基于修正雅可比旋量模型的C形閂機構偏差分析及優化

摘 要：使用基于修正雅可比旋量模型的容差分析方法，對引導鎖C形閂機構中C形閂的安裝位置、運動精度進行分析，與3DCS軟件結果進行對比，驗證方法適用性。引用機器人運動學相關理論，將靜態容差分析拓展到動態容差分析，對C形閂在運動過程中的位置精度進行分析，使用基于Taguchi的容差貢獻度、靈敏度對其進行優化分析及容差設計，得出影響較大的因子。

關鍵詞：飛機；修正雅可比旋量模型；引導鎖C形閂機構；容差設計；3DCS；Taguchi

中圖分類號：TP391.9 文獻標志碼：B 文章編號：1671-5276（2024）04-0173-04

Deviation Analysis and Optimization of C-shaped Latch Mechanism Based on Modified Jacobian Screw Model

KONG Weilin¹， GAO Bin²， MA Xizhi¹

（1. National Key Laboratory of Helicopter Transmission Technology， Nanjing University of Aeronautics and Astronautics， Nanjing 210016， China； 2. AVIC Chengdu Aircraft Industrial （Group） Co.， Ltd.， Chengdu 610073， China）

Abstract：By the tolerance analysis method based on the modified Jacobian screw model， analyzes the installation position and motion accuracy of the C-shaped latch in the C-shaped latch mechanism of the guide lock， compares their results with the ones by 3DCS software to verify the applicability of the method. The kinematics theory of the robot is applied to extend the static tolerance analysis to the dynamic tolerance analysis， the position accuracy of the C-shaped latch in the process of motion is analyzed， and the Taguchi based tolerance contribution degree and sensitivity are used to optimize the analysis and tolerance design， obtaining the factors with greater influence.

Keywords：aircraft; modified Jacobian spinor model; guide lock C-bolt mechanism; tolerance design; 3DCS; Taguchi

0 引言

近年來，客運市場增長趨緩，貨運市場飛速發展，航空貨運不斷提高貨機運輸能力，而客改貨飛機的費用比購置全新貨機要低得多，這樣還可以大大減少貨運公司的初期投入。而飛機制造準確度問題涉及設計和制造的各個方面，過去多憑經驗處理，存在的問題很多。目前，大部分飛機容差設計依然采用傳統方法。傳統容差分析是以一維尺寸鏈為基礎，將尺寸鏈進行泰勒級數展開，從而推導出容差分析模型。這種方法主要適用于靜態容差分析。近年來國內外在容差領域取得了一定的成果。LAPERRIERE等^[1]提出了一種計算機輔助公差模型——雅可比旋量模型，該方法結合了為計算機輔助公差設計開發的雅可比矩陣和旋量模型的優點，能夠在統計情況下進行公差分析和公差綜合。DU等^[2]通過建立軌跡修正的單層優化模型和一種新的嵌套雙層優化模型，完成了艙門機構的尺寸公差設計，有效提高了艙門機構目標點實際運行軌跡的精度。葛磊等^[3]通過建立容差仿真分析模型，借用VSA容差分析軟件，分析同類零件在不同定位裝配方式時零件制造誤差對裝配控制目標的影響，得到公差庫文件，為工藝優化提供依據。陳華^[4]將雅可比旋量模型引入到發動機裝配體的公差分析中，建立特征旋量在組合公差限制下的矢量變動及其相互間的約束方程，最終實現了對發動機裝配體準確可靠的三維公差分析。仇念堯^[5]對考慮了孔銷浮動的汽車座椅升降機構以及滑軌總成進行容差分析，并引入多種成本模型，建立了多目標公差優化模型，從而實現了綜合考慮功能性和成本的汽車座椅骨架系統的容差設計。張曉丹^[6]以地鐵扶手機構為例，將Taguchi方法應用到地鐵扶手機構的穩健優化中，同時建立兩種以成本-公差函數為目標的公差穩健優化模型，使用遺傳算法進行求解，將計算結果進行對比，發現基于質量損失模型的公差穩健設計更加有效。

本文使用基于修正雅可比旋量模型^[7]的容差分析方法，對引導鎖C形閂機構中C形閂的安裝位置、精度進行分析。在飛機使用過程中，C形閂的安裝位置以及運動過程中位置的偏差都會給是否能正確上鎖產生影響，因此這里主要研究C形閂在運動過程中的位置偏差。第1節主要說明基于修正雅可比旋量模型的C形閂機構容差模型建立過程及各機構桿件參數。第2節說明具體容差累積函數的求解方法及容差設計。

