. P是棱VA上的點，VP=VA，過P的平面α與直線VC垂直，且平面α∩平面VAB=l.

（1）在圖中畫出l，寫出畫法并說明理由；

（2）若直線VC與平面ABC所成角的大小為，求過l及點C的平面與平面ABC所成的銳二面角的余弦值.

試題探源

題源1 （2019人教A版必修第二冊教材P170第8題）如圖2所示，一塊正方體形木料的上底面有一點E.若經過點E在上底面上面一條直線與CE垂直，則應該怎樣畫？［1］

題源2 （2019人教A版必修第二冊教材P144第12題）一木塊如圖3所示，點P在平面VAC內，過點P將木塊鋸開，使截面平行于直線VB和AC，在木塊表面應該怎樣畫線？［1］

題源3 （2019人教A版必修第二冊教材P164第18題）如圖4所示，在三棱錐V-ABC中，VA=VB=AB=AC=BC=2，VC=1，作出二面角V-AB-C的平面角，并求出它的余弦值.［1］

試題的幾何模型取自題源1和題源3，第（1）問的作圖與題源2的本質是一樣的，都是利用直線與平面垂直得到直線與直線垂直；第（2）問與題源3極其相似，差別在于題源3主要考查綜合幾何方法. 試題取材于新教材，符合新課改的課程理念.

解題思路

1. 第（1）問

思路1 如圖5所示，在△VAC內過P作PM⊥VC，垂足為M，在△VBC內過M作MN⊥VC交VB于N，連接PN，則直線PN即為直線l. 理由：因為PM⊥VC，MN⊥VC，PM∩MN=M，所以VC⊥平面PMN. 又平面PMN∩平面VAB=PN，所以直線PN即為直線l.

思路2 如圖6所示，在△VAB內過P作PN∥AB，交VB于N，則直線PN即為直線l. 理由：取VC的中點Q，因為VA=VC，VB=BC，所以AQ⊥VC，BQ⊥VC，所以VC⊥平面ABQ. 因為VC⊥平面α，所以平面α∥平面ABQ. 因為平面α∩平面VAB=l，平面ABQ∩平面VAB=AB，所以AB∥l. 所以直線PN即為直線l.

2. 第（2）問

思路1 向量方法.

如圖7所示，取AB的中點D，連接VD，CD.因為△VAB和△ABC均為等邊三角形，所以AB⊥VD，AB⊥CD，所以AB⊥平面VCD，所以平面ABC⊥平面VCD.在△VCD中，作VO⊥CD，垂足為O，所以VO⊥平面ABC. 所以∠VCD是直線VC與平面ABC所成的角，故∠VCD=，所以△VCD為等邊三角形，O為CD的中點. 以O為坐標原點，建立空間直角坐標系，分別求出平面ABC與平面PCN的法向量即可求出兩平面所成的銳二面角的余弦值為.

思路2 綜合幾何方法.

如圖8所示，取AB的中點D，連接VD交PN于G，連接CG，CD. 因為△VAB和△ABC均為等邊三角形，所以AB⊥VD，AB⊥CD，所以AB⊥平面VCD，平面ABC⊥平面VCD.在△VCD中，作VO⊥CD，垂足為O，由面面垂直的性質定理可得VO⊥平面ABC，所以∠VCD是直線VC與平面ABC所成的角，故∠VCD=，所以△VCD為等邊三角形.

由（1）知，過l及點C的平面為平面CPN，因為AB∥PN，所以AB∥平面CPN. 設平面CPN∩平面ABC=l′，由線面平行的性質定理可得AB∥l′. 因為AB⊥平面VCD，所以AB⊥CG，AB⊥CD，所以CG⊥l′，CD⊥l′.所以∠GCD為平面CPN與平面ABC所成的銳二面角的平面角. 在△GCD中，由余弦定理得cos∠GCD==.所以過l及點C的平面與平面ABC所成的銳二面角的余弦值為.

