相對論效應與磁場觀的等效性研究

摘 要：電場和磁場的關系非常緊密，按照麥克斯韋的理論，變化的電場引起磁場，同樣變化的磁場也會引起電場。當愛因斯坦的相對論被提出之后，不少人采用狹義相對論來解釋磁場和電場的關系。但都認為電場和磁場是獨立的存在。本文同樣利用狹義相對論來計算帶電粒子之間的相對靜止和相對運動情況下的相互作用力，發(fā)現(xiàn)兩種情況下的相互作用力并不相同，其差值剛好是傳統(tǒng)磁場觀算出的結果，而這種運算過程中沒有考慮相對運動的帶電粒子所產(chǎn)生的磁場對其運動的影響。這就說明帶電粒子相對靜止與相對運動兩種情況下的電場力的差值就是我們所觀察到的磁場力。從而證明了利用單個電場就可以描述整個電磁場。

關鍵詞：電場；磁場；電場力；磁場力；相對論

中圖分類號：O441" 文獻標識碼：A" 文章編號：1673-260X（2024）07-0009-04

1 帶電導線對相對靜止的帶電粒子的作用力

如圖1所示，真空中有一條無限長的直導線ab，離導線垂直距離為y處固定著一個電荷量為+q，能視為點電荷的帶電粒子p。設導線上分布著線向密度為？濁的正電荷。則利用庫倫定律運算導線對帶電粒子的作用力為如下：

導線上微小長度dx對帶電粒子p的作用力為

dF=" （1.1）

由對稱性可知，它的導線方向上分力之和為零，即

∑dFX=0" （1.2）

垂直于導線方向上

dFy=" （1.3）

其中r=ycscθ·x=-ycotθ

即dx=ycsc2θdθ 由此

Fy=

=

=" （1.4）

2 通電導線對帶電粒子的作用力

如圖2所示，設足夠長的直導線里同樣分布著線向密度都為？濁的正負電荷，而且正電荷靜止，負電荷以不變的速度v向左流動產(chǎn)生電流I。離導線垂直距離為y處有一個電荷量為+q，能視為點電荷的帶電粒子p，平行于導線以速度u向右運動。則利用庫倫定律和相對論來運算導線內(nèi)的正負電荷對p的作用力為如下[1，2]：

2.1 導線內(nèi)正電荷對p的作用力

相對于導線靜止的坐標系中，正電荷的速度為0，所以由狹義相對論的原理得知，設這些正電荷對p的作用力為F+，F(xiàn)+的特點跟1.1里講的一樣。即

∑dF+X=0

F+y="" （2.1）

2.2 導線內(nèi)負電荷對p的作用力

以相對于導線靜止的坐標系為S，導線上的微長度dx至電荷p的直線距離為r，相對于導線內(nèi)流動的負電荷靜止的坐標系為S'，根據(jù)狹義相對論得知

x'= y'=y z'=z=0

u'=

在坐標系S'里，設流動的負電荷對p的作用為F-'，則

dF'-x=

dF'-y=

dF'-z=0

其中

r'=

=

=

=

=

=r

式中θ為直導線與r間的夾角。

由對稱性可知，

∑dF-X=0"" （2.2）

由相對論變換得知，垂直于導線的方向上

F'-y=

即dF'-y=，

可得

dF-y=（1-）dF'-y

=（1-）

=（1-）y （2.3）

因此

F-y=dF-y

=（1-）y

其中：r=ycscθ，x=-ycotθ即

dx=ycsc2θdθ

F-y=y

-y （2.4）

設F-y1=y

=y（2.5）

令cosθ=tan？覫

因θ∈（0，π），

所以tan？覫∈（-，），

sin？覫∈（-，）

可得

F-y1=

=cos？覫d？覫=（2.6）

設F-y2=-y

通過相似的運算得知

F-y2=

=" （2.7）

由此可知，F(xiàn)-y是由F-y1，F(xiàn)-y2兩部分組成。其中，方程（2.1）和（2.5）可知F-y1與F+y的大小相等，方向相反，所以它們相互抵消，合力為0。因此，F(xiàn)-y2就是通電導線對其附近運動的帶電粒子的總作用力。

