圈養(yǎng)湖羊的空間利用率問題研究

根據(jù)2023年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模D題，規(guī)模化的湖羊養(yǎng)殖場一般建有標(biāo)準(zhǔn)羊欄，每個(gè)標(biāo)準(zhǔn)羊欄允許存放的羊只數(shù)量由羊的性別、生長周期、大小決定。本文根據(jù)自然交配期、孕期、哺乳期、羔羊育肥期、母羊空懷休整期、公羊非交配期可以存放的羊欄類型和數(shù)量限制，設(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法，將公羊和母羊按比例分批次間隔交配，計(jì)算得出每天所有批次的湖羊使用的羊欄類型和數(shù)量，以最大化年化出欄羊只的數(shù)量。進(jìn)一步考慮自然交配成功率、分娩羔羊的數(shù)量、死亡率、哺乳時(shí)間波動(dòng)等不確定因素，利用蒙特卡洛方法模擬驗(yàn)證概率分布，調(diào)整原動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法，給出期望損失最小的生產(chǎn)計(jì)劃。

湖羊是國家級(jí)保護(hù)品種，湖羊養(yǎng)殖場一般會(huì)根據(jù)羊的大小、生長階段以及性別來決定標(biāo)準(zhǔn)羊欄所能容納的湖羊數(shù)量。在實(shí)際的圈養(yǎng)中，需要盡量減少空間閑置所引起的資源浪費(fèi)，空間利用率也是影響湖羊養(yǎng)殖場經(jīng)濟(jì)效益的重要因素。

對(duì)于養(yǎng)殖場的管理者來說，需要通過制定合適的生產(chǎn)計(jì)劃合理優(yōu)化養(yǎng)殖場的空間利用率來達(dá)到獲取最高效益的目的，而生產(chǎn)計(jì)劃則是指規(guī)劃什么時(shí)候種公羊和多少可接受配種的基礎(chǔ)母羊來進(jìn)行配種，通過控制母羊的繁育期從而確定對(duì)羊欄的需求量，要確保有足夠的羊欄，同時(shí)盡量縮小羊欄的閑置。

一、問題1模型的建立與求解

（一）問題1模型的建立

已知自然交配期為20天，此時(shí)期每欄可以放1只公羊和最多14只母羊；孕期149天，每胎可產(chǎn)2只羔羊，此時(shí)期每欄最多可以放8只待產(chǎn)母羊；哺乳期40天，此時(shí)期每欄最多可以放6只母羊和它們的羔羊；羔羊的育肥期需要210天，此時(shí)期每欄最多可以放14只羔羊；母羊的空懷休整期需要20天，此時(shí)期每欄最多可以放14只母羊。

根據(jù)問題1，在算法中母羊的數(shù)量m從1疊加到1000，根據(jù)種公羊與基礎(chǔ)母羊的比例配置不低于1：50，求出種公羊的數(shù)目g。根據(jù)種公羊和母羊的數(shù)量及羊欄放置的要求，在每一個(gè)周期中，將種公羊和基礎(chǔ)母羊分批次間隔20天進(jìn)行交配。因母羊每間隔229天可以進(jìn)行一次交配，根據(jù)天數(shù)i的取值，判斷出母羊、種公羊、羔羊處于自然交配期、孕期、哺乳期、育肥期、空懷休整期以及非交配期，并計(jì)算出對(duì)應(yīng)時(shí)期所需的羊欄數(shù)量，求和得出每天所需的總的羊欄數(shù)Li，羊欄數(shù)的最大值Lmax，若Lmax不超過112，得出此時(shí)的種公羊和基礎(chǔ)母羊的數(shù)量，從而算出年化出欄羊只數(shù)量的范圍。根據(jù)計(jì)算出的年化出欄數(shù)量，判斷年化出欄羊只數(shù)量不少于1500只時(shí)，需要多少標(biāo)準(zhǔn)羊欄，從而計(jì)算出現(xiàn)有標(biāo)準(zhǔn)羊欄數(shù)量的缺口。具體動(dòng)態(tài)規(guī)劃的算法思路如下：

步驟一：給定基礎(chǔ)母羊的數(shù)量m，算出相應(yīng)的種公羊數(shù)目和應(yīng)分配的批次。將m從1疊加到1000，因種公羊與基礎(chǔ)母羊的比例配置不低于1：50，取種公羊的數(shù)目g=。自然交配期每欄最多可放1只公羊和14只母羊，首先將1只公羊配夠14只母羊，首先將1只公羊配夠14只母羊進(jìn)行分批，共分為p=批，還剩mp+1=m-14gp只母羊在第（p+1）批次，按照全部使用公羊的原則分組進(jìn)行自然交配。

