基于“情境”的解析幾何解題策略探究

摘 要：試題“情境化”是新高考的必然趨勢，試題“情境”是命題者與解題者交流的暗語.解題者只有讀懂命題者善意的提醒，對條件和目標進行恰當的加工，最終打通條件與目標之間的“任督二脈”，才能剝開試題“繁雜”的外衣，看清問題的本質.

關鍵詞：情境化；解析幾何；解題策略

解析幾何是新高考的重點和難點，考查學生的思維能力與運算能力.現實與目標的反差促使我們對條件與目標進行合理的轉換，挖掘問題的幾何特征，恰當地選擇參數，抓住形與數的關聯特征，以形助數，以數釋形.雖然教師對解析幾何各種優化策略的總結全面而深刻，但是當學生面對新穎、復雜的綜合問題時仍然無法厘清條件與目標之間錯綜復雜的關系，要么方向不對，要么運算不過關，在有限的時間內極少有人可以成功“突圍”.究其原因，主要是平時“題型＋方法”的教學方式弱化了學生的思維能力.學生分析問題、解決問題的能力沒有得到培養，平時學習大多是“低通路遷移”.缺乏“高通路遷移”的學習往往使得學生在遇到新穎問題、原創問題時被“打回原形”.這也是很多優秀學生高考“發揮失?！暗脑蛑?每一道試題的命制都會留下命題者的印記，或明或暗地體現了命題者的意圖和設想.尋找命題者留下的編制“痕跡”與“破綻”，接收命題者傳遞給我們的信息暗示或指引，就能感受到命題者內心的思維活動與釋放出來的“善意”，與其進行隔空“對話”，并進行判斷、加工，最終翻譯命題者的思維密碼才能達到看清問題本質的目標.本文提供如何基于“情境”對解析幾何問題進行分析、優化的案例.

每一個數學問題都有其具體的情境，解析幾何問題也不例外.“情境”可以分具體和抽象兩類，具體情境主要包括問題的條件、目標、設問、運算、幾何特征等；抽象情境主要是指將相關“情境”抽象成一些常見模型.情境化試題是實現考查內容和考查要求的載體，提供一定的情境材料，要求學生在充分理解材料的基礎上，尋求解決問題的途徑.［1］從“情境”出發尋找解題的突破口是一種最常見的方式.

1 從目標尋求突破口

解題最重要的是目標意識，即由“終”至“終”.有的命題者往往對目標和條件不加任何掩飾，解題者可以從目標反思條件，設法厘清條件與目標的關系，也就打通了題目的“任督二脈”.

例1 （2020年全國Ⅰ卷改編）如圖1，已知A，B分別為橢圓E：x29＋y2=1的左、右頂點，P為直線x＝6上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D.證明：直線CD過定點.

思路分析一：本題從目標看需要借助參數表示直線CD的方程，而此直線的表示可以借助C，D兩點坐標，又發現C，D兩點坐標可由直線AP，BP與橢圓求交點得到.

設點P（6，m），則直線AP：y=m9（x＋3），直線BP：y=m3（x-3），分別與橢圓方程聯立，得C3（9-m2）9＋m2，6m9＋m2，D3（m2-1）m2＋1，-2mm2＋1，接下來若直接表示直線CD，則運算量會比較大，考慮到對稱性，直線CD過的定點必在x軸上，令3（9-m2）9＋m2=3（m2-1）m2＋1得，m2=3，即直線CD只能過定點T32，0.又kCT=4m3（3-m2），kDT=4m3（3-m2），所以kCT=kDT，即直線CD過定點T.

本題由目標逆向推理，直至將條件與目標的聯系打通，或者也可以條件與目標雙向推理，其中定點探求用到了先猜后證的思路，這是曲線過定點問題中常采用的優化運算方式.

2 從“情境”抽象尋求突破口

命題者在試題命制時常常建立在某種模型上，再通過具體情境進行包裝，改頭換面，將條件、目標進行變形.此類問題，解題者一旦能夠識別，則可“長驅直入，一舉破題”.

思路分析二：本題中隱藏著一個常見的“手電筒”模型.如圖2，只需連結B，C兩點，便可出現該模型“點B及線段BC，BD”，可結合目標猜得，直線BC，BD的斜率之積為定值.只需將兩者斜率之積求出，即可由齊次化求得定點.

易證得，kAC·kBC=-19，kBD=3kAC，由此可得kBD·kBC=-13.由于直線CD不過點B，故可設直線CD的表達式為m（x-3）＋ny=1，由x2＋9y2=9，得（x-3＋3）2＋9y2=9，即（x-3）2＋6（x-3）＋9y2=0，所以有（x-3）2＋6（x-3）［m（x-3）＋ny］＋9y2=0.再設k=yx-3，則上式可化為9k2＋6nk＋6m＋1=0，兩根為kBD，kBC，所以kBD·kBC=6m＋19=-13，即m=-23，所以直線CD的表達式為-23x＋ny＋1=0，所以直線CD過定點T32，0.

