溯源：在體驗中形成數學眼光

【摘 要】溯源式數學體驗教學是初中數學體驗教學的模式之一，旨在較好地促進數學概念學習，幫助學生在體驗中形成數學的眼光。基于對溯源式體驗教學內涵和要義的理解，教師可以向“生活源”“歷史源”和“學科源”進行追溯，在生活情境聯系、文化歷史聯系、學科內外知識聯系中開展初中數學概念教學，培養學生數學的眼光。

【關鍵詞】初中數學；數學體驗教學；溯源；教學模式；數學眼光

【中圖分類號】G633.6 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2024）27-0012-05

【作者簡介】1.諸士金，南京市鼓樓區教師發展中心（南京，210009）初中數學教研員，高級教師，南京市初中數學學科帶頭人；2.賈蕓蕓，南京師范大學附屬中學行知分校（南京，210003）教師，高級教師；3.朱加佳，南京市第五十中學（南京，210003）教師，二級教師。

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）明確指出，教師應該通過豐富的教學方式，讓學生在實踐、探究、體驗、反思、合作、交流等學習過程中感悟基本思想、積累基本活動經驗，發揮每一種教學方式的育人價值，促進學生核心素養發展。［1］86初中數學體驗的教學實踐需要重視學習者的具身體驗，設計體現數學本質，符合學生認知規律的體驗活動。因此，教師可以圍繞數學基本思想“抽象、推理、模型”，進行初中數學體驗教學模式研究。本文從數學概念的學習出發，探尋以“溯源”為體驗意義的數學體驗教學模式的框架構建和實施策略。

一、溯源的內涵和要義

1.溯源的內涵

溯源，意思是往上游尋找發源地，比喻探求本源。數學概念具有抽象性，概念學習需要學生利用已有知識對新知識的特征進行歸納概括、溯源求本，發現研究對象的主要特征和本質屬性。從體驗的意義出發，初中數學體驗具有情境性、實踐性、探究性、反思性、親歷性和情感性等特征。因此，初中數學體驗教學中的“溯源”是指在初中數學概念學習中，教師通過具體的情境和具身的活動，引導學生在追溯數學對象的背景和源頭的過程中，經歷對數學對象的抽象、歸納、表征和辨析應用的過程，從中習得數學概念。

2.溯源的要義

溯源就是何成其源，側重體驗數學概念的產生和形成過程。溯源一方面表現為對數學文化、歷史與生活背景追根溯源，經歷概念的再發現過程，體驗數學概念逐步形成、發展的演繹過程；另一方面可以理解為對數學學科知識之間以及數學與其他學科之間的聯系進行追根溯源，了解研究對象的背景、源頭和關系，從知識、方法的關聯上認識數學概念所依存的結構網。因此，溯源的要義主要體現在生活源、歷史源和學科源上，表現在概念學習的情境創設、活動體驗、歸納定義、辨析重構等方面。

追溯生活源的概念教學旨在通過情境創設、活動體驗，引導學生在生活實踐中發現基本的數學研究對象，以及事物之間的聯系與規律，了解數學對象研究的必要性及其現實背景，發展學生的抽象能力、幾何直觀和空間觀念等核心素養。

追溯歷史源的概念教學旨在通過讓學生收集歷史素材，經歷數學概念的再發現和逐步完善的表征過程；通過文化體驗培養學生像數學家一樣思考數學概念，從而促進學生逐步養成從數學角度觀察現實世界的意識與習慣。

追溯學科源的概念教學旨在通過追溯學科內部的知識源、方法源，以及與其他學科知識、方法的聯系，讓學生了解研究對象在數學內部與其他知識之間的關系，以及在不同學段、學科的定義與表征方式，促進學生在其他學科的背景中發現基本的數學研究對象，提出有意義的數學問題，進行數學探究，發展好奇心、想象力和創新意識。

情境創設是溯源式體驗教學的起點，適合的情境有利于調動學生已有的知識和經驗，幫助學生在已有知識（經驗）與未知概念之間建立聯系，并通過建立的概念聯系對新數學概念進行定義、加工和修正。

體驗活動是溯源式體驗教學的要領，學生通過不斷感知經驗的活動過程，從碎片化的表象觀察到本質屬性的發現，從對本質屬性的感知到數學對象的符號表征，逐步積累經驗，慢慢形成從個別地看到重復地看，從想象地看到抽象地看，再到一般地看的數學眼光。

