學(xué)習(xí)二元一次方程組，感悟消元轉(zhuǎn)化思想

領(lǐng) 銜 人：李庾南（特級教師、正高級教師）

組稿團隊：江蘇省李庾南數(shù)學(xué)教學(xué)研究所

在“二元一次方程組”這一章，同學(xué)們需要了解二元一次方程、二元一次方程組及其相關(guān)概念，理解二元一次方程組的求解思想和求解方法，特別是通過“二元”向“一元”轉(zhuǎn)化，感受事物之間是普遍聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的辯證思想。讓我們從“兩數(shù)之和”“兩數(shù)之差”的問題出發(fā)，開始二元一次方程（組）概念及解法的學(xué)習(xí)之旅吧！

問題1 已知兩個數(shù)的和等于8，求這兩個數(shù)。

講解：易設(shè)這兩個數(shù)分別為x、y，由題意建立方程x+y=8。這樣就可以概括二元一次方程的概念：像“x+y=8”這樣，含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的指數(shù)都是1的整式方程叫作二元一次方程。使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫作二元一次方程的解。那么，如何求x+y=8的解呢？

二元一次方程的一個解是一對未知數(shù)的值。兩個未知數(shù)的值是相互制約的，所以記作：[x=1，y=7，][x=0，y=8，][x=-2.5，y=10.5，]等等，x、y這兩個數(shù)雖相互制約，但不唯一。一般地，二元一次方程有無數(shù)個解。

問題2 已知兩個數(shù)的差是2，求這兩個數(shù)。

講解：設(shè)這兩個數(shù)中的較大的數(shù)為x，較小的數(shù)為y， 則x-y=2。

∴[x=0，y=-2，][x=-1，y=-3，x=1， y=-1， ]等等。

同樣，這樣的數(shù)組也不是唯一的。

問題3 已知兩個數(shù)的和為8，兩個數(shù)的差為2，求這兩個數(shù)。

講解：設(shè)這兩個數(shù)中較大的數(shù)為x，較小的數(shù)為y。

由題意得[x+y=8，①x-y=2，②]

把這樣的兩個含有相同未知數(shù)的二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組。二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫作二元一次方程組的解。

接下來，我們就來找出方程組[x+y=8，①x-y=2 ②]的解，即方程①②的公共解。

方法一：①+②，消去y，得x=5。

將x=5代入方程①或②，得y=3。

∴方程組的解為[x=5，y=3。]

方法二：①-②，消去x，得y=3。

將y=3代入方程①或②，得x=5。

∴方程組的解為[x=5，y=3。]

可見，二元一次方程組的求解思想是“消元”。將未知數(shù)的個數(shù)由多化少、逐一解決的想法，叫作消元思想。以上解法叫作加減消元法，即當兩個二元一次方程中同一未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)或相等時，將兩個方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個未知數(shù)，得到一個一元一次方程，可簡稱加減法。

那么，解方程組[x+y=8，①x-y=2，②]有沒有其他消元的方法呢？

比如，由②，得x=y+2，③

（將一個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的式子表示）

把③代入①，

（“代入”，根據(jù)是“等量代換”）

得y+2+y=8。

（消去x，得關(guān)于y的一元一次方程）

解這個方程，得y=3。

（解出一個未知數(shù)）

把y=3代入③，

（“回代”，即代入“關(guān)系式”）

得x=3+2。

解得x=5。

∴方程組的解為[x=5，y=3。]

像上面這樣，將二元一次方程組中的一個方程，變形為“一個未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的式子表示”的形式，再代入另一個方程，實現(xiàn)消元，進而求得這個二元一次方程組的解，這種方法叫作代入消元法，簡稱代入法。

最后，讓我們一起回顧解方程組[x+y=8，①x-y=2 ②]的過程。

1.用代入法解二元一次方程組[x+y=8，①x-y=2 ②]的過程的框圖如下：

2.用加減法解二元一次方程組[x+y=8，①x-y=2 ②]的過程的框圖如下：

隨著本章學(xué)習(xí)的深入，同學(xué)們要認真觀察二元一次方程組的系數(shù)特點，靈活選擇不同的消元方法，“多思少算”，解題效率會更高。

（作者單位：江蘇省南通市啟秀中學(xué)）