1 C形閂機構容差模型建立

文獻[8]中寫道，某機構運動鏈即為其圍繞功能要求部位的容差鏈，但是在較為復雜的機構中，單一的運動鏈是沒有辦法兼顧容差累積方向和容差變動方向，所以需要對容差鏈進行分析。{（FE₁，FE₂，…，FE_n）：FR}可以用來表示某一裝配鏈，其中FE₁，FE₂，…，FE_n可以看成是功能元素對，FR看成是功能要求部位，那么容差鏈就是這一裝配鏈。

容差鏈建立的具體過程就是在容差鏈上的每個功能元素對內建立局部方向坐標系（在功能元素對和功能要求部位之間建立聯系，方向上是與全局坐標系保持一致，用來表示容差變動影響）和容差坐標系（建立小位移旋量模型的坐標系，用來表示容差變動方向），解決單一運動鏈無法解決的問題，同時在功能要求部位建立全局坐標系。

以一個曲柄滑塊機構為例，功能元素對應容差坐標系及局部方向坐標系，功能要求部位的全局坐標系建立如圖1所示。

圖1為曲柄滑塊機構的機構運動簡圖，運動副B處存在間隙容差，D處位置精度就是分析的目標。容差鏈為AB—BC—CD—D，在A處建立全局坐標系，在B、C、D處建立容差坐標系和局部方向坐標系，從而完成容差表達和容差傳遞的目標。

在容差坐標內建立的小位移旋量模型需要轉換到局部方向坐標系內，而g_ab=（p_ab，R_ab）可用于表示兩個坐標系之間的轉換，其中p_ab為坐標系的原點在另一個坐標系的位置向量，R_ab為坐標系相對于另一個坐標系的方向矩陣。而對于旋量來說，其坐標系之間的轉換，就需要求解g_ab的伴隨矩陣A_g，ab。

對于所有的功能元素對，因為其中所建立的兩坐標系的原點位置保持不變，所以p∧=0。則某小位移旋量模型的轉換過程可以用公式表示為

局部方向坐標系建立在每一個功能元素對處，同時也解決了功能元素對內6個虛擬節點的方向在全局坐標系內各不相同的問題。因此，可以用齊次坐標系表示第i個局部方向坐標系在全局方向坐標系下的位置和方向：

對于第i個功能元素對的雅可比矩陣，主要是通過各功能元素對內局部方向坐標系在全局坐標系內的位置和方向確定的，具體為

同時，在機構運動的過程中，（dⁿ₀－dⁱ₀）是一直在變化的，這樣構建的雅可比矩陣也會發生變化。假設輸入量為θ，則（dⁿ₀－dⁱ₀）=f_i（θ），進而需要將雅可比矩陣內關于轉動節點的推導進行修正。

那么對于含有n個功能元素對的容差鏈，其全局容差累計函數為

式中：δlδα^T為功能要求部位的小位移旋量，也就是所求的結果；J_η為全局雅可比矩陣；δ_FE1…δ_FEn^T為局部方向坐標系上的小位移旋量。推導出容差累積函數后，還需要進行靈敏度分析，可以使用基于Taguchi的容差貢獻度、靈敏度方法。

Taguchi方法中引入了二次質量損失函數，其預期值表達式為

式中：L（f）為質量損失函數；f為響應函數；k為一常數；μ、σ分別為f的均值和方差；m為目標值。對于式（7），若存在可以將μ調整到目標值的比例因子，則式（7）可以推導為

式（8）為推導出的信噪比公式，而對于不同的設計目標，對信噪比的要求也不一樣，想得到最小的目標值，那么信噪比應取最大，則此時信噪比表達式轉化為

為進一步研究各容差的靈敏度問題，需要對式（6）進行細化，得到通用容差累積關系式。

在穩健設計中，可以對δ_ij的范圍取不同的水平值來進行正交試驗，對其進行信噪比分析，降低噪聲因子的影響。從機構位置偏差角度來說，機構位置偏差應越小越好，所以目標值越小，則位置偏差的信噪比公式采用式（9）。通過對信噪比及其極差的分析，得到對偏差影響較大的因子，從而重新進行容差設計，使得偏差趨于穩定。

