旋轉(zhuǎn)三確定 缺一不唯一

根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的概念可知，一個(gè)圖形旋轉(zhuǎn)后的結(jié)果是由旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角決定的，三者缺一不可. 因此，在解決圖形旋轉(zhuǎn)問題時(shí)，同學(xué)們一定要明確如下三點(diǎn)： （1）旋轉(zhuǎn)中心（是定點(diǎn)，還是動(dòng)點(diǎn)）；（2）旋轉(zhuǎn)方向（是逆時(shí)針，還是順時(shí)針）；（3）旋轉(zhuǎn)角（是具體數(shù)值，還是一個(gè)范圍）. 如果三者中有一個(gè)不確定，那么旋轉(zhuǎn)的結(jié)果就可能不唯一，這時(shí)同學(xué)們要注意分類思考，謹(jǐn)防漏解.

一、旋轉(zhuǎn)中心不確定

例1 如圖1，小紅在學(xué)習(xí)了三角形相關(guān)知識(shí)后，對(duì)等腰直角三角形進(jìn)行了探究，在等腰直角三角形ABC中，CA = CB，∠C = 90°，過點(diǎn)B作射線BD⊥AB，垂足為B. 若點(diǎn)P在射線CB上移動(dòng)，將射線PA繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°與BD交于點(diǎn)E，畫出圖形，探究線段BA，BP，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

解析：旋轉(zhuǎn)中心P在射線CB上移動(dòng)，位置不確定，因此分為兩種情況，即P在線段BC上和P在線段CB的延長(zhǎng)線上.

（1）當(dāng)P在線段BC上時(shí)，過P作PM[?]AB，交AC于M，如圖2，

∴∠MPC = ∠ABC = 45°，∴∠PMC = ∠MPC = 45°.

∴CP = CM.

∵CA = CB，∴AM = BP.

∵∠APE = 90°，∴∠EPB = ∠PAC = 90° - ∠APC.

∵∠AMP = ∠PBE = 135°，∴△APM≌△PEB，

∴PA = PE，PM = BE.

∵AB = [2]（AM + CM），PM = [2CM]，

∴AB = [2]BP + BE.

（2）當(dāng)P在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，

過P作PN⊥BC，交BE于N，如圖3.

∵∠ABD = 90°，∠ABC = 45°，∴∠PBN = 45°，

∴△BPN是等腰直角三角形，∠ABP = 90° + 45° = 135°，

∴BP = NP，∴BN = [2]BP，∠PNB = 45°，

∴∠PNE = ∠ABP = 135°.

∵∠APE = ∠NPB = 90°，∴∠EPN = ∠APB，

∴△EPN ≌ △APB（ASA），∴EN = BA.

∵BE = EN + BN，∴BE = BA + [2]BP.

綜上所述，線段BA，BP，BE之間的數(shù)量關(guān)系有兩種情況：當(dāng)P在線段BC上時(shí)，AB = [2]BP + BE；當(dāng)P在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，BE = BA + [2]BP.

二、旋轉(zhuǎn)方向不確定

例2 如圖4，△AOB中，OA = 4，OB = 6，AB = 2[7]，將△AOB繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°，則旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)是（ ）.

A. （4，2）或（-4，2）

B. （2[3]，-4）或（-2[3]，4）

C. （-2[3]，2）或（2[3]，-2）

D. （2，-2[3]）或（-2，2[3]）

解析：旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角度已知，旋轉(zhuǎn)方向未知，此時(shí)要分順時(shí)針旋轉(zhuǎn)和逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)兩種情況求解.

過點(diǎn)A作AH⊥OB于H，設(shè)OH = m，則BH = 6 - m.

∵AH2 = OA2 - OH2 = AB2 - BH2，∴42 - m2 = （2[7]）2 - （6 - m）2，

∴m = 2，∴AH = [42-22] = 2[3]，∴A（2，2[3]）.

