基于知識圖譜的“223”實踐教學模式在離散數學課程中的應用

摘要：離散數學是計算機專業的一門必修課，其理論知識廣泛應用于計算機相關領域工程問題的建模與分析。為解決教學過程中“重理論，輕實踐”、知識點瑣碎等問題，結合團隊多年的教學經驗，提出基于知識圖譜的“223”實踐教學模式，給出了詳盡的教學案例。實踐表明，這樣的改革不但提升了學生學習離散數學的興趣，而且提高了自主學習和程序設計與實現的能力。

關鍵詞：離散數學；知識圖譜；知識點；實踐教學模式；選派問題

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2024）22-0137-04

開放科學（資源服務）標識碼（OSID）

0 引言

離散數學是計算機及其相關專業的一門必修課，也是2021年底教育部啟動實施的計算機領域本科教育教學改革試點工作計劃（簡稱“101 計劃”） 12門核心課程之一，涵蓋數理邏輯、集合論、圖論等多個分支，廣泛應用于計算機相關領域工程問題的建模與分析。針對“定義-定理-證明-習題”的傳統理論授課方式，筆者結合自身教學經驗，對課程已做出一些改革與實踐[1-2]，但當前的教學方式仍存在不足之處，主要表現在：①知識點瑣碎，缺乏整合及有效的呈現方式。“學習通”中的課程資源按照傳統的章節組織，學生難以將零散的知識點有機地結合起來，形成一個完整的知識框架和全局性的認知，學習效果不佳。②教學內容側重理論知識傳授，導致多數學生認為課程枯燥乏味、缺乏實用性。“能夠使用離散數學基本知識對計算機科學領域的有關離散量的實際問題建立模型并設計解決方案”這個課程目標的達成度不理想。為解決上述問題，迫切需要將現有的課程資源進行重構、整合、關聯，優化知識表達，讓知識“看得見”“看得全”“活起來”。

知識圖譜是結構化的語義知識庫，用于以符號形式描述物理世界中的概念及其相互關系，其基本組成單位是“實體-關系-實體”三元組，以及實體及其相關屬性——值對，實體間通過關系相互聯結，構成網狀的知識結構[3]。課程知識圖譜采用圖示的方法，建立課程內各知識點之間的關系，并且把每個知識點關聯多種學習資源包括多媒體、圖、文、聲、習題、測試、超鏈接等，可以實現知識點的充分細化和有效重組，既能改善教學效果，又有助于學生對課程的深度理解。

本文針對現有教學的特點及不足，借助知識圖譜相關技術，在本校范圍內首次將編程作業引入離散數學課，以應用離散數學知識解決實際問題為導向，提出“223”實踐教學模式，助力課程建設。

1 基于知識圖譜的“223”實踐教學模式案例

1.1 教學準備

依托超星泛雅平臺，從現有的課程章節中導入知識點并輔以人工調整的方式抽取課程知識點，建立知識點之間的關系。之后，將知識點與多模態教學資源進行關聯，從而完成離散數學課程知識圖譜的構建。

本校相關專業的離散數學課開設在大一第二學期，學生在第一學期學過C++程序設計，有一定的編程基礎但應用能力略顯不足。此外，課程總學時數為48，均為理論授課，無實驗學時，因此編程實踐只能在課余完成。綜合以上情況，依托小程序在線評測系統（OJ），精選出4個項目：①利用邏輯推理知識解決選派問題；②等價關系應用于分配軟件開發模塊；③應用拓撲排序編排先修課程；④用圖論中的節點度數序列解決POJ中的“青蛙的鄰居”題目。

1.2 教學模式設計

課程實踐教學改革采用“223”模式，即“線上/線下”2種教學方式相結合、“超星泛雅+OJ系統”2個平臺相輔相成和“課前-課中-課后”3個教學階段互為補充。具體流程如圖1所示。

1.3 教學實施

以第一次實踐項目為例。問題描述：A、B、C、D四個人中要派兩個人出差，按下述三個條件有幾種派法？如何派？①若A去，則C和D中要去1人。②B和C不能都去。③若C去，則D要留下。

