深度學習理念下的幾何定理教學設計與思考

［摘 要］深度學習是一種基于理解的學習，它著眼于學習者高階思維的發展。定理是幾何中的重要板塊，幾何定理教學是學生形成演繹推理能力的重要途徑。文章以“邊邊角”為例探討深度學習理念下的幾何定理教學設計。

［關鍵詞］深度學習理念；幾何定理教學；邊邊角

［中圖分類號］" " G633.6" " " " ［文獻標識碼］" " A" " " " ［文章編號］" " 1674-6058（2024）20-0004-03

一、深度學習的定義

郭元祥教授認為，深度學習是學生在教師引導下，對知識內在結構進行逐層深化的學習和對學習過程的深刻參與和投入［1］。馮銳、楊紅美等人認為，深度學習強調知識的主動理解而非被動記憶，強調對知識的批判性思考而非一味地接受，強調新舊知識之間的關聯而非孤立存在，強調知識的遷移應用［2］。何玲與黎加厚認為，深度學習是指學習者在理解的基礎上，批判性地學習新思想和新知識，將它們與原有的認知結構相融合，同時在眾多思想間建立聯系，將已有的知識遷移到新的情境中，做出決策并解決問題的學習［3］。簡而言之，深度學習是一種強調學生主體性，讓學生主動探究，深度加工不同信息的學習方式，它不僅關注知識的獲取，更注重知識的應用和遷移。

二、“邊邊角”在全等判定定理學習中的價值

全等判定定理作為基本的事實性定理，不僅是學生思維的起點，更是使學生掌握分類思想、特殊化思想、轉化思想等數學思想的關鍵章節，同時也是學生合情推理能力和演繹推理能力同步發展的重要基礎。

對于全等判定定理學習中的“兩邊一角”情況，當角為兩條邊的夾角時，可通過尺規作圖，并應用定義說明三角形全等。而對于角是一邊的對角這一情況，教材通過木棍操作舉出反例，說明滿足邊邊角對應相等的兩個三角形不一定全等。在學習了“HL”判定定理后，學生會對之前關于“兩邊一角”（SSA）是否能判定三角形全等的理解產生認知沖突。這時需要我們重新審視這個“SSA”，讓學生深入學習“不一定全等”的本質，思考什么時候滿足“SSA”的兩個三角形會全等，“HL”對兩個三角形全等的判定又起著什么樣的作用。教師應帶領學生研究這些問題，從而達到讓學生深度學習的目的。

三、深度學習理念下的“探究‘邊邊角’在任何條件下證明三角形全等”教學設計

（一）問題引入，引發認知沖突，建構新知

問題1：三角形全等的定義是什么？

問題2：通過前面的學習，你們知道證明兩個三角形全等的判定定理有哪些嗎？

問題3：一個銳角三角形和一個鈍角三角形是否全等？

師生一起歸納總結三角形全等的定義及判定定理，并指出：不同類型的三角形不全等。

問題4：課本第39頁（人教版八年級上冊）通過木棍移動抽象出幾何圖形，如圖1所示，B、C、D都在同一直線上，且[AC=AD]。[△ABC]和[△ABD]是否能夠全等？為什么？

追問1：滿足“邊邊角”的兩個三角形一定不全等嗎？

追問2：[∠ACB]與[∠ADB]的數量關系如何？[∠ACB]與[∠ADB]滿足什么數量關系時[AC]與[AD]會重合？重合又能說明什么？

師生共同歸納“SSA”反例中不全等的兩個三角形是不同類三角形，總結滿足“SSA”的兩個三角形不是一定不全等而是不一定全等，“HL”是其中一種全等特例。

設計意圖：通過問題串，引發認知沖突，產生理解；引導學生作圖，通過作圖，加深學生對“HL”基本模型的印象。

（二）合作探究，主動理解，逐步深化

問題5：除“HL”這種情況表明滿足“SSA”的三角形全等外，是否還存在其他情況使得兩個三角形全等呢？可以從哪些方向來探究滿足“SSA”的兩個三角形全等？

師生活動：學生小組合作探究，由全等三角形必須是同類三角形，可以分為直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形三類。教師引導學生觀察如圖2所示的相等角的類型，引導學生進一步分類。

設計意圖：從直角三角形這一特殊圖形到一般三角形，培養學生從特殊到一般的思想；使學生通過合作探究產生不同類別的補充，培養學生的分類思想。

問題6：在前面學習的5個判定定理中，是按照什么方法進行探究的呢？整個探究過程我們首先要做什么？

設計意圖：引導學生類比，幫助學生尋找探究方法和步驟；讓學生學會用已學知識作為學習新知的前提，學以致用，進行遷移。

問題7：已知[△ABC]，請根據分類作出[△DEF]，使[DE=AB]，[EF=BC]，[∠A=∠D]，猜想你所作的三角形是否全等，并用三角形全等判定定理驗證你的猜想。

1.兩個三角形均為銳角三角形的情況

此時作圖如圖3所示，圖形唯一且經過裁剪后發現重合，由此猜想這兩個圖形全等。

驗證如下：

已知，如圖4所示的銳角[△ABC]和銳角[△DEF]中，[AB=DE]，[BC=EF]，[∠A=∠D]，求證：[△ABC ]≌[△DEF]。

證明：如圖4，過點[B]作[BM⊥AC]交[AC]于點[M]，過點[E]作[EN⊥DF]交[DF]于點[N]，先通過“AAS”證[△ABM ]≌[△DEN]得[BM=EN]，再通過“HL”證[Rt△BCM ]≌[Rt△EFN]得[∠C=∠F]，最后通過“AAS”證得[△ABC ]≌[△DEF]。