本題的背景可以抽象成“手電筒”模型的逆向問題，即尋求斜率間的關系進而可以推出直線過定點.將問題情境抽象成常見模型需要對模型結構非常熟悉，深刻理解模型的條件與結論的邏輯關系，這種抽象過程屬于“高通路遷移”.

3 從設問尋求突破口

命題者在命制試題時各問題之間往往呈現層層遞進的關系，或從特殊到一般，或從單一情況到多種情況，或直線推進.前面小問的解決對后續小問具有方向、方法引領，過程補充的作用.

例2 如圖3，已知左焦點為（-1，0）的橢圓過點1，233，過點P（1，1）分別作斜率為k1，k2的橢圓的動弦AB，CD，設M，N分別為線段AB，CD的中點.

（1）求橢圓的標準方程.

（2）若P為線段AB的中點，求k1的值.k1=-23

（3）若k1＋k2=1，求證：直線MN恒過定點，并求出定點坐標.

第（3）問思路分析一：直線AB為y-1=k1（x-1），與橢圓方程x23＋y22=1聯立，得M-3k1k22＋3k21，2k22＋3k21，同理N-3k1k22＋3k22，2k12＋3k22.與例1類似，本題若直接求直線MN方程運算量會非常大，故仍然考慮先猜后證.但本題要想猜出定點需要找出兩條特殊的直線MN，其中一條可以令k1=0，k2=1（k2=0，k1=1一樣）求得直線MN即為y軸，另一條如何取值才能有效控制運算量呢？這里我們可以借助第（2）問的結果，即取k1=-23，可得N1031，-431，M（1，1），所以直線MN為y-1=53（x-1），兩條特殊的直線MN交于點T0，-23，下面證明M，N，T三點共線即可.

上述求解雖是常規思路，但是先“猜”的“猜”不易，合理利用前面小問能有效控制運算量.

第（3）問思路分析二：先看第（2）問的解答，設A（x1，y1），B（x2，y2），由點差法易得，y1-y2x1-x2·y1＋y2x1＋x2=-23，即k1·yPxP=-23，代入點P坐標即得k1=-23.這一過程對第（3）問是否有幫助呢？再看式子y1-y2x1-x2·y1＋y2x1＋x2=-23，可以化為y1-y2x1-x2·y0x0=-23（點（x0，y0）為弦的中點）.第（2）問是已知中點坐標求斜率，而第（3）問中斜率是變量，意味著弦的中點是隨著變量k的變化而變化的，一個自然的想法是能否求弦的中點的軌跡方程呢？這需要找到中點（x0，y0）滿足的等量關系式，將等式y1-y2x1-x2·y0x0=-23代入y1-y2x1-x2=y0-1x0-1中，即得中點軌跡方程為2（x2-x）＋3（y2-y）=0，即點P，M，N是軌跡上的點，且直線MN不過點P.設直線MN方程為m（x-1）＋n（y-1）=1，將方程2x2＋3y2-（2x＋3y）=0齊次化變形，得（2m＋2）（x-1）2＋（3n＋3）（y-1）2＋（3m＋2n）（x-1）·（y-1）=0.設k=y-1x-1，得（3n＋3）k2＋（3m＋2n）k＋2m＋2=0，由k1＋k2=1，得-（3m＋2n）3n＋3=1，即m=-53n-1，所以直線MN過定點T0，-23.

本題的背景是二次曲線過定點的弦的中點軌跡問題，圓錐曲線過定點的弦的中點軌跡仍是該類圓錐曲線，即二次曲線Γ：Ax2＋By2＋Ex＋Fy＋D=0.過一定點P（x0，y0）作直線l與曲線Γ交于M，N兩點，則弦MN中點的軌跡方程為fx（x，y）·（x-x0）＋fy（x，y）（y-y0）=0，其中f（x，y）=Ax2＋By2＋Ex＋Fy＋D，fx（x，y），fy（x，y）表示f（x，y）的偏導數.九省新高考適應性考試數學卷的第18題第（1）問便是以此為背景命制的.

本題從第（2）問到第（3）問，問題由靜態變為動態，由常量變為變量，第（2）問的關系式到第（3）問換個視角仍然適用.解題教學中，教師需要培養學生的發散性思維，要關注辯證思維的培養.“授人以魚不如授人以漁”，新的教學觀已從原有的教授專家結論轉向教授專家思維，從教知識轉向教素養.教師教給學生的知識，最終能用到多少？能記得多少？

真正留在學生大腦里時間最長的是教給學生的思維，如數學建模、數學抽象等.

4 從運算尋求突破口

新高考解析幾何問題對思維能力和運算能力提出了更高的要求，對目標的表征方式往往不止一種，那么在解決具體問題時該如何選擇呢？筆者認為影響表示方式的因素主要是條件和運算量，根據條件（適當的時候要將條件轉化）、不同的表示方式運算量的比較，綜合決定解題的方向選擇.

例3 （2019年浙江高考）如圖4，已知點F為拋物線y2=4x的焦點，過F的直線交拋物線于A，B兩點，點C在拋物線上，使△ABC的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點Q，且點Q在點F右側，記△AFG，△CQG面積分別為S1，S2.求S1S2的最小值及此時點G的坐標.

