截長補短證線段和差

截長補短法常用來證明線段的和差問題，包含兩個方法，即截長法與補短法．

截長法是在較長的線段上截取一段等于要證的兩條較短線段中的一條，再證明剩下的部分等于另一條較短線段．

補短法是在一條較短的線段上延長一段等于另一條較短線段，使兩條較短線段合二為一組成一條新線段，再證明新線段等于較長線段．

截長補短法的特征比較明顯，若遇到證明線段的和、差、倍、分關系，即條件或結論中出現線段關系為a + b = c或其變形時，就可以考慮截長補短法，構造全等三角形解決問題.下面舉例說明．

[原題呈現]

例 （1）【閱讀理解】問題：如圖1，在四邊形[ABCD]中，對角線[BD]平分[∠ABC]，[∠A+∠C=180°]. 求證：[DA=DC]．

思考：“角平分線 + 對角互補”可以通過“截長補短”構造全等三角形去解決問題．

方法1：在[BC]上截取[BM=BA]，連接[DM]，得到全等三角形，進而解決問題.

方法2：延長[BA]到點[N]，使得[BN=BC]，連接[DN]，得到全等三角形，進而解決問題．

結合圖1，在方法1和方法2中任選一種，添加輔助線并完成證明．

（2）【問題解決】如圖2，在（1）的條件下，連接[AC]，當[∠DAC=60°]時，探究線段[AB]，[BC]，[BD]之間的數量關系，并說明理由.

（3）【問題拓展】如圖3，在四邊形[ABCD]中，[∠A+∠C=180°]，[DA=DC]，過點D作[DE⊥BC]，垂足為點E，請直接寫出線段[AB]，[CE]，[BC]之間的數量關系．

[思路分析]

（1）方法1：如圖4，在[BC]上截取[BM=BA]，連接[DM]，證明△ABD ≌ △MBD（SAS），得出[∠A=∠BMD]，[AD=MD]，進而得出[∠C=∠CMD]，則[DM=DC]，等量代換即可得證.

方法2：如圖5，延長BA到點N，使BN = BC，連接DN，證明△BDN ≌ △BDC（SAS），得出∠C = ∠N，DN = DC，進而得出∠NAD = ∠N，則DA = DN，等量代換即可得證.

（2）方法1：如圖6，在[BD]上截取[BF=AB]，連接[AF]，由（1）知[∠BAD+∠BCD=180°]，得出△ABF和△ADC為等邊三角形，證明△AFD ≌ △ABC（SAS），得出[DF=BC]，即可得證.

方法2：如圖7，延長[CB]到[P]，使[BP=BA]，連接[AP]，由（1）知[AD=CD]，則△ADC和△ABP是等邊三角形，證明△PAC ≌ △BAD（SAS），得出[PC=BD]，即可得證.

（3）線段[AB]，[CE]，[BC]之間的數量關系為[BC-AB=2CE]. 如圖8，連接[BD]，過點[D]作[DF⊥AB]交，BA的延長線于點[F]，證明△DFA ≌ △DEC（AAS），Rt△BDF ≌ Rt△BDE（HL），得出[BF=BE]，即可得證．

[過程精析]

解：（1）方法1：如圖4，在BC上截取BM = BA，連接DM，

∵BD平分∠ABC，∴∠ABD = ∠CBD.

在△ABD和△MBD中，[BD=BD，∠ABD=∠MBD，BA=BM，]

∴△ABD ≌ △MBD（SAS），∴∠A = ∠BMD，AD = MD.

∵∠BMD + ∠CMD = 180°，∠C + ∠A = 180°，∴∠C = ∠CMD，

∴DM = DC，∴DA = DC.

方法[2]：如圖5，延長BA到N，使BN = BC，連接DN，

∵BD平分∠ABC，∴∠NBD = ∠CBD.

在△NBD和△CBD中，[BD=BD，∠NBD=∠CBD，BN=BC，]

∴△NBD ≌ △CBD（SAS），∴∠BND = ∠C，ND = CD.

∵∠NAD + ∠BAD = 180°，∠C + ∠BAD = 180°，∴∠BND = ∠NAD，

∴DN = DA，∴DA = DC.

（2）AB，BC，BD之間的數量關系為AB + BC = BD. 理由如下：

方法1：如圖6，在BD上截取BF = AB，連接AF，

由（1）知∠BAD + ∠BCD = 180°，∴A，B，C，D四點共圓，

∴∠DBC = ∠DAC.

∵∠DAC = 60°，BD平分∠ABC，∴∠ABD = ∠DBC = ∠DAC = 60°，

∴△ABF為等邊三角形，∴AB = AF = BF，∠BAF = 60°.