通過以上運算得知，通電導線對其附近平行方向上運動的帶電粒子的作用力大小為

F==，" （2.8）

方向與帶電粒子的運動方向相互垂直。這個結論與傳統(tǒng)的磁場觀得出的結論是完全一致的。而且整個運算過程中沒有考慮電流所產(chǎn)生的“磁場”的影響，而只計算相互運動的帶電粒子之間“電相互作用”的相對論效應。

因此可知，可以用相對論效應來表達電流對運動的帶電粒子的作用力。也可以令

c2=，B=（u0為磁導率，B為磁感強度），而把此公式F==簡化寫成

F=quB（洛倫茲力）" （2.9）

這就說明，利用相對論效應來表達電流對帶電粒子產(chǎn)生的作用力（相對運動的帶電粒子之間的相互作用力）與傳統(tǒng)的磁場觀來運算是等效的，都能得出同一個結果。

3 相對運動的帶電粒子之間的相互作用

與1，2節(jié)中所講的同理，可以推導出任意相對運動的帶電粒子之間的相互作用力。如圖3所示，設有兩個電量分別為q0和q的帶電粒子，q以恒定的速度v相對慣性坐標系S中沿x軸運動，在t=0時刻經(jīng)過坐標原點。電荷q0以速度u相對S系運動。設相對q靜止的參考系為S'，在t=t'=0時刻其原點與S系的原點重合。那么不考慮相對運動而產(chǎn)生的磁效應情況下兩個電荷之間的相互作用力的結果為[3]

F=Fxi+Fyj+Fzk

={r+[（yuy+zuz）i

-uxyj-uxzk]}" （3.1）

其中r為S系中兩個電荷之間的距離，θ為r與v之間的夾角。

上式也可以寫成

F={r+u×（v×r）]（3.2）

這個力由兩個部分組成，它的前半部分就是通常說的“電場力”，而后半部分則是“磁場力”。而且這個結果跟目前的“電場”觀和“磁場”觀的結論完全吻合。但是它的推導過程其實跟“磁場”沒什么關聯(lián)，只是兩個電荷之間產(chǎn)生的庫倫力的相對運動情況下的相對論效應罷了。很顯然，相對論效應來處理此類問題是可行的。

4 一個震動的帶電粒子對其它帶電粒子的作用力

費恩曼的物理講義中提到，任意方式運動的電荷所產(chǎn)生的場的方程為[4]

E=[+（）+er']" （4.1）

其中er'為產(chǎn)生相互作用的兩個點電荷之間連線r'方向的單位矢量。因為場的傳播而延遲的原因，t時刻產(chǎn)生的相互作用是取決于在t-時刻的兩個帶電粒子之間的距離，加上一個撇是為了說明方程里用的距離是延遲距離而不是t時刻的兩個粒子之間實際距離。

就是說，相互運動的帶電粒子之間的相互作用力（場源電荷q對電荷量為q0的帶電粒子的作用力）由兩部分組成

F=q0E+q0u×（er'×E）" （4.2）

這個方程也說明，我們完全可以用一個不包含B量的方程來計算帶電粒子之間的相互作用。就是說，可以用E來替代B后進行計算。E和B分別為電場強度和磁感應強度，它們都代表著單位電荷所受的力的情況，它們的變化特點就代表著相互作用的變化特點。多數(shù)文獻都用場強來談論場的分布和傳播情況，但最終目的都是為了表達電荷對電荷的作用力。本論文著重談論帶電粒子之間的相互作用，所以直接用了相互作用力F的方程。

方程（4.1）的右側第三項是最關鍵的，因為只有這一項將是跟距離成反比的，而其它兩項都是距離的平方成反比。所以，遠距離而言，只有第三項是有效的。這一項里er'就是電荷在t-時刻的加速度垂直于r'方向的投影。它是從麥克斯韋方程組推導出來的。

