多邊形內角和、外角和定理專練

考點梳理

一、內角和與邊數結合

此類題主要是已知邊數求內角和，或者已知內角和求邊數.

例1 （1）一個多邊形的邊數是10，求這個多邊形的內角和；（2）一個多邊形的內角和是1260°，求這個多邊形的邊數；（3）兩個多邊形的邊數之比為1∶2，內角和之比為1∶3，求兩個多邊形的邊數.

解析：（1）已知邊數為10，由多邊形內角和定理可得內角和為（10 - 2） × 180° = 1440°.

（2）已知多邊形的內角和為1260°，設邊數為n，則180°（n - 2） = 1260°，解得n = 9.

（3）根據兩個多邊形邊數之比為1∶2，可設這兩個多邊形的邊數分別為n和2n，因為內角和之比為1∶3，則3 × （n - 2） × 180° = （2n - 2） × 180°，解得n = 4，則2n = 8.因此，這兩個多邊形的邊數分別為4和8.

二、內角和與外角和結合

解此類題的關鍵是明確多邊形的外角和為360°這個隱藏的已知量.

例2 一個多邊形的內角和等于外角和，求這個多邊形的邊數.

解析：由（n - 2） × 180° = 360°，可得邊數n = 4.

三、內角和與方程、不等式等知識結合

例3 一個多邊形除一個內角外，其余內角之和等于1000°，求多邊形的邊數和除去的那個內角的度數.

解析：多邊形每個內角的取值范圍都是大于0°且小于180°，除去的這個內角的度數等于這個多邊形的內角和減去其余內角之和，列不等式為0° lt; （n - 2） × 180° - 1000° lt; 180°，解得n = 8.也可以利用方程（x" - 2）·180° = 1000°，解得 x ≈ 7.5，所以這個多邊形的邊數是8，除去的這個內角為1080° - 1000° = 80°.

四、正多邊形中內角、外角與邊數結合

正多邊形的內角相等、邊相等.常見的考查類型有：已知邊數求內角；已知內角求邊數；已知外角求邊數.

例4 （1）求正十五邊形的每個內角的度數；（2）一個正多邊形的一個內角為144°，求這個正多邊形的邊數和內角和；（3）一個正多邊形的一個外角是45°，求這個正多邊形的邊數和內角和；（4）小明從 A 點向東走10米后，向右轉20°，再向前走10米，如此往復，當小明第一次回到 A 點時，求小明此時走的總路程.

解析：（1）正十五邊形的每個內角為156°.

（2）這個正多邊形的邊數為10，內角和為1440°.

（3）這個正多邊形的邊數為8，內角和為1080°.

（4）已知條件中并沒有直接告訴我們這是一道正多邊形問題，而小明從 A點出發一直走下去，直至第一次回到出發點 A 時停止，所走的路徑為正 n 邊形.由題意得20°n = 360°，則 n = 18.小明所走的總路程是18 × 10 = 180（米）.因此，小明所走的總路程是180米．

分層作業

難度系數：★★★ 解題時間：3分鐘

1.小明從A點向東走x米后，向右轉30°，再向前走x米，如此往復，當小明第一次回到P點時，小明一共走了240米，求x.（答案見本頁）

難度系數：★★★ ★ 解題時間：4分鐘

2.如右圖，將正五邊形紙片[ABCDE]折疊，使點[B]與點[E]重合，折痕為[AM]，展開后，再將紙片折疊，使邊[AB]落在線段[AM]上，點[B]的對應點為點[B]'，折痕為[AF]，求[∠AFB]'的大小．（答案見本頁）

（作者單位：沈陽市第一四五中學）