解決反比例函數問題的兩條路徑

我們知道，函數有兩條腿，一條是幾何，一條是代數。所以，我常常思考：解決反比例函數中各種問題的訣竅和方法是什么呢？結合下面這道例題，我將從這兩條路徑解答。

例 如圖1，在平面直角坐標系xOy中，點A、B都在反比例函數y=[kx]（xgt;0）的圖像上。延長AB交y軸于點C，過點A作AD垂直于y軸于點D，連接BD并延長，交x軸于點E，連接CE。若AB=2BC，S△BCE=4.5。則k的值為" " " " " " 。

代數方法：

解：設B（a，[ka]）。根據題意，得A（3a， [k3a]），則D（0，[k3a]），還可以得知CD=[ka]。

設直線BD的函數表達式為y=nx+b。

于是我們可以聯立方程組：

[ka=an+b，k3a=b。]

解得[n=2k3a2，b=k3a。]

所以y=[2k3a2]x+[k3a]。

所以當y=0時，x=- [a2]。

所以點E的坐標是（-[ a2]，0）。

△BCE的面積就可以用代數式表示，即[12]×[ka]（a+[a2]）=4.5，解得k=6。

幾何方法：

解：連接AE。

因為AB=2BC，所以S△ABE=2S△BCE=9。

因為△ADE和△ADO同底等高，所以S△ADE=S△ADO。所以S△ABE=S△ABD+S△AED=S△ABD+S△ADO=9。再根據這兩個三角形的底為AD，高為點B的縱坐標，列出代數式，就可以很容易得到k的值為6這一結果了。

在反比例函數解題過程中，我發現我們可以使用代數和幾何兩種方法有效解決問題，并且這兩種思路似乎也可以推廣到其他函數中。這就是探究的價值所在：似乎一切都互相關聯，有章可循。

教師點評

蔡同學的經驗分享告訴我們，在學習一個新知識時，要有質疑精神，對于教材上沒有的內容，我們在課后要想辦法探究，這樣既能加深對知識點的理解，也能發散思維，讓自己的數學學習更加得心應手。

（指導教師：張大偉）