1） 課前預學。課前，教師將已經完成的課程知識圖譜、實踐項目的具體描述、項目涉及的最核心知識點等形成自測題發布到泛雅平臺。學生在圖譜中搜索，得到與項目對應的部分知識圖譜，由圖譜可知前置知識點的掌握情況。如果不理想，按照泛雅平臺提供的“學習路徑”，選擇相應的關聯資源進行鞏固復習，然后完成自測題，同時記錄暫時未解決的疑問。“選派問題”的課前預習內容如圖2所示。

學生登錄泛雅平臺進入課程知識圖譜后，在搜索欄輸入“主范式的應用”可以看到圖3所示的局部知識圖譜。由該圖可知，“主范式的應用”前置知識點包括：①命題連接詞；②命題符號化；③真值表；④主范式的求法。其關聯知識點有：①命題公式的分類；②等價公式證明。

在圖3中選擇某個知識點，可以查看“學習路徑”，了解該知識點的掌握情況。圖4所示為某生的“學習路徑”，可以清晰地看出該生各個知識點的掌握率。如果想對某個知識點進行復習，在圖3中選擇該知識點，即可找到關聯的學習資源，包括“章節測驗”“視頻”“課件”等，有針對性地進行鞏固學習。所有的前置知識點都掌握后，完成圖2所示的自測題，至此課前預學結束。

2） 課中研學1。這個環節的教學活動主要在線下課堂進行。教師從知識圖譜中精準掌握了學生的預習情況后，可以聚焦錯誤率高的問題，而非逐一詳細講解，從而大大節省寶貴的課堂時間。

對選派問題，從知識圖譜中教師得到3個自測題目的正確率統計，第一題為61%，第二題為95%，第三題為94%。顯然，第一題的錯誤率最高，進一步查看統計詳情，得到圖5所示餅圖。可以看出，有11.81%的學生選擇A選項，即將“C和D中要去1人”翻譯成了“析取”，究其原因是混淆了“可兼或”與“排斥或”。進行重點分析，這句話的意思是“C和D要去，但只能去1個，不包括兩個人都去的情況”，所以應該是“排斥或”。表示“排斥或”的有兩個選項，即C、D選項正確。

接下來，講解本題的建模過程。題目的3個條件分別符號化為：①A→（C∧?D）∨（?C∧D）②?（B∧C）③C→?D。滿足三個條件的選派方案可以寫成命題公式G?（A→（C∧?D）∨（?C∧D））∧?（B∧C）∧（C→?D）。求出G的主析取范式即可分析出問題的解。

之后，引導學生思考：真值表法和等值演算法哪個更適合編程求主析取范式？通過討論，大家一致認為真值表法較合適。如何構造公式G的真值表？需要列出4個變元A、B、C、D的真值組合情況，然后構造子公式的真值，直到列出公式G的真值表。一番熱烈交流之后，大多數同意采用四重循環（A～D分別從0循環到1）的方式來實現該功能。

最后，教師在OJ系統發布編程作業。如圖6所示。

3） 課后拓學1。學生課后利用業余時間在OJ系統選擇自己熟悉的編程語言寫代碼、提交，系統自動測評、反饋錯誤信息。學生找出代碼的bug進行修改，直到程序被系統接受。教師在OJ系統后臺查看學生提交的代碼，及時發現問題并給予指導。此次實踐項目，幫助學生解決代碼中的48個答案錯誤、13個運行錯誤、66個編譯錯誤及1個格式錯誤。作業結束時，統計數據表明：共提交343次，正確105次，有些同學嘗試用不同的方法來解決問題，故進行了多次提交。

4） 課中研學2。編程作業結束后，課堂上抽出大約10分鐘的時間讓學生分享自己的解決方案，教師和其他學生進行點評。兩份代碼片段如圖7所示。“能想到用‘移位’和‘按位與’運算列出4個變元的16種真值組合情況，妙啊！”有的同學感慨道。還有的同學表示第一次看到bitset的用法，準備用在自己的程序中。之后，教師結合本次實踐過程總結利用離散數學知識解決實際問題的步驟：自然語言描述的問題→離散數學語言描述（建模）→編程語言描述（解決問題）。