步驟二：判斷母羊、種公羊、羔羊每天所處的時(shí)期，計(jì)算出每天所需總的羊欄數(shù)Li。以母羊的繁育周期Tjp=tj+ty+tb+tk=229天為一個(gè)基礎(chǔ)周期，對(duì)天數(shù)i=1：365n（n為正整數(shù)），令a=，對(duì)于第1個(gè)批次，當(dāng)i20+229a，說明該批次所有母羊都處在自然交配期，因此使用的羊欄數(shù)為母羊數(shù)除以14，即為。若20+229a<i169+229a，說明此時(shí)該批次所有母羊都處在孕期，因此使用的羊欄數(shù)為。若169+229a<i209+229a，說明此時(shí)該批次所有基礎(chǔ)母羊和所生的羊羔處在哺乳期，因此使用的羊欄數(shù)為。若209+229×a<i209+229×a，說明此時(shí)該批次所有母羊處在空懷休整期，該批次所有羔羊都處在育肥期，因此使用的羊欄數(shù)為母羊和羔羊的總和，即為+。按照上述方法，依次進(jìn)行到最后一個(gè)批次。最后計(jì)算公羊使用欄數(shù)，因?yàn)楣蛟?0（p+1）天后完成所有母羊的交配，并且在229天母羊經(jīng)歷完空懷休整期后，才能開始下一次交配，因此當(dāng)20（p+1）+229a<i209+229a時(shí)，公羊處在非交配期，使用羊欄數(shù)為，在其他天數(shù)內(nèi)，公羊處在和母羊的交配期，不用額外計(jì)算羊欄數(shù)。而從羔羊育肥期開始，每經(jīng)過時(shí)間210天，羊羔就會(huì)出欄，因此羔羊育肥期羊欄數(shù)這時(shí)就會(huì)更新為0，綜上，計(jì)算第i天所有批次使用的羊欄數(shù)和公羊使用的總的羊欄數(shù)，記為Li。

步驟三：求出Lmax=112個(gè)標(biāo)準(zhǔn)羊欄對(duì)應(yīng)的種公羊和基礎(chǔ)母羊數(shù)量。對(duì)天數(shù)i=1：365n，將第一天的羊欄數(shù)Lj賦為最大值Lmax，將后一天的使用的羊欄數(shù)與前一天的羊欄數(shù)做比較，將數(shù)值更大的賦值為Lmax，依次進(jìn)行，直到Lmax=112，則滿足條件，輸出種公羊和基礎(chǔ)母羊數(shù)量。

步驟四：依據(jù)上一步得出的母羊數(shù)量，構(gòu)造函數(shù)x軸表示時(shí)間第1年到100年，y軸表示每年年化出欄羊只數(shù)量，從第12年起，圖像趨于平緩，故選擇12年作為計(jì)算年化出欄羊只數(shù)量的基數(shù)，輸出年化出欄羊只數(shù)量的范圍。

需要求出年化出欄羊只數(shù)目，可得計(jì)算公式為：

其中，Nc表示年化出欄羊只的數(shù)量，m表示在整個(gè)周期中母羊的總數(shù)量，n表示進(jìn)行年化計(jì)算所取的年限。

（二）問題1模型的求解

根據(jù)動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法思路編寫MATLAB程序代碼，計(jì)算得出最多使用112個(gè)羊欄條件下，種公羊和基礎(chǔ)母羊的合理數(shù)量有3種類型，分別為公羊數(shù)8只和基礎(chǔ)母羊數(shù)369只，公羊數(shù)8只和基礎(chǔ)母羊數(shù)370只，公羊數(shù)8只和基礎(chǔ)母羊數(shù)371只。

圖1 年化出欄羊只數(shù)量變化圖

圖1中x軸表示時(shí)間第1年到100年，y軸表示每年年化出欄羊只數(shù)量，觀察圖像可知，從第12年起，圖像逐漸趨于平穩(wěn)，故選擇12年作為計(jì)算年化出欄羊只數(shù)量的基數(shù)，因此得出：

當(dāng)基礎(chǔ)母羊?yàn)?69只和種公羊數(shù)量8只時(shí)，年化出欄羊只數(shù)量為：

同理，當(dāng)基礎(chǔ)母羊?yàn)?70只和種公羊數(shù)量8只時(shí)，計(jì)算得出Nc=1110，當(dāng)基礎(chǔ)母羊?yàn)?71只和種公羊數(shù)量8只時(shí)，計(jì)算得出Nc=1113。

