求解動態平衡問題常用的五種方法

所謂力學動態平衡問題，是指通過控制某些物理量，使物體的狀態發生緩慢變化的平衡問題，題干中往往出現“逐漸”“緩慢”“勻速”等字眼．高中階段出現最多的是三力平衡問題．動態平衡問題是高中物理平衡問題中的一個重難點，筆者通過下面五種解法幫助同學們快速找到解題思路，掌握好知識．

１ 解析法

對研究對象進行受力分析，畫出其受力示意圖，再根據物體的平衡條件，得到因變量與自變量的關系表達式（通常要用到三角函數），最后根據自變量的變化確定因變量的變化．

例１ 如圖１所示，輕質不可伸長的晾衣繩兩端分別固定在豎直桿M 、N 上的a、b 兩點，懸掛衣服的衣架掛鉤是光滑的，掛于繩上處于靜止狀態，如果只人為改變一個條件，當衣架靜止時，下列說法正確的是（ ）．

A．繩的右端上移到b′，繩子拉力變小

B．將桿N 向右移一些，繩子拉力變大

C．若換同材質稍長的晾衣繩，繩子拉力變小

D．若換掛質量更小的衣服，則衣架懸掛點右移

解析

如圖２所示，設繩子間的夾角為２α，兩桿間距離為d，繩子總長為L，左右兩側繩長分別為L２、L１，繩的拉力大小為FT，則L２sinα＋L１sinα＝d，sinα＝ d/L１＋L２＝d/L ．

在豎直方向根據平衡條件有２FTcosα＝mg，繩的右端上移到b′，d 和L 不變，故α 角不變，拉力FT不變，故A 錯誤．將桿N 向右移一些，d 變大，α 角變大，cosα 變小，拉力FT 變大，故B正確．若換同材質稍長的晾衣繩，L 增大，α 角減小，cosα 變大，拉力FT變小，故C正確．若換掛質量更小的衣服，m 變小，α 角不變，懸掛點不變，故D錯誤．本題正確選項為B、C．

點評

該類“晾衣繩”問題中懸掛衣服的衣架掛鉤是光滑的，可以在晾衣繩上自由移動，這是“活結”問題，同時輕質晾衣繩的重力可以忽略不計，晾衣繩的拉力處處相等，影響輕繩拉力大小的因素是輕繩兩端點間的水平距離d 和兩端點間輕繩的總長度L 及所懸掛衣服的重力大小．

２ 圖解法

當物體在三個不平行的共點力作用下平衡時，若一個力是恒力、另一個力方向不變、第三個力大小和方向都變化，或者一個力是恒力、另一個力大小不變、第三個力大小和方向都變化，這三個力可組成一首尾相接的三角形，再通過有向線段的變化來分析力的大小和方向的變化．

例２ 如圖３ 所示，在“研究共點力的合成”實驗中，彈簧測力計A 、B 通過兩細繩把橡皮條上的結點拉到位置O，此時兩細繩間夾角小于９０°．現保持彈簧測力計A 的示數不變而改變其方向使α 角變小，為使結點仍在位置O，調整彈簧測力計B 的拉力及β 角的大小，則下列調整方法不可行的是（ ）．

A．增大B 的拉力，增大β 角

B．增大B 的拉力，β 角不變

C．增大B 的拉力，減小β 角

D．B 的拉力大小不變，增大β 角

解析

結點位置O 受橡皮條的拉力F 及A 、B 兩彈簧測力計的拉力FA 、FB 而平衡，將這三個共點力組成一個首尾相接的三角形．由于結點仍在位置O，則橡皮條的拉力F 不變．如圖４所示，以O 為圓心，FA 大小為半徑作圓，由題知α 角變小，則拉力FB的箭頭端沿圓周順時針轉動，可見FB 的大小一定增大，β 角的大小可以變小、不變或變大，綜上所述可知A、B、C可行，D不可行，本題選不可行的，故選D．

３ 相似三角形法

在三力平衡問題中，如果有一個力是恒力，另外兩個力方向都變化，且題目給出了空間幾何關系，多數情況下力的矢量三角形與空間幾何三角形相似，可利用相似三角形對應邊成比例求解．

例３ 如圖５所示，在豎直平面內固定一光滑的半圓環，圓心為O、半徑為R，OA 為半圓環的豎直半徑，AB 為與OA 在同一直線上的光滑固定桿，半圓環上套有一小球a，桿AB 上套有另一小球b．兩小球之間連接一輕彈簧，初始時小球a 在距圓環A 點右側不遠處的P 點，小球b 固定于桿AB 上的Q 點，兩小球間距離為R．現用外力使小球b 沿桿AB 緩慢向上移動一段距離，但未到達A 點．在移動過程中彈簧始終在彈性限度內且在一條直線上，兩小球均可視為質點，則下列說法正確的是（ ）．