失分原因

本題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面之間的位置關系，以及直線與平面所成的角、二面角等基礎知識；考查空間想象、邏輯推理、運算求解等基本能力；考查函數與方程、化歸與轉化、數形結合等思想；考查直觀想象、邏輯推理、數學運算等素養；體現了基礎性和綜合性. 本題滿分12分，屬中檔題. 廈門市高三全體考生的均分只有2.1分，0分的占比很大. 第（1）問，很多學生不會作圖，部分學生畫出了直線l但不會說明理由；第（2）問，大部分學生用的是向量方法，但由于沒能準確建系或建系后沒能準確地寫出點的坐標，因此無法用向量方法解決空間角的問題. 學生的答題情況暴露出立體幾何教學所存在的問題. 教師方面：部分教師在立體幾何教學過程中，對基礎知識的講解常常以“灌輸”的方法為主，并依靠“題海”戰術來提升學生的基本技能. 學生方面：對基礎知識的掌握不扎實，思維僵化，方法使用模式化，直觀想象素養不高，識圖能力較弱，不善于利用空間圖形理解和解決數學問題. 空間向量為解決立體幾何圖形中的位置關系與度量問題提供了一個有效方法，已成為高中生解決空間幾何問題的重要工具. 但無論使用的是向量方法還是綜合幾何方法，它們都有一個共同的使用前提，即直觀想象素養，所以本題得分低的主要原因就是學生缺失直觀想象素養. 因此，在“空間向量與立體幾何”的教學中，教師應該認真思考如何更好地培養學生直觀想象素養.

教學啟示

在“空間向量與立體幾何”的教學中，新課標指出：“應重視以下兩個方面：第一，引導學生運用類比的方法，經歷向量及其運算由平面向空間的推廣過程，探索空間向量與平面向量的共性與差異，引發學生思考維數增加帶來的影響；第二，鼓勵學生靈活選擇運用向量方法與綜合幾何方法，從不同角度解決立體幾何問題（如距離問題），通過對比體會向量方法的優勢. ”［2］新課標對“空間向量與立體幾何”的學習內容和學習方法進行了較為詳細的說明，下面筆者就如何在本章教學中培養學生直觀想象素養，與大家共同探討.

1. 加強類比教學，為學生創造更大的自主學習空間

在必修課程的學習中，學生已經學過平面向量的概念、運算、平面向量基本定理及坐標表示，并用向量方法研究了三角形的邊角關系，推導出余弦定理、正弦定理等重要公式. 向量是有大小又有方向的量，這一概念適用于平面向量，同樣也適用于空間向量. 平面上的向量可以看作空間中的向量，因此空間向量的概念、表示與平面向量沒有本質區別. 由于空間中的兩個向量可以平移到同一個平面內，所以空間中兩個向量的運算可以看成平面上兩個向量的運算，它們的加法、減法、數乘、數量積運算也沒有本質區別. 當然，因為維數的不同，所以空間向量和平面向量也有差異. 在本章的教學活動中，教師要幫助學生通過類比平面向量的內容、過程和方法來學習空間向量，并用它解決立體幾何問題；還要幫助學生自主學習空間向量，引導他們思考空間向量與平面向量的異同點，讓學生切身體驗維數的增加所帶來的影響，從而提升學生的空間想象力.

2. 加強向量方法的使用，培養學生直觀想象素養

由于學生在必修課程中已經學過立體幾何，所以本章通過解決具體的立體幾何問題，來體現用向量方法解決立體幾何問題的優勢，加強學生對向量方法的認識. 因此，本章的教學，特別是“空間向量的應用”的教學，應把具體的立體幾何問題作為學習向量方法的載體，通過解決立體幾何問題來加深學生對向量方法和立體幾何內容的理解. 強化用向量方法來解決立體幾何問題體現了時代發展對數學課程改革的要求，但部分教師認為這會把立體幾何演化為“算的幾何”，從而削弱其培養學生空間想象能力的作用. 筆者認為，這種想法是錯誤的. 我們知道，完整的向量方法是：先用幾何眼光進行觀察，再用向量運算進行解決. 這里先要分析清楚面對的幾何問題的基本特征，以及幾何圖形的基本元素、基本關系，然后選擇適當的基底，并利用選擇好的基底表示出相應的幾何元素和基本關系，最后進行運算. 在“用幾何眼光進行觀察”的過程中，就需要空間想象、幾何直觀等能力. 例如，解決試題的第（2）問時，學生要想建立空間直角坐標系，就必須具備一定的空間想象能力，除了以O為原點建立空間直角坐標系外，還可以D為原點建立空間直角坐標系，學生通過計算比較，積累更多的建系經驗. 教師可以利用各種不規則幾何體，引導學生探索不同的建系方法，從而培養學生直觀想象素養.

