因式分解題型“秀”

一、結論探究型

例1 若k為任意整數，則（[2k+3]）2 - [4k2]的值總能（ ）.

A. 被2整除 B. 被3整除 C. 被5整除 D. 被7整除

解析：用平方差公式因式分解，得到乘積的形式，即可找到能被整除的數或式.

（[2k+3]）2 - [4k2] = （[2k+3+2k]）（[2k+3-2k]） [=3]（[4k+3]），

∵3（[4k+3]）能被3整除，∴（[2k+3]）2 - [4k2]的值總能被3整除.

故選B.

二、閱讀理解型

例2 我們知道，兩個奇數相加、相減的結果是偶數，兩個偶數相加、相減的結果是偶數，一個奇數與一個偶數相加、相減的結果是奇數. 現有由[n]（[n≥2]）個正整數排成的一組數，記為[x1，x2，x3]…xn，任意改變它們的順序后記作[y1，y2，y3]…yn，若P = （[x1-y1]）（[x2-y2]）（[x3-y3]）…（[xn-yn]），分析下列說法：①P可以為0；②當n是奇數時，P是偶數；③當n是偶數時，P是奇數. 其中正確的個數是（ ）.

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

解析：根據題意，當[xn=yn]時，[P=0]，則①正確. 當[n]是奇數時，兩個奇數相加、相減的結果是偶數，兩個偶數相加、相減的結果也是偶數，那么[P]中一定有一個偶數因數（[xn-yn]），所以[P]是偶數，則②正確. 當n是偶數時，由②可知，[P]中一定有一個偶數因數（[xn-yn]），所以[P]是偶數，則③錯誤. 故選C.

三、數形結合型

例3 我們在學習許多代數公式時，可以用幾何圖形來推理驗證. 觀察圖1，[a2-1] = a（a - 1） +（[a-1]）=（[a-1]）（[a+1]）. 接下來，觀察圖2，通過類比思考，因式分解[a3-1=] ________= ________.

解析：觀察圖2可得兩種計算方法：①三個長方體相加；②大正方體減去小正方體，按要求列出式子，即可解答.

將圖2看作三個長方體相加時，可得：

a × a × （a - 1） + 1 × a × （a - 1） + 1 × 1 × （a - 1） = a2（a - 1） + a（a - 1） + （a - 1）

= （[a-1]）（[a2+a+1]）.

故應填[a2]（[a-1]） + [a]（[a-1]） + （[a-1]），（[a-1]）（[a2+a+1]）.

四、綜合實踐型

例4 八年級課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：將[2a-3ab-4+6b]因式分解.

【觀察】經過小組合作交流，小明得到了如下的解決方法：

解法一：原式 = （[2a-3ab]） - （[4-6b]） = a（[2-3b]） - 2（[2-3b]） = （[2-3b]）（[a-2]）.

解法二：原式 = （[2a-4]） - （[3ab-6b]） = 2（[a-2]） - 3b（[a-2]） = （[a-2]）（[2-3b]）.

【感悟】當遇到項數較多的多項式無法直接進行因式分解時，我們可以將多項式分為若干組，再利用提取公因式法、公式法達到因式分解的目的，這就是因式分解的分組分解法. 分組分解法在代數式的化簡、求值及方程、函數等學習中起著重要的作用. （溫馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解為止）

【類比】（1）請用分組分解法將[x2-a2+x+a]因式分解.

【挑戰】（2）請用分組分解法將[ax+a2-2ab-bx+b2]因式分解.

【應用】（3）“趙爽弦圖”是我國古代數學的驕傲，我們利用它驗證了勾股定理. 如圖3，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形圍成的一個大正方形，中間是一個小正方形. 若直角三角形的兩條直角邊長分別是a和[b]（[agt;b]），斜邊長是3，小正方形的面積是1. 根據以上信息，先將[a4-2a3b+2a2b2-2ab3+b4]因式分解，再求值.

解析：（1）直接將前兩項和后兩項分別組合，利用平方差公式分解后再提取公因式即可.

[x2-a2+x+a] = （[x2-a2]） + （[x+a]）

= （[x+a]）（[x-a]） + （[x+a]） = （[x+a]）（[x-a+1]）.

（2）先分組，利用完全平方公式和提取公因式法分解后，再提取公因式即可.

[ax+a2-2ab-bx+b2] = （[a2-2ab+b2]） + （[ax-bx]）

= （[a-b]）2 + x（[a-b]） = （[a-b]）（[a-b+x]）.

（3）分組后提取公因式，并利用完全平方公式分解因式，再由勾股定理及面積公式得到[a2+b2=9]，（[a-b]）2 = 1，運用整體思維易得答案.

[a4-2a3b+2a2b2-2ab3+b4] = （[a4+2a2b2+b4]） - （[2a3b+2ab3]）

= （[a2+b2]）2 - 2ab（[a2+b2]） = （[a2+b2]）（[a2-2ab+b2]）

= （[a2+b2]）（a - b）2 ，

根據題意得[a2+b2=9]，（a - b）2 = 1，∴原式[=9].

（作者單位：山東省棗莊市臺兒莊區明遠學校插花校區）