因此，距離比震動振幅遠大的地方，（4.1）寫成

E=er'

cB=er'×E"" （4.3）

兩個粒子的相對速度不太大的情況下，粒子就不會從始點移動太大距離，遠距離而言可以不考慮距離的變化而只考慮垂直于連線的橫向運動所產(chǎn)生的影響。設橫向運動的距離為x，這時er'就等于er'的x分量變化的加速度。而它就是的變化的加速度。所以（4.3）就變成

E=

cB=er'×E" （4.4）

這個場對電荷q0的作用力為

F=+U×（er'×ax）" （4.5）

（4.5）右側第一項表明，一個周期性運動的電荷對其它電荷產(chǎn)生同樣周期性變化的作用力，而第二項則表明，如果受力電荷在第一項所產(chǎn)生的周期性力的作用下隨它做周期性運動的話同時受到一個r'方向的作用力，這可能正是所謂光壓的產(chǎn)生原由。

5 磁性物質(zhì)產(chǎn)生的“磁場”問題

關于磁性物質(zhì)產(chǎn)生的磁場問題安培提出了“原子電流”的想法，但這跟現(xiàn)代普遍接受的電子云學說有沖突，所以目前只能稱之為假說。現(xiàn)代量子力學的解讀認為電子的自旋引發(fā)了物質(zhì)的磁性。這種觀念認為，組成物體的電子都有自旋，而如果某種物質(zhì)的多部分電子的自旋方向一致的時候，這種物質(zhì)的表面產(chǎn)生等效的電流，這種物質(zhì)就會表現(xiàn)出磁性[5]。不管哪一種說法，最終的解釋還是沒有離開電流這個概念。既然離不開電流，那么以上的算法同樣成立。

6 結論

式（2.4），（3.1），（4.5）都由兩部分組成，其中（2.4）的第二項是電子的運動所致，（3.1）的第二項是電荷的相對運動所致，而（4.5）本身就是（4.1）的第一條方程第三項和第二條方程的綜合，也是因為相對運動而形成的。

總之，在觀察者的參考系（本論文中的S系）里，相互作用的兩個帶電粒子都有運動的情況下，它們之間除了庫倫力外還要產(chǎn)生另一部分力，通過以上的論證可以知道，這些力是由相對運動而產(chǎn)生的相互作用在時間上的延遲所導致的。（4.5）又由兩部分組成，它是因為場源電荷在觀察者的參考系里有加速運動而產(chǎn)生的，這就說明，在觀察者的參考系里相互作用的兩個電荷之間有相對加速度的情況下，它們之間的延遲效應由更為復雜的兩部分組成。

通過以上計算可知，表述電流對帶電粒子的作用力和相對運動的電荷之間的相互作用力的時候，利用相對論效應來表達和傳統(tǒng)的“電場”觀和“磁場”觀來表達是完全吻合的。這就說明，利用相對論效應計算處理問題具有準確性和普遍性。因此，帶電粒子因為相對運動而產(chǎn)生的這個力用“磁現(xiàn)象”而不是“磁場力”來描述更為貼切。而所有有關“磁現(xiàn)象”的問題都可以用相對論效應來表達。盡管這樣有點復雜，但理論上是成立的。也就是說，利用單一電場可以描述所有有關磁的問題。

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參考文獻：

〔1〕賈起民，鄭永令，陳暨耀，等.電磁學（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2001.295-320.

〔2〕趙凱華，陳熙謀，等.電子學（上冊）[M].北京：高等教育出版社，1985.434-451.

〔3〕賈起民，鄭永令，陳暨耀，等.電磁學（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2001.310-312.

〔4〕R.P.Feynman， R.B.Leighton， M.Sands，等著.鄭永令，華宏鳴，吳子儀，等譯.費恩曼物理學講義（新千年版）（第2卷）[M].上海：上海科學技術出版社，2013.275.

〔5〕R.P.Feynman， R.B.Leighton， M.Sands，等著.鄭永令，華宏鳴，吳子儀，等譯.費恩曼物理學講義（新千年版）（第2卷）[M].上海：上海科學技術出版社，2013.489-492.

收稿日期：2024-03-17

通信作者：蘇日塔拉圖，博士，赤峰學院數(shù)學與計算機科學學院講師，主要從事數(shù)學與應用數(shù)學的教學與研究。郵箱：srtlt888@163.com。