通過溯源式體驗活動獲得對數學對象的本質屬性的初步認知后，如何形成數學概念，離不開歸納定義和辨析重構。歸納定義的過程一方面是逐步建構新知的過程，另一方面是在已有經驗和認知基礎上反復辨析、剝離表象，逐步獲得對數學對象本質認識的過程。而辨析重構則是在初步獲得數學概念的本質屬性的基礎上對其進行定義和表征的思辨活動，是深度體驗學習的標志。概括起來就是在已有的數學概念的形成發展歷史基礎上，逐步認同這些數學對象的概念定義方式，并在深度體驗的過程中，辨析區分一些非本質屬性，從而獲得更適合自己理解的概念結構和表征方式。然后，學生將這些概念的表征方式納入到已有的知識體系中來，重構自己的數學知識體系，形成對這一數學對象的再認識和自我表征的方式。

二、溯源對形成數學眼光的意義

數學為人們提供了一種認識與探究現實世界的方式。通過數學的眼光，能夠抽象出數學的研究對象及其屬性，形成概念、關系與結構。對于具有系統性、嚴密性和抽象性的數學概念的學習，在初中階段通過溯源式的體驗活動學習可以獲得更好的認知效果。這主要表現為溯源式的體驗學習更適合初中學生的心理特點和認知規律，更有利于學生形成和發展數學的眼光。

在情境體驗與現實聯系中，溯源通過情境創設，引導學生觀察和體驗現實世界中的基本數量關系與空間形式，從而讓學生在初步獲得數學對象屬性的過程中，建立起數學與現實世界的聯系，形成直觀理解現實的數學眼光。

在追溯歷史與文化體驗中，通過收集和學習與數學概念相關的歷史發展素材，學生不僅能夠理解數學概念的起源和演變，還能形成像數學家一樣的研究思維，增強文化自信和民族自豪感，形成縱向聯系文化歷史的數學眼光。

在與其他學科的自覺聯系中，溯源強調數學與其他學科之間的聯系，促進學生在不同的學科中發現數學的應用點，提出有意義的數學問題，進行數學探究，形成橫向聯系其他學科的數學眼光。

在知識聯系與多維體驗中，溯源活動幫助學生從具體情境中抽象出數學概念，并通過歸納定義和辨析重構，逐步形成對數學對象的抽象理解。概念的形成過程中，需要學生能自覺聯系相關數學知識，經歷動靜結合、由此及彼的多維體驗，形成發現數學知識間邏輯關系的數學眼光。

可見，溯源式數學體驗教學主要是通過追溯研究對象的生活源、歷史源和學科源，讓學生經歷情境創設、對比理解、歷史追溯、歸納定義和辨析重構等過程。過程中，教師引導學生觀察現實世界中的基本數量關系與空間形式，使其在初步感知數學對象屬性的基礎上，對數學概念從源頭到關系、從定義到表征進行系統認識，然后形成自我理解，建構出一個較為準確且具有動態生長特質的數學概念。

三、以“溯源”為體驗意義的數學體驗教學模式的框架

一個數學概念總是要經過很長時間的自然發展，數學家才會給予嚴格的定義。初中階段的數學概念學習實質上是一種再發現、再創造過程，這種再發現和再創造既要經歷概念的形成過程，又要經歷概念結構的擴展過程。結合數學體驗教學的一般模式，指向數學概念學習的“溯源式”初中數學體驗教學模式的框架在實踐中逐步形成（見圖1）。

這個框架的構建是對“初步知識梳理—收集歷史素材—形成自我理解的對比—形成新的理解”這一模式的具體表述。其中，更為關注數學對象的抽象獲得，關注數學概念的歷史追溯和從已有到更新的辨析重構過程。

四、以“溯源”為體驗意義的數學體驗教學的實施策略

構建初中數學體驗教學模式是為了更好地幫助學生進行知識體系的建構，指向數學概念學習的溯源式體驗教學模式能夠更好地促進學生形成數學的眼光。結合初中數學體驗教學模式的建構原則，在實施溯源式體驗教學時需要著重體現以人為本、行思融合、悱憤沖突、頓悟躍遷、反思重構、適用實效等原則。

1.溯源式體驗教學應培養能夠直觀理解現實背景的數學眼光

在初中階段，數學眼光主要表現為抽象能力、幾何直觀、空間觀念和創新意識。溯源式體驗教學模式在情境創設中應以此為基礎，設計貼近生活實際的現實背景，便于學生直觀理解數學概念。