2.兩個三角形為直角三角形的情況

（1）相等的角為銳角（如圖5、圖6）

此時作圖唯一且可重合即全等，仔細觀察所畫圖形可以發現有四個已知條件，即兩角兩邊。圖5利用“AAS”或“HL”定理即可判定全等，圖6利用“AAS”或“ASA”或“HL”定理即可判定全等。

（2）相等的角為直角（如圖7）

圖7就是我們學過的滿足“HL”的三角形全等。

3.兩個三角形為鈍角三角形的情況

（1）相等的角為銳角（如圖8-1、圖8-2）

此時作圖如圖8-1和圖8-2所示，發現作圖不唯一，有兩種情況。將圖8-2分成兩種圖形得到圖9-1和圖9-2。猜想圖8-1與圖9-1全等，圖8-1與圖9-2明顯不全等。

（2）相等的角為鈍角（如圖10）

此時作圖唯一也重合即全等。

對于上述兩種猜想，全等情況驗證的輔助線如下：圖8-1與圖9-1輔助線作好如圖11，圖10輔助線作好如圖12。

兩個證明過程同銳角三角形一樣，都是經過“AAS”和“HL”以及“AAS”三次全等證明得到的。

設計意圖：通過小組合作，補充所有情況；通過作圖加強幾何直觀，體會每種情況是在作圖前提下得到的，給出探究幾何問題的有效方法——作圖；通過作圖培養學生的合情推理能力和邏輯推理能力。

（三）歸納總結，提高解決問題的能力

問題8：在對滿足“SSA”證全等的這幾種情況進行驗證的過程中，你有何感悟？

師生活動：學生小組交流發現證明方法基本一樣，而且都是作高線作為輔助線，師生共同歸納總結結論。

結論1：滿足“SSA”的情況，可通過作垂直構造直角三角形，轉換成直角三角形進行證明。

問題9：在本節的任務探究過程中，你還能得到什么結論？

結論2：兩個三角形為銳角三角形或者直角三角形時滿足“SSA”必然全等。

結論3：兩個三角形為鈍角三角形時，滿足“SSA”且相等邊所對角為鈍角的必然全等。

追問：通過直角三角形直角所對的邊相等，和鈍角三角形鈍角所對的邊相等的情況以及大邊對大角原理，思考這兩種類型還可以有什么樣的結論？

結論4：滿足“SSA”且最長邊或最大角對應相等的兩個三角形全等。

設計意圖：通過問題8，讓學生理解作高是驗證“SSA”的關鍵，也讓學生知道核心圖是直角三角形，并再次感悟從特殊到一般再從一般到特殊的數學思想。問題9是本節探究的一個結果歸納，旨在培養學生分析歸納問題的能力。

四、深度學習理念下幾何定理教學的思考

（一）培養作圖意識，加深對幾何定理的理解

圖形是探究幾何問題的有效載體，教師應引導學生將文字語言轉化為圖形語言，化抽象為直觀，借助圖形合理猜想，培養學生的作圖意識和直觀想象素養；通過圖形加強學生對幾何定理條件與結論的區分，加深學生對幾何定理的理解。本課案例中，在論證前，教師引導學生類比前面所學的三角形全等判定定理先行作圖，培養學生的作圖意識，引導學生應用數形結合思想，使學生深刻理解幾何定理。

（二）教師著力引導，使學生實現深度學習

幾何定理教學中，教師若直接給出幾何定理，學生很難準確記憶與應用。如何讓學生更好地理解幾何定理，實現深度學習呢？在幾何定理教學中，教師應著力引導。教師可借助問題串引導學生進行知識學習，或結合生活情境引入幾何定理，使學生能自然而然地接受定理，對幾何定理進行初步理解。除要理解事實性定理外，還要深入理解幾何定理本身，對此教師應引導學生自主探究，經歷幾何定理的形成過程。在學習幾何定理之后，由于幾何定理之間的關聯性較強，學生對幾何定理產生認知沖突，這就需要讓學生二度消化，深度學習，加深對幾何定理的認識。教師甚至可以進行單元設計，使知識系統化、結構化，從而使學生實現深度學習。

（三）引導建立幾何基本模型，促進遷移應用

基本圖形是解決幾何綜合問題的突破點，在復雜圖形中能抽取出熟悉的基本圖形，或通過作輔助線將新圖轉化為已學過的基本模型，并應用相應幾何定理解決問題，就可化繁為簡、化難為易。在幾何定理教學中，基本圖形的構建往往有相似定理之“8”字型和“A”字型，轉化為“一線三等角”模型等。本課案例中，滿足“SSA”的基本圖形如圖1，可通過作輔助線轉化為我們已學過的“HL”基本模型，從而解決其論證問題。而此模型以及輔助線作法也為后續解決幾何分類問題和知識遷移問題做了鋪墊。

總之，在深度學習理念下的幾何定理教學中，教師應引導學生自主探究，充分發揮學生的主觀能動性，讓學生會分析、會作圖、會論證、會建構模型、會歸納總結、會應用。同時，又作用于新知識的學習，從而實現深度學習。

［" "參" "考" "文" "獻" "］

［1］" 郭元祥.深度學習：本質與理念[J].新教師，2017（7）：11-14.

［2］" 曾明星，李桂平，周清平，等. 從MOOC到SPOC：一種深度學習模式建構[J].中國電化教育，2015（11）：28-34，53.

［3］" 何玲，黎加厚.促進學生深度學習[J].現代教學，2005（5）：29-30.

（責任編輯 黃春香）