若將△AOB繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′（2[3]，-2）；若將△AOB繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′（-2[3]，2）. 故選C.

三、旋轉(zhuǎn)角度不確定

例3 在△ABC中，∠BAC = 90°，AB = AC，線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AD（AD不與AC重合），旋轉(zhuǎn)角記為α，∠DAC的平分線AE與射線BD相交于點(diǎn)E，連接EC.

（1）如圖5，當(dāng)α = 20°時(shí)，∠AEB的度數(shù)是 .

（2）如圖6，當(dāng)0° lt; α lt; 90°時(shí)，求證：BD + 2CE = [2]AE.

（3）當(dāng)0° lt; α lt; 180°，AE = 2CE時(shí)，請(qǐng)直接寫出[BDED]的值.

解析：（1）∵線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α至AD，α = 20°，

∴∠BAD = 20°，AB = AD，∴∠ADB = ∠ABD = 80°.

∵∠BAC = 90°，∴∠DAC = 70°.

∵AE平分∠DAC，∴∠DAE = 35°，

∴∠AEB = ∠ADB - ∠DAE = 80° - 35° = 45°. "故填45°.

（2）∵∠BAC = 90°，AB = AC，

∴將△ACE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△ABF的位置，如圖7.

∵AB = AC，AD = AB，∴AD = AC.

∵∠DAE = ∠CAE， AE = AE，∴△ADE ≌ △ACE（SAS），

∴∠DEA = ∠CEA，∠ADE = ∠ACE，DE = CE.

∵AB = AD，∴∠ABD = ∠ADB.

∵∠ADE + ∠ADB = 180°，∴∠ACE + ∠ABD = 180°.

∵∠ABF = ∠ACE，∴∠ABF + ∠ABD = 180°，

即點(diǎn)F，B，E在一條直線上.

∵∠EAF = ∠BAF + ∠BAE = ∠CAE + ∠BAE = ∠BAC = 90°，AE = AF，∴EF = [2]AE.

∵EF = BF + BD + DE = BD + 2CE，∴BD + 2CE = [2]AE.

（3）由于旋轉(zhuǎn)角度不確定，導(dǎo)致滿足“線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AD”時(shí)點(diǎn)D的位置有圖6和圖8兩種情況，需要分類求解.

①當(dāng)0° lt; α lt; 90°時(shí)，如圖7，

由（2）可知BD + 2CE = [2]AE，CE = ED.

∵AE = 2CE，∴BD + 2ED = 2[2]ED，∴[BDED] = 2[2] - 2.

②當(dāng)90° lt; α lt; 180°時(shí)，如圖8，

同（2）可證△ADE ≌ △ACE（SAS），∴DE = CE，∠D = ∠ACE.

∵AB = AC = AD，∴∠ABD = ∠D = ∠ACE.

將△ACE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△ABF的位置，易知點(diǎn)F在BD上，

∴△AEF是等腰直角三角形，∴EF = [2]AE，

∴BD = BF + DE + EF = 2ED + [2]AE.

∵AE = 2CE = 2ED，∴BD = 2ED + 2[2]ED，∴[BDED] = 2[2] + 2.

綜上所述，[BDED]的值為2[2] - 2或2[2] + 2.

分層作業(yè)

難度系數(shù)：★★★ 解題時(shí)間：10分鐘

1. 如圖9中正方形CDEF繞某點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)后與正方形ABCD重合，這樣的點(diǎn)P有多少個(gè)？（答案見第33頁(yè)）

2. 如圖10，在△ABC中，AB = AC，∠BAC = 30°，射線CP繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，交射線AB于點(diǎn)D. 設(shè)∠ACD = α（0° lt; α lt; 75°）. 將△ACD沿CD折疊得△A'CD，射線CA'與射線AB交于點(diǎn)E. 若△A'DE是等腰三角形，求α. （答案見第33頁(yè)）

（作者單位：江蘇省興化市興東初級(jí)中學(xué)）