最后，老師在OJ系統布置用同類模型可以解決的其他編程題目：“甲、乙、丙三人對一塊礦石進行判斷，每人判斷兩次。甲認為這塊礦石不是鐵，也不是銅；乙認為它不是鐵，是錫；丙認為它不是錫，是鐵。已知老工人兩次判斷都對，普通隊員兩次判斷一對一錯，實習生兩次判斷都錯。試問此礦石是什么礦？甲、乙、丙三人各是什么身份？[4]”

5） 課后拓學2。學生聽取教師的總結和同學們的分享后，可以選擇完善之前的程序，也可以對本次實踐過程進行歸納總結形成實驗報告、繪制自己專屬的知識圖譜，還可以完成OJ上擴展的編程題目。教師則可針對學生提交的成果進行個性化指導。

“選派問題”經過課堂第二輪交流后，有10名同學完善之前的代碼，代碼行數由最多的95行降到48行；20名同學在“學習通”提交實驗報告；36人完成OJ系統的選做拓展作業。還有2名同學在圖3的基礎上繪制了自己的“跨課”圖譜，如圖8、圖9所示。

1.4 實施效果

課后收到學生的一些反饋，如“知識圖譜很有趣，不但能一目了然知識點之間的關系，還能制作自己的圖譜。隨著課程的進行，打算繪制更多的專屬于自己的知識圖譜。”還有一些同學表達在離散數學課中引入實踐環節的看法：“編程作業能將我們學習的C++知識和離散數學知識成功聯系到一起，更加開闊思維，對C++有更深一層的認識。”對教學模式，有的同學認為：“老師在編程作業開始之前的提示，對我打開思路非常重要。”“觀摩同學們的代碼讓我了解到很多不一樣的實現方法，拓寬了視野。”

這些主觀評價在一定程度上反映了改革的成效，但為了更好地了解“223”模式的教學效果，實踐項目結束后，對筆者執教的計算機科學與技術專業2023級82名學生，從7個方面進行了問卷調查，詳細結果見表1。

從調查結果可以看出，有90.24%的學生贊同在離散數學課中引入編程環節，能激發自己對這兩門課程的學習興趣。對OJ系統的認可度更是達到了92.68%。認為知識圖譜在課前預學階段有幫助的約占89%，但課后打算用知識圖譜做總結的不足40%，需加大課程知識圖譜的推廣。對于新的教學模式，91.46%的學生表示非常喜歡或喜歡，只有6.10% 的學生持不確定態度，沒有非常不喜歡的學生。總體來說，學生對這種新的教學模式滿意度較高。

2 結束語

“223”實踐教學模式以編程求解離散數學問題為導向，發揮知識圖譜的可視化、問題精準定位之優勢，借助OJ系統便捷高效的特點，不僅提高了學生學習離散數學的興趣，而且拓寬了程序設計的廣度，培養了學生的數學思維能力，將原來抽象的理論通過建立模型、編程求解，讓知識以親眼可見的方式“用起來”“活起來”。

參考文獻：

[1] 柴玉梅.融入課程思政的離散數學課教學設計[J].電腦知識與技術，2020，16（34）：133-134，152.

[2] 柴玉梅.一種針對大一學生的離散數學教改方案[J].電腦知識與技術，2020，16（26）：129-130.

[3] 劉嶠，李楊，段宏，等.知識圖譜構建技術綜述[J].計算機研究與發展，2016，53（3）：582-600.

[4] 賁可榮，袁景凌， 謝茜.離散數學[M].3版.北京：清華大學出版社，2021：50-51.

[5] 杜麗美，張劍妹.基于OBE和PBL融合的離散數學教學改革[J].計算機教育，2023（5）：149-154.

[6] 白蓮花，賈永旺.基于“兩個世界轉換框架”的課內探究型教學案例設計[J].計算機教育，2021（4）：147-150.

【通聯編輯：王 力】