3. 加強信息技術的應用，打破學生的空間思維壁壘

新課標的基本理念指出：“注重信息技術與數學課程的深度融合，提高教學的時效性. ”［2］人教A版（2019）教科書，有多個地方出現了“信息技術與應用”欄目，這些內容都用GCeiZIR2JfG0CMFiJxcwAyw==eoGebra軟件動態呈現出來. 用“形”的直觀來呈現問題的各種信息，借“形”的直觀來理解抽象的“數”，以“形”的直觀產生對數量關系及事物本質屬性的感知，幾何直觀有利于學生對數學問題的理解，尋找解決問題的思路. 例如，在表示試題中的點的坐標時，教師可以利用GeoGebra軟件的3D功能，轉換不同的視角，帶領學生一起探究該三棱錐各個頂點的坐標，從而實現三維問題“可視化”和“直觀化”，突破學生的思維壁壘，發展學生的直觀想象素養.

4. 注重試題的變式拓展，提升學生思維能力

數學教育家波利亞說過，“在你找到第一個蘑菇（或做出第一個發現）后，要環顧四周，因為它們總是成堆成長的”［3］. 在講完試題后，要對試題進行變式拓展和歸納總結，促使學生對試題的本質認識提升到一個新的高度，從而提高學生解決問題的能力. 對于上述試題，可以提出相應變式題：

變式題1：如圖1所示，在三棱錐V-ABC中，△VAB和△ABC均是邊長為4的等邊三角形. P是棱VA上的點，VP=VA，過P，B兩點的平面α與直線VC平行.

（1）在圖中畫出平面α與三棱錐V-ABC表面的交線，寫出畫法并說明理由；

（2）若直線VC與平面ABC所成角的大小為，求平面α與平面ABC所成的銳二面角的余弦值.

變式題2：如圖1所示，在三棱錐V-ABC中，△VAB和△ABC均是邊長為4的等邊三角形. P是棱VA上的點，VP=VA，過P，B兩點的平面α與直線VC平行.

（1）在圖中畫出平面α與三棱錐V-ABC表面的交線，寫出畫法并說明理由；

（2）若直線VC與平面ABC所成角的大小為，求點C到平面α的距離.

也可以改編題源如下：（多選題）如圖9所示，在正方體ABCD-ABCD中，點E在平面ABCD內，滿足=λ+μ，其中λ∈［0，1］，μ∈［0，1］，則（ ）

A. 當λ=μ時，三棱錐E-BAC的體積為定值

B. 當λ=μ時，△EAC的周長為定值

C. 當μ=0時，有且僅有一點E，使得CE與平面BAC的夾角為

D. 當λ=0時，有且僅有一點E，使得平面CDE⊥平面BAC

通過對試題探究拓展，使學生在探究過程中得到數學知識與技能，收獲數學經驗與方法，同時在問題的解決過程中鞏固和發展“四基”，提升直觀想象素養.

結束語

綜上所述，空間向量與立體幾何相遇，為立體幾何問題的解決開拓了一片新的天地. 這不僅培養學生的空間想象能力，同時也降低了學生學習立體幾何的難度，體現了時代發展對數學課程改革的要求. 教師應理解好新課標對應用空間向量的教學要求，以教材為載體，加強學生直觀想象素養和空間想象能力的培養，從而有效落實立德樹人根本任務.

參考文獻：

［1］ 人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.普通高中教科書·數學·必修第二冊A版（2019）［M］. 北京：人民教育出版社，2019.

［2］ 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［S］. 北京：人民教育出版社，2020.

［3］ G.波利亞. 怎樣解題［M］. 涂泓，馮承天，譯. 上海：上海科技教育出版社，2002.