綜上所述，最大使用標(biāo)準(zhǔn)羊欄數(shù)為112個(gè)時(shí)，種公羊和基礎(chǔ)母羊的合理數(shù)量分別為8只和369只、8只和370只、8只和371只3種類型，年化出欄羊只數(shù)量的取值范圍為[1107，1113]。

要滿足養(yǎng)殖場每年出欄羊只數(shù)目大于等于1500只，不妨設(shè)總基礎(chǔ)母羊數(shù)目為m，計(jì)算出基礎(chǔ)母羊的數(shù)量：

計(jì)算得出m的取值范圍為m500，因此取m的最小值m=500，通過動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法1思路編寫的MATLAB程序，計(jì)算出第419天占用的標(biāo)準(zhǔn)羊欄數(shù)目為L419=151，即為Lmax的取值，因此現(xiàn)有標(biāo)準(zhǔn)羊欄數(shù)量的缺口Lq取值為：

Lq=Lmax-112=151-112=39

二、問題2模型的建立與求解

（一）問題2模型的建立

問題2需要在112個(gè)標(biāo)準(zhǔn)羊欄的條件下，求出種公羊和基礎(chǔ)母羊數(shù)量的合理取值，以最大化年化出欄羊只數(shù)量Nc，設(shè)決策變量為基礎(chǔ)母羊的數(shù)量m，可得目標(biāo)函數(shù)為：

對(duì)于天數(shù)i從1到365n取值，都有每天的基礎(chǔ)母羊數(shù)量的取值均為m，得出第1個(gè)約束條件：

其中，mi為第i天的基礎(chǔ)母羊總量，為第i天處于自然交配期的基礎(chǔ)母羊數(shù)量，為第i天處于孕期的基礎(chǔ)母羊數(shù)量，為第i天處于哺乳期的基礎(chǔ)母羊數(shù)量，為第i天處于空懷修整期的基礎(chǔ)母羊數(shù)量。

由于總標(biāo)準(zhǔn)羊欄數(shù)為112個(gè)，因此可以得出每天的羊欄使用數(shù)都不超過112個(gè)，得出第2個(gè)約束條件：

其中，為第i天正在非交配期的種公羊的數(shù)量，為第i天育肥期的羔羊的數(shù)量。

綜上所述，得出本題數(shù)學(xué)優(yōu)化模型如下：

（二）問題2模型的求解

根據(jù)問題1的算法，在使用112個(gè)標(biāo)準(zhǔn)羊欄的條件下，為最大化年化出欄羊只數(shù)量，給母羊數(shù)m賦值為371，得出公羊數(shù)g==8，年化計(jì)算周期為12年，計(jì)算得Nc的最大值為：

第1個(gè)周期的羔羊在第479天全部育肥期結(jié)束出欄，間隔229天后，第2個(gè)周期的羔羊在第937天全部育肥期結(jié)束后出欄，因此取天數(shù)i=1：937，通過算法，可計(jì)算出第1天到第937天種公羊和基礎(chǔ)母羊的配種時(shí)間、羊欄的使用個(gè)數(shù)，具體生產(chǎn)計(jì)劃見表1。

三、問題3模型的建立與求解

（一）問題3模型的建立

母羊自然交配的受孕率為85%，可使用蒙特卡洛算法進(jìn)行大量模擬得出的成功受孕數(shù)量應(yīng)向上取整，即S=，剩余的交配不成功的15%的母羊數(shù)量為m=，這個(gè)周期內(nèi)都安置在空懷休整欄。以平均97%的羔羊存活率，平均產(chǎn)羔2.2只每胎作為估算值，計(jì)算出羔羊出生數(shù)量并向下取整。每個(gè)基礎(chǔ)周期228天內(nèi)將未受孕的基礎(chǔ)母羊安置空懷休整期，在孕期147～150天之間波動(dòng)，可將受孕母羊分為4份，前3份受孕母羊數(shù)量均為，第4份受孕母羊數(shù)量為S-3×，在孕期波動(dòng)的情況下，以哺乳期40天為基準(zhǔn)，可以通過分別延長哺乳期3天、2天、1天和0天，使得同一周期的母羊哺乳期的結(jié)束時(shí)間一致，以便于后續(xù)計(jì)算。以最短18天作為空懷休整期的時(shí)間，這樣可以讓母羊更早的進(jìn)入下一個(gè)周期循環(huán)中。