圖2為C形閂機構的機構運動簡圖，這里只建立了部分坐標系，具體坐標系建立過程參照圖1，運動副A、B、C、D、E、F處均存在間隙容差，G處位置精度就是此次分析的目標，并且做出以下假設：在運動副中，不存在因接觸碰撞而引起的變形并且全部為線接觸。分析整個機構可得，兩個四桿機構都與C形閂的位置精度有關，研究討論各組件容差及間隙容差對其位置精度的影響。

本節對于孔軸配合選用H8/f7，尺寸長度公差采用6級公差，其中機構各桿件參數、公差以及容差設計值如表1所示，尺寸、間隙容差均為不合格率為0.27%的正態分布。

2 C形閂機構容差模型求解及優化

使用所介紹的修正雅可比旋量模型對C形閂機構進行容差分析，建立容差鏈為AB—BC—CD—DE—EF—FG，確認容差鏈中各功能元素對和功能要求部位，并在相應位置建立容差坐標系、局部方向坐標系、全局方向坐標系。功能要求部位的位置偏差只考慮x和z方向，對兩個方向的數據進行平方和及再開根的處理，得到容差累積函數為：

考慮到引導鎖C形閂機構的作動器行程為120°，那么輸入變量θ從25°變化到-95°，每隔1°進行一次計算。運用蒙特卡洛法，采用數值模擬的方式抽取隨機數，同時按照正態分布規律，抽取隨機數的不合格率設置為0.27%，得到各角度的平均偏差量，并將該機構模型導入3DCS中進行仿真，按照蒙特卡洛抽樣的方式進行抽樣裝配并得出結果，將其與基于修正雅可比旋量模型得出的平均偏差數據進行對比，結果如圖3所示。

由圖3可得，在機構運動過程中，其平均偏差量隨著輸入角度的變化會有不同程度的波動，在前一段行程中，平均偏差量不斷減小，但是在后一段中，有慢慢變大的傾向，可以適當減小運動過程中的偏差，提高運動精度。修正雅可比旋量模型和商業容差軟件所得曲線以及變化趨勢基本相同，雖然有點偏差，但誤差較小，且在可接受范圍之內。因此該方法可用于分析此機構。

對得到的容差累積函數進行靈敏度分析，將優化前后的平均偏差量進行對比，結果如圖4所示。

從圖4可知，使用基于Taguchi的容差貢獻度、靈敏度分析方法，對各桿件容差重新設計以后，目標的平均偏差減小約50%，同時在機構運動過程中波動明顯變小，穩定性提高。在推導出容差累積函數的前提下，使用基于Taguchi的容差貢獻度、靈敏度分析方法可以很好地改善初始容差不足導致的偏差過大的情況。

3 結語

1）使用修正雅可比旋量模型進行容差分析，該方法同樣適用于空間機構，將計算結果與基于一維尺寸鏈理論的商業容差分析軟件進行對比，兩者所得曲線以及變化趨勢基本相同，誤差較小，且在可接受范圍之內。因此該方法可用于分析此機構。

2）以基于修正雅可比旋量模型的容差分析方法為前提，為后面對機構各容差進行靈敏度分析創造了條件，尤其是對運動副間隙容差。

3）采用基于Taguchi的容差貢獻度、靈敏度分析方法對C形閂機構分析及容差設計，優化效果明顯，有效地提高C形閂機構的裝配精度和運動穩健性，目標的平均偏差減小了約50%，穩定性提高。

參考文獻：

[1] LAPERRIERE L， GHIE W， DESROCHERS A. Statistical and deterministic tolerance analysis and synthesis using a unified Jacobian-torsor model[J]. CIRP Annals， 2002， 51（1）： 417-420.

[2] DU J B，HUANG Z T，YANG R Z. Optimization of the motion control mechanism of the hatch door of airliner[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization，2015，51（5）：1173-1186.

[3] 葛磊，陳雙霽. 基于裝配關系的公差庫建立及在容差分析中的應用[J]. 機械制造與自動化，2019，48（5）：67-70.

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[7] 張黎. 面向機構精度穩健性的起落架容差設計[D]. 南京：南京航空航天大學，2020.

[8] LAFOND P，LAPERRIERE L. Jacobian-based modeling of dispersions affecting pre-defined functional requirements of mechanical assemblies[C]//Proceedings of the 1999 IEEE International Symposium on Assembly and Task Planning （ISATP′99） （Cat. No. 99TH8470）. Porto，Portugal：IEEE，2002：20-25.

收稿日期：2022-12-05