運用矢量圖求解高中物理共點力平衡問題

在高中物理中，共點力平衡問題是一個重要的內容．學生需要理解力的平衡條件，以及如何通過受力分析來解決這類問題．矢量圖作為一種直觀而有效的工具，可以幫助學生更清晰地理解力的合成與分解，從而更好地解決共點力平衡問題，下面分類討論．

１ 一恒一向定（一力不變，一力方向不變）

當一個力大小和方向均不發生變化，一個力方向不變、大小未知，另一個力大小和方向均未知的情況下，可以運用矢量三角形，完成求解過程．求解步驟：１）明確研究對象;２）進行受力分析;３）將三個力的首尾進行連接，形成閉合矢量三角形;４）分析變化的力和不變的力，進行受力分析．

例１ 在沒有起重機的情況下，工人要將油桶搬運上汽車，常常用如圖１所示的方法．已知油桶重力大小為G，斜面的傾角為θ．當工人對油桶施加方向不同的推力F 時，油桶始終處于勻速運動狀態．假設斜面與油桶的接觸面光滑．在推力F 由水平方向逐漸變為豎直方向的過程中，以下關于油桶受力的說法正確的是（ ）．

A．若力F 沿水平方向，F 的大小為Gsinθ

B．若力F 沿水平方向，斜面對油桶的支持力大小為Gcosθ

C．F 由水平方向逐漸變為豎直方向的過程中，斜面對油桶的支持力逐漸變大

D．F 由水平方向逐漸變為豎直方向的過程中，推力F 的最小值為Gsinθ

解析

油桶的受力分析如圖２所示，當力F 沿水平方向時，由于油箱為勻速運動狀態，因此受力平衡，則水平方向和豎直方向上有F ＝FNsinθ，FNcosθ＝G，解得F＝Gtanθ，FN＝ G/cosθ，故A、B錯誤．在力F 由水平方向逐漸變為豎直方向的過程中，支持力逐漸變小，且推力最小時，與支持力FN 垂直，即沿斜面方向，此時為Fmin＝Gsinθ．故選項C錯誤，D正確．故選D．

２ 一恒兩向變（一力不變，兩力方向都變）

當一個力大小和方向均不發生變化，其余兩個力大小和方向均未知時，僅依靠矢量三角形，不能完成求解過程，還需結合幾何三角形．求解步驟：１）明確研究對象;２）進行受力分析;３）將三個力首尾連接，形成閉合矢量三角形;４）找出相似三角形;５）找到力的矢量三角形和相似三角形的比例關系;６）通過分析幾何三角形邊長的變化情況，結合比例關系式，確定力的變化情況．

例２ 半徑為R 的半球形物體固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑輪，滑輪到球面B 的距離為h，輕繩的一端系一小球，靠放在半球上的A 點，另一端繞過定滑輪后用力拉住，使小球靜止，如圖３所示，現緩慢地拉繩，在使小球由A 到B的過程中，半球對小球的支持力FN 和繩對小球的拉力FT 的大小變化的情況是（ ）．

A．FN 不變，FT 變小

B．FN 不變，FT 先變大后變小

C．FN 變小，FT 先變小后變大

D．FN 變大，FT 變小

解析

以小球為研究對象，分析小球受力情況，其受到重力G、細線的拉力FT 和半球面的支持力FN 三個力的共同作用，受力分析如圖４所示．

當緩慢拉繩移動小球時，重力的大小和方向均不發生變化，另外兩個力的方向一直在變化，大小未知，但此時小球一直處于平衡狀態，有FN 和FT 的合力F＝G．由△A′C′O′∽△ACO，可得FN＝（AO/CO）G，FT＝（CA/CO）G．在緩慢移動過程中，AO、CO 的長度不變，CA的長度變短，因此小球所受的支持力大小不發生變化，所受的拉力FT 變小．答案為A．

３ 一恒兩向夾角定（一力不變，另兩力夾角不變）

當出現一個力大小和方向均不發生變化，其余兩個力的方向夾角不變，但大小和方向均未知的情況時，僅依靠矢量三角形，不能完成求解過程，還需結合圓的相關知識進行分析．求解步驟：１）明確研究對象;２）進行受力分析;３）將三個力的首尾連接，形成閉合矢量三角形;４）構造矢量三角形的外接圓，此時三個力對應三個弦長;５）結合題意，分析弦長的變化情況，確定力的變化情況．

例３ ON 為一段細繩，其一端被固定在O 點，另一端用手拉住．繩子的中間M 點處，懸掛著一個重物，將該細繩分成了OM 和MN 兩段．初始狀態下，OM 處于豎直方向，且此時MN 完全被拉直，兩段繩子之間的夾角為α（α＞π/２）．某時刻，將該重物緩慢提起，在提起的過程中夾角不發生變化，則當OM 從豎直變化至水平的過程中（ ）．

A．細繩MN 上的拉力的變化情況是一直增大

B．細繩MN 上的拉力的變化情況是先增大后減小

C．細繩OM 上的拉力的變化情況是一直增大

D．細繩OM 上的拉力的變化情況是一直減小

解析

對重物受力分析，如圖６所示．由于保持夾角α（α＞π/２）不變，即保持α 的補角θ 不變，且θ為銳角，作矢量三角形外接圓，讓重力線段的兩端點和繩子MN 拉力的右端點在圓上，由于θ 角是以重力為弦的圓周角．在力的矢量三角形MPQ 中，QM 等于重力大小且方向始終豎直，頂點P 由P 點經過圓周到R 點的過程，就是OM 由豎直被拉到水平的過程，可以看出，MN 上的拉力從０逐漸增大到沿圓的直徑方向，故MN上的拉力逐漸增大;矢量三角形MPQ 的PQ 邊先逐漸增大到直徑再逐漸減小到RQ，故OM 上的拉力先增大再減小，故C、D錯誤．故選A．

４ 四力平衡

當出現四力平衡時，關鍵在于結合題意，將四力變成三力．

例４ 某飛機沿水平方向超音速勻速巡航時升阻比（垂直機身向上的升力和平行機身向后的阻力之比）為根號下１５，飛機的重力為G，能使飛機實現水平勻速巡航模式的最小推力是（ ）．

A．G B．G/根號下１５

C．G/１６ D．G/４

解析

飛機勻速巡航，受到重力、升力、阻力和推力四個力的作用，其中垂直機身向上的升力和平行機身向后的阻力之比恒定，即升力和阻力的合力方向一定．這樣飛機受到的四個力變成了三個力的作用———重力的大小方向一定、升力和阻力的合力方向一定、推力的方向和大小不同，三個力將構成一個動態的矢量三角形，如圖７所示．

由圖７可得，F推min＝Gsinθ＝G/４．故選D．

矢量圖法具有簡單、直觀的特點，所以在物理解題中有著廣泛的應用．用該方法求解共點力平衡問題時應首先確定哪個力為恒力，哪個力的方向不變，另一個力變化時的角度增、減關系，從而利用三角形法則進行動態分析．

（完）