在同一批次中，分娩日期相差不超過7天的哺乳期母羊及所產(chǎn)羔羊可以同欄，故可將上述哺乳期時(shí)間不一致的母羊及其所產(chǎn)羔羊安置在一塊，因?yàn)樵衅谠?47～150天之間波動(dòng)，故最大時(shí)間差為3天；斷奶日期相差不超過7天的育肥期羔羊可以同欄，故同樣可將結(jié)束哺乳期的羔羊放在同一個(gè)羊欄中，其最大時(shí)間差也為3天；且斷奶日期相差不超過7天的休整期母羊一樣可以同欄，及可將結(jié)束哺乳期的母羊安置在同一個(gè)羊欄中，最大時(shí)間差同樣為3天。

對(duì)問題1的算法進(jìn)行改進(jìn)，在算法中母羊的數(shù)量m從1疊加到1000，根據(jù)種公羊與基礎(chǔ)母羊的比例配置不低于1：50，求出種公羊的數(shù)目g，根據(jù)種公羊和母羊的數(shù)量及羊欄放置的要求，在每一個(gè)周期中，將種公羊和基礎(chǔ)母羊分批次間隔20天進(jìn)行交配。因母羊每間隔228天可以進(jìn)行一次交配，根據(jù)天數(shù)i的取值，判斷出母羊、種公羊、羔羊處于自然交配期、孕期、哺乳期、育肥期、空懷休整期、非交配期，因?yàn)樵衅诖嬖诓▌?dòng)，希望所有母羊同時(shí)進(jìn)入空懷休整期，故通過延長哺乳期，因?yàn)檠娱L了哺乳期所以羔羊育肥期會(huì)相應(yīng)的縮短，并計(jì)算出每天所需的羊欄數(shù)量Li，Li與112進(jìn)行比較，從而得出每天損失量。

（二）問題3模型的求解

根據(jù)問題3的算法思路，在使用112個(gè)標(biāo)準(zhǔn)羊欄的條件下，得出母羊數(shù)m，從而得出母羊數(shù)m=400，g==8，第一個(gè)周期的羔羊在第480天全部育肥期結(jié)束出欄，因此取天數(shù)i=1：480，通過蒙特卡洛算法，在MATLAB中得到最多次數(shù)的成功受孕數(shù)s，如圖2所示，s的值取360。

通過算法，可計(jì)算出第1天到第480天種公羊和基礎(chǔ)母羊的配種時(shí)間、羊欄的使用個(gè)數(shù)，具體生產(chǎn)計(jì)劃見表2。

其次再計(jì)算出每天產(chǎn)生的損失欄數(shù)，然后統(tǒng)計(jì)相同的損失量的天數(shù)，得出的天數(shù)再進(jìn)行年化，求出相同的損失量的和，乘以在總天數(shù)的占比可得期望損失。可得：

其中，v表示根據(jù)損失量的天數(shù)所劃分的結(jié)果數(shù)，Rv表示第v種結(jié)果發(fā)生的概率，Xv表示第v種結(jié)果的損失。

在MATLAB中實(shí)現(xiàn)可得圖3：

根據(jù)圖3可知，當(dāng)基本母羊數(shù)為423時(shí)，最小羊欄年化損失量為4160。

本文設(shè)計(jì)的動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法統(tǒng)籌分析了自然交配期、孕期、哺乳期、羔羊育肥期、母羊空懷休整期、公羊非交配期可以存放的羊欄的類型和數(shù)量限制。限制標(biāo)準(zhǔn)羊欄數(shù)的取值，可以得出每天具體的湖羊生產(chǎn)計(jì)劃。限制年化出欄羊只數(shù)量的范圍，可以得出需要使用的最大標(biāo)準(zhǔn)羊欄數(shù)量。因此該算法可以運(yùn)用于解決規(guī)模化的養(yǎng)殖場中關(guān)于空間利用率分配和生產(chǎn)計(jì)劃的難題，對(duì)于最大化空間利用率，減少成本以及提高生產(chǎn)量具有積極的作用。

（作者單位：阜陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院）

作者簡介：房麗，1993年出生，女，安徽省阜陽市人，漢族，阜陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院助教，碩士。主要研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)。

基金項(xiàng)目：本論文為2023年度安徽省高校自然科學(xué)研究項(xiàng)目“機(jī)器學(xué)習(xí)算法在工業(yè)互聯(lián)網(wǎng)入侵檢測模型中的應(yīng)用研究”研究成果，項(xiàng)目編號(hào)：2023AH052421。