思路分析：本題首先要表示S1S2，官方及各類資料的答案均為先表示S1，S2，再求解比值的最小值，但此種方式的運算量較大，尤其是最后的函數模型較為復雜，使得最小值的求解較為困難.事實上對于比值的表示除了分子分母分別表示外，還可以從“比”的角度考慮，先將“比”化簡，再表示分子和分母.考慮到點G為重心，所以S△ABG=S△ACG，故S1S2=S1S△ABG·S△ACGS2=|AF||AB|·|AC||CQ|=

|yA||yA-yB|·|yA-yC||yC|=|y2A-yAyC||yAyC-yByC|，此式涉及的是yA，yB，yC，下面需要找到三者的聯系再消元即可.設A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），則直線AB的方程為（y1＋y2）·y-y1y2=4x，因為直線AB過焦點F（1，0），所以y1y2=-4，同理x2Q=x1x3.又因為yG=y1＋y2＋y33=0，所以S1S2=|y1（y1-y3）||（y1-y2）y3|=2|y21（y21-2）||y41-16|.再由條件點Q在點F右側得，x1x3gt;1，即y21y23gt;16，所以y1（y1＋y2）gt;4，即y21gt;8，S1S2=21-2（y21-8）y21-16.令t=y21-8，tgt;0，y21-8y41-16=1t＋48t＋16≤2-38，當且僅當y21=8＋43時，取等號，即S1S2最小值為1＋32，此時點G（2，0）.

本題的思路是基于比值的處理，由于S1，S2無法從比值角度直接建立聯系，故通過引入中間量S△ABG，S△ACG，使得三角形存在聯系，易于將比值簡化為共線的線段長度之比，最終轉化為縱坐標的比值，此目標函數形式更易于消元和求最值.解決解析幾何問題要著力培養學生多思少算的習慣，只有深入思考問題的本質，不斷優化問題的解決方式，才能真正體會到解析幾何的核心價值.

5 從幾何特征尋求突破口

解析幾何是用代數方法研究幾何問題，代數是手段，幾何是本質.教學中引導學生將幾何特征代數化，理解代數表征的幾何意義，使得代數表征與幾何直觀相互呼應，能靈活選擇“數”與“形”兩個視角解決問題，體會幾何直觀與代數運算的聯系.

例4 在平面直角坐標系xOy中，曲線C：x24＋y23=1，直線l：x=4，右焦點為F（1，0），左右頂點分別為A，B，點M是曲線C上異于A，B的任意一點.設直線AM與直線l交于點N，求證：∠MFB=2∠NFB.

思路分析一：本題目標可轉化為證明tan∠MFB=tan 2∠NFB，直線MF，NF的斜率不難證明，但是若我們注意到∠MFB=2∠NFB等價于NF平分∠MFB，能否從角平分線的視角考慮呢？NF可以視為∠MFA的外角平分線，由外角平分線逆定理只需要證明|FA||FM|=|AN||MN|.

作MM1⊥l，如圖5所示，

由三角形相似，得|AN||MN|=6|MM1|，|FA||FM|=3|FM|.由l：x=4為右準線知，|MF||MM1|=e=12，所以6|MM1|=3|FM|，即|FA||FM|=|AN||MN|.

思路分析二：考慮到直線l為右準線.要證明∠MFB=2∠NFB，只需要證明|MF|=|MD|.因為點F為AE中點，由三角形相似知D為MM1的中點，故只需要證明|MF|=12|MM1|，由圓錐曲線統一定義知|MF|=12|MM1|成立.

上述兩種解法重在對“角平分線”這一幾何特征的代數表征——角平分線定理（逆定理），當然對這一幾何特征也可以從“角平分線上的點到兩邊的距離相等”考慮，事實上只要我們具備了這一研究問題的視角，能準確地找到相應的代數表征，問題就會迎刃而解.

數學是研究數量關系和空間形式的一門科學［2］，闡明了數學的本質，在試題情境中，表現為 “運算求解”和“幾何特征”.深入分析試題情境，作出相應的幾何圖形，聚焦幾何特征，利用數形結合思想，是解決數學問題的第一步，也是發現解題思路來源最重要的一步.

6 結語

新高考“新”在“情境化”命題，通過選取適宜的素材，根據不同的考查功能，設計不同的情境載體.比如，以課程學習情境為檢驗基礎的量尺，以探索創新情境為區分甄選的手段，以生活實踐情境為拓展應用的渠道.［1］縱觀歷年高考數學試題，大部分情境載體都同時蘊含“數量關系”和“空間形式”兩個方面.基于情境的問題分析可以遵循如圖6流程.

總之，“情境”是高考數學試題的顯著特征，情境化試題能更深刻、精準地反映學生分析問題、解決問題的能力，能更好地發揮數學高考的選拔功能.掌握“情境”的分析策略，總結和提煉相應的方法流程是提高學生分析問題和解決問題能力的有效途徑，對“情境”的駕馭能力是數學關鍵能力的核心指標.

參考文獻

［1］任子朝，趙軒.基于高考評價體系的數學科考試內容改革實施路徑 ［J］.中國考試，2019（12）：27-32.

［2］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.