A．初始時彈簧彈力大于半圓環對小球a 的彈力

B．初始時彈簧彈力大于小球a 的重力

C．小球b 沿桿緩慢向上移動過程中，環對小球a的支持力先增大后減小

D．小球b 沿桿緩慢向上移動過程中，彈簧彈力增大

解析

對小球a 進行受力分析，小球a 受重力G、半圓環對小球a 的支持力FN和彈簧彈力F，三力平移后構成一首尾相連的三角形，如圖６所示，力的三角形與三角形OPQ 相似，根據三角形相似有G/OQ ＝FN/OP ＝ F/PQ ，初始時PQ ＝OP＝R，OQ＞R，所以G＞FN＝F，選項A、B錯誤．小球b 緩慢上移過程中，小球a 處于動態平衡狀態，隨著小球b 上移，OQ 減小，OP 不變，重力G 不變，半圓環對小球的支持力FN 增大，選項C錯誤．設彈簧的原長為L，彈簧的形變量為x，結合胡克定律有F ＝kx，則G/OQ ＝F/PQ ＝ kx/L－x ＝ k/L/x－１，OQ 減小，重力G 不變，L 不變，則彈簧形變量x 增大，彈簧彈力F 增大，選項D正確，故選D．

點評

若題目中沒有特殊夾角也沒有給出力的夾角具體數值，但邊長的信息較多時，可以尋找相應的相似三角形，將力與幾何長度聯系到一起建立等式方程，從而快速解決一些看似不可解的問題．

４ 拉密定理法（正弦定理法）

如圖７所示，如果物體在三個共點力作用下處于平衡狀態，則力的大小與另外兩個力的夾角的正弦成正比，即F１/sinα＝ F２/sinβ＝ F３/sinγ，其實質就是正弦定理的變形．

例４ 如圖８所示，柔軟輕繩兩端固定在一硬質輕桿上的A 、B 兩點，在輕繩中點O 系一重物，OB 段繩子水平，OA 段繩子傾斜．現將輕桿在豎直面內順時針緩慢轉動直到OB 段繩子豎直，在此過程中，繩OA 、OB 的張力FA 和FB 的大小變化情況是（ ）．

A．FA 先減小后增大，FB 一直減小

B．FA 先減小后增大，FB 先增大后減小

C．FA 一直減小，FB 一直減小

D．FA 一直減小，FB 先增大后減小

解析

如圖９所示，先畫出初位置繩上O 點受力示意圖，并依次標記相鄰兩力之間的夾角．再畫出末位置OB 轉到豎直位置時O 點受力示意圖，如圖１０所示．由圖分析可知，該過程夾角α 不變，夾角β 由鈍角緩慢變為銳角，故sinβ 先增大后減小．夾角γ 由直角緩慢變為１８０°，則sinγ 逐漸減小．由拉密定理有mg/sinα＝ FA/sinγ，可得繩OA 上的張力FA 逐漸減小．同理由mg/sinα＝ FB/sinβ，可得繩OB 上的張力FB 先增大后減小．故選項D正確．

點評

利用拉密定理解決問題時，我們要選好研究對象，依次畫好其初末位置及臨界位置的受力示意圖，標記好相鄰兩力之間的夾角，通過初末位置及臨界位置分析好各力夾角大小的變化，再根據拉密定理及三角函數知識作出解答．

５ 輔助圓法

在三力動態平衡的問題中，如果有一個力是恒力，其余兩個力的夾角不變，我們可以畫出這三個力的矢量三角形的外接圓，不變力為一固定弦，該固定弦所對的圓周角大小始終不變，改變一力的方向，則該力及另一力大小、方向變化情況可由圖作出判斷．

例５ 如圖１１所示，置于水平地面上的豎直圓形金屬環內用三根細繩OA 、OB、OC懸掛一物體，其可看作質點．OB 繩處于水平方向，∠AOB＝１２０°，設OA 、OB 繩的拉力大小為F１、F２，現將金屬圓環在豎直面內緩慢逆時針轉過９０°，在此過程中（ ）．

A．F２ 一直增大 B．F１ 一直增大

C．F２ 先增大后減小 D．F１ 先增大后減小

解析

對圖中O 點受力分析，并由平衡條件畫出O 點初位置時所受三個力的矢量三角形的外接圓，如圖１２所示，由圖可知，將金屬圓環在豎直面內緩慢逆時針轉過９０°，繩OC 的拉力大小和方向不變，拉力F１、F２ 的連接處夾角不變，且連接端沿圓周逆時針緩慢轉動，轉動過程F２ 先增大后減小，F１ 一直減小，故選C．

本題若∠AOB ＝９０°，則重力的示意圖應為過外接圓的直徑，若∠AOB 小于９０°，則重力的示意圖應畫在圓心左側．輔助圓法有利于提升學生運用數學知識解答物理問題的能力和綜合分析問題的能力．能用輔助圓法解答的題目都可以用正弦定理解答．

有關動態平衡問題的題目和數學聯系緊密，能有效培養學生運用數學工具解決物理問題的能力．這類題目往往有多種方法能夠解答．我們要認真審題，做好受力分析，找出不變量，分析好各力的變化特點，選擇最適合的解題方法．

（完）