“數”的屬性運算，“形”的特征直觀

摘 要：數學解題與應用研究是一個深層次的數學教學與學習過程，也是不斷積累知識與經驗，掌握技巧與方法的重要途徑.本文結合一道向量題的探究，從“數”與“形”的思維視角加以切入與應用，并深入拓展與研究，提升思維能力的高度與維度，引領并指導解題研究與復習備考.

關鍵詞：平面向量；代數；幾何

平面向量自身同時兼備“數”與“形”的雙重特征，因此解決平面向量問題可以將代數思維與幾何思維相結合.在具體解決對應的平面向量綜合問題時，可以從代數思維切入，結合“數”的基本屬性進行合理的數學運算，也可以從幾何思維切入，結合“形”的結構特征進行巧妙的直觀想象.

1 問題呈現

（2024屆江蘇省鹽城市、南京市高三一模數學調研測試試卷·8）平面向量a，b，c滿足|a|=|b|=a·b=2，|a＋b＋c|=1，則（a＋c）·（b＋c）的最小值是（" ）.

A. －3

B. 3－23

C. 4－23

D. －23

此題以兩個確定的平面向量a，b（對應兩平面向量的模與夾角），以及第三個平面向量c滿足|a＋b＋c|=1來創設問題情境，“動”與“靜”結合，求平面向量的數量積（a＋c）·（b＋c）的值，實現“常值”與“最值”的變化.

基于問題的創設，利用平面向量集“數”“形”于一體的特性，在解決具體問題時，可以從平面向量的“數”的基本屬性與“形”的結構特征等不同角度切入，通過“數”中的坐標運算、數量積等基本性質，或“形”中的平面幾何知識、投影定義等方法來分析與應用，實現問題的突破與求解.

2 問題破解

2.1 代數思維

用代數思維來處理平面向量問題，關鍵在于突出平面向量“數”的基本屬性.通過向量的坐標運算、數量積公式等的應用，利用數學運算并結合函數與方程等相關知識來分析與解決平面向量問題.

解法1：坐標＋解析幾何法.

依題可得，cos〈a，b〉=a·bab=12，則有〈a，b〉=π3.

在平面直角坐標系中，令a=（2，0），b=（1，3），設c=（x，y）.

則知|a＋b＋c|=|（3＋x，3＋y）|=1，即（x＋3）2＋（y＋3）2=1，其表示的是圓心C（－3，－3），半徑為r=1的圓.

而（a＋c）·（b＋c）=（x＋2，y）·（x＋1，y＋3）=（x＋2）（x＋1）＋y（y＋3）=x2＋3x＋2＋y2＋3y=x＋322＋y＋322－1.

其中代數式x＋322＋y＋322表示的是動點P（x，y）與定點M－32，－32的距離的平方.

CM=-3＋322＋-3＋322=3，則知PMmin=3－1.

所以（a＋c）·（b＋c）的最小值是（3－1）2－1=3－23，故選擇B.

解法2：坐標＋三角換元法.

依題可得cos〈a，b〉=a·bab=12，則有〈a，b〉=π3.

在平面直角坐標系中，令a=（2，0），b=（1， 3）.

由|a＋b＋c|=1，可設a＋b＋c=（cosα，sinα），α∈［0，2π），可得c=（cosα－3，sinα－3）.

而（a＋c）·（b＋c）=（cosα－1，sinα－3）·（cosα－2，sinα）=（cosα－1）（cosα－2）＋sinα（sinα－3）=3－3sinα－3cosα=3－23sinα＋π3∈［3－23，3＋23］.

所以（a＋c）·（b＋c）的最小值是3－23.故選擇B.

解法3：主元法.

由于|a＋b＋c|=1，可得（a＋b＋c）2=1，即（a＋b）2＋2（a＋b）·c＋c2=1，亦即a2＋2a·b＋b2＋2（a＋b）·c＋c2=1，整理可得（a＋b）·c=－12（c2＋11）.

由于|a＋b|2=（a＋b）2=a2＋2a·b＋b2=12，知|a＋b|=23.

利用平面向量數量積的概念，可得－23|c|≤（a＋b）·c≤23|c|.

所以（a＋b）·c=－12（c2＋11）∈［－23|c|，23|c|］，解得|c|∈［23－1，23＋1］，即c2∈［13－43，13＋43］.

而（a＋c）·（b＋c）=a·b＋a·c＋b·c＋c2=2＋（a＋b）·c＋c2=2－12（c2＋11）＋c2=12（c2－7）∈［3－23，3＋23］.

所以（a＋c）·（b＋c）的最小值是3－23.故選擇B.

解后反思：根據題設場景，結合平面向量的模與向量的夾角等，構建合適的平面直角坐標系.利用坐標運算來分析與處理平面向量問題，是平面向量自身“數”的基本屬性的一個重要體現.利用代數思維處理平面向量中的最值問題時，往往離不開函數與方程、三角函數和不等式等相關知識的應用.

2.2 幾何思維

幾何思維來處理平面向量問題，關鍵在于突出平面向量“形”的結構特征.通過平面幾何圖形的直觀形象、向量運算與數量積的幾何意義等，利用圖形的數形結合來分析與解決平面向量問題.

解法4：基底法.

依題可得，cos〈a，b〉=a·bab=12，則有〈a，b〉=π3.

如圖1所示，設OA=a，OB=b，OC=c，OE=a＋b，OF=－（a＋b）.

結合|a＋b＋c|=|－（a＋b）－c|=|OF－OC|=|CF|=|FC|=1，可知點C是以點F為圓心1為半徑的圓上的一動點.

由于|a＋b|2=（a＋b）2=a2＋2a·b＋b2=12，可知|OE|=|OF|=23.

設m=a＋b＋c，則|m|=1.

而（a＋c）·（b＋c）=（m－b）·（m－a）=m2－（a＋b）·m＋2=［m－（a＋b）］·m＋2=c·m＋2=OC·FC＋2=（FC－FO）·FC＋2=|FC|2－FO·FC＋2=3－FO·FC.

結合平面向量的數量積公式，可知FO·FC∈［－23，23］，則（a＋c）·（b＋c）=3－FO·FC∈［3－23，3＋23］.

所以（a＋c）·（b＋c）的最小值是3－23.故選擇B.

解后反思：根據平面向量自身“形”的結構特征，通過向量的線性運算和數量積等的幾何意義加以直觀處理，是解決平面向量數量積的最值中比較特殊的一種技巧方法.此處通過向量的模的關系和線性運算的幾何意義等來構建對應的平面幾何圖形，從配方法或基底法等不同角度切入，利用圖形直觀來分析與解決問題.

3 教學啟示

3.1 最值應用，熱點考查

涉及平面向量中的最值（或取值范圍）問題是高考命題的一個熱點問題，也是一個難點問題.此類問題綜合性強，體現了知識的交匯組合，其基本題型是根據已知條件求某個變量的范圍、最值，例如，向量的模、數量積、向量夾角和系數的范圍等.解題思路是建立目標函數的解析式，從而轉化為求函數的最值，同時向量兼顧“數”與“形”的雙重身份，所以解決平面向量的范圍、最值問題的另外一種思路是數形結合.

3.2 “數”“形”結合，拓展思維

涉及平面向量的綜合應用問題，可以從“數”的基本屬性方面進行代數運算，也可以從“形”的結構特征方面進行幾何推理，還可以“數”與“形”結合來推理與論證.思維視角多樣、變化多端、場景豐富，思維方式各樣，使得代數思維與幾何思維的應用構建成一幅完美和諧統一的“畫卷”，成為新高考數學試題命制中的一個創新點與熱點.