∵AD = DC，∴△ADC為等邊三角形，∴AD = AC.

∵∠BAF = ∠DAC = 60°，∴∠DAF = ∠BAC，∴△AFD ≌ △ABC（SAS），

∴DF = BC，∴BD = BF + DF = AB + BC．

方法2：如圖7，延長CB到點P，使BP = BA，連接AP，

由（1）知DA = DC，∵∠DAC = 60°，∴△ACD為等邊三角形，

∴∠ADC = 60°，AC = AD，由（1）知[∠BAD+∠BCD=180°]，

∴∠ADC + ∠ABC = 180°，∴∠ABC = 120°.

∵∠ABP + ∠ABC = 180°，∴∠ABP = 60°.

∵AB = PB，∴△APB為等邊三角形，

∴AB = PA，∠PAB = 60°，∴∠PAC = ∠BAD，

∴△PAC ≌ △BAD（SAS），∴BD = PC，

∴BD = PB + BC = AB + BC．

（3）線段AB，CE，BC之間的數量關系為BC - AB = 2CE．

理由：如圖8，連接BD，過點D作DF ⊥ BA，交BA的延長線于點F.

∵∠BAD + ∠C = 180°，∠BAD + ∠FAD = 180°，∴∠FAD = ∠C.

在△DFA和△DEC中，[∠DFA=∠DEC，∠FAD=∠C，DA=DC，]

∴△DFA≌△DEC（AAS），

∴DF = DE，AF = CE.

在Rt△BDF和Rt△BDE中，[BD=BD，DF=DE，]

∴Rt△BDF ≌ Rt△BDE（HL），

∴BF = BE，∴BC = BE + CE = BF + CE = AB + AF + CE = AB + 2CE，

∴BC - AB = 2CE．

[總結反思]

本題考查了全等三角形的性質與判定. 在掌握全等三角形的性質與判定的基礎上，運用截長補短法，適當添加輔助線，構造全等三角形，是解此類題的關鍵．

[拓展訓練]

1.如圖9，四邊形[ABCD]是[⊙O]內接正方形，P是圓上一點（點P與點A，B，C，D不重合），連接[PA]，[PB]，[PC]．

（1）若點P是[AD]上一點，則①∠BPC的度數為 .

②求證：[PA+PC=2PB]. 小明的思路為：這是線段和差倍半問題，可采用截長補短法，請按小明的思路完成下列證明過程（也可按自己的想法給出證明）. 證明：在[PC]的延長線上截取點E，使[CE=PA]，連接[BE]……

（2）探究：當點P分別在[AB]，[BC]，[CD]上時，求[PA]，[PB]，[PC]的數量關系，直接寫出答案，不需要證明．

2.閱讀下面材料：

【原題呈現】如圖10，在[△]ABC中，∠A = 2∠B，CD平分∠ACB，AD = 2.2，AC = 3.6，求BC的長．

【思考引導】因為CD平分∠ACB，所以可在BC邊上取點E，使EC = AC，連接DE．這樣很容易得到[△]DEC ≌ [△]DAC，經過推理能使問題得到解決（如圖11）．

【問題解答】（1）參考提示的方法，解答原題呈現中的問題；

（2）拓展提升：如圖12，已知[△]ABC中，AB = AC，∠A = 20°，BD平分∠ABC，BD = 2.3，BC = 2. 求AD的長．

3.（1）閱讀理解：如圖13，在△ABC中，若AB = 8，AC = 5，求BC邊上的中線AD的取值范圍. 可以用如下方法：將△ACD繞著點D逆時針旋轉180°得到△EBD，在△ABE中，利用三角形三邊的關系即可判斷中線AD的取值范圍是 .

（2）問題解決：如圖14，在△ABC中，D是BC邊上的中點，DE ⊥ DF于點D，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，求證：BE + CF > EF.

（3）問題拓展：如圖15，在四邊形ABCD中，∠B+∠D = 180°，CB = CD，∠BCD = 100°，以C為頂點作一個50°的角，角的兩邊分別交AB，AD于E，F兩點，連接EF，探索線段BE，DF，EF之間的數量關系，并說明理由．

答案：1. （1）①45°，②略. （2）[PC-PA=2PB]；[PA-PC=2PB]；[PA+PC=2PB] 2. （1）BC = 5.8 （2）AD = 4.3 3. （1）1.5 < AD < 6.5 （2）略 （3）BE + DF = EF

（作者單位：沈陽市廣全學校，沈陽市翟家中心校）