案例1：梯形概念的引入

問題：從以下實物中，你能抽象出哪些幾何圖形？

活動：畫一個梯形，并結合已學的平面圖形概念給梯形下一個定義。

【體驗說明】學生經歷從實物中抽象出圖形的過程，能夠看到熟悉的三角形、平行四邊形和梯形。學生在畫梯形的活動過程中，會自然聯想到三角形和平行四邊形的概念進而對梯形概念有初步感知。

溯源式體驗教學在實施中應關注情境創設的必要性和適切性，要關注情境的類型和學生的認知基礎，體現溯源的價值。

2.溯源式體驗教學應培養縱向聯系文化歷史的數學眼光

新課標中指出，要“注重情境素材的育人功能，如體現中國數學家貢獻的素材，幫助學生了解和領悟中華民族獨特的數學智慧，增強文化自信和民族自豪感。注重情境的多樣化，讓學生感受數學在現實世界的廣泛應用，體會數學的價值”［1］87。基于此，溯源式體驗教學應培養學生縱向聯系文化歷史的數學眼光，逐步增強學生的文化自信。

案例2：通過圓周率的計算認識無理數

歷史素材：古今中外很多數學家都尋求過計算圓周率π值的方法，劉徽（約225年—約295年）用簡便、科學的方法求出了π ≈ [39271250]；祖沖之（429年—500年）將π精確到小數點后7位：3.1415926＜π＜3.1415927，這一數值精度直到約1000年后才被打破。

問題：如圖3，圓的半徑為1，正好“包住”它的正方形的周長為8。如圖4，在圓內作內接正六邊形，這個正六邊形可以看作是由六個正三角形組成的，每一條邊都等于圓的半徑。求圖4中正六邊形的周長，并分別估計圓的周長范圍和圓周率π的范圍。

【體驗說明】通過文獻學習，了解劉徽、祖沖之等中國古代數學家對數學研究的偉大貢獻。通過求解上述問題，體驗“割圓術”的大致過程，認識到無理數的存在，從而對無理數的概念有了更深層的認識和更深刻的理解。這樣具有文化元素的體驗活動為數學概念學習提供了豐富的認知載體和價值引領。

3.溯源式體驗教學應培養橫向聯系其他學科的數學眼光

溯源式體驗教學的情境創設和體驗活動還可以在與其他學科的聯系中進行，可以通過類似案例3的體驗活動設計來促進學生對數學概念的深入理解。

案例3：幾何圖形在藝術設計中的應用

活動：學校即將舉辦一次藝術節，全體學生需要參與設計藝術節的海報和舞臺背景。

【體驗說明】首先，讓學生從藝術節的宣傳材料中識別出各種幾何圖形，如圓形、三角形、矩形等。然后，再引導學生探討這些幾何圖形如何在藝術設計中被運用，比如在構圖、對稱、圖案設計等方面，并讓學生嘗試使用幾何變換（平移、旋轉、反射等）來創造新的圖案或設計元素。在活動過程中，教師引導學生歸納幾何圖形的基本性質和它們在藝術設計中的作用，讓學生嘗試描述幾何圖形和幾何變換的概念，以及數學中的幾何概念與藝術設計之間的聯系。教師引導學生反思在藝術創造過程中涉及了哪些已學的數學知識，發現了哪些新的數學研究對象，是否促進了對數學概念更深層次的理解。

通過這個案例，學生不僅能夠獲得數學學習新的視角，還能夠認識到數學知識在其他學科領域的實際應用，從而培養他們橫向聯系其他學科的數學眼光。

4.溯源式體驗教學應培養發現數學知識邏輯關系的數學眼光

斯托利亞爾在《數學教育學》中指出：“教學的結果，不僅應當掌握概念，而且還應當掌握每一個具體課題和整個數學課程的完整的概念體系。”［2］指向數學概念學習的溯源式體驗教學應當突出這樣的結構化設計，以幫助學生從數學發展史、數學內部知識關系的角度厘清數學概念的相關體系，達到概念的三度聯系狀態（見圖5）。

案例4：分式概念教學

問題：你能對下面例子中出現的式子進行分類嗎？

追問1：對于這類新的代數式，你還能舉出類似的例子嗎？

追問2：它們共同的特征是什么？

追問3：根據這些式子的特征，你能試著歸納出分式的概念嗎？

【體驗說明】案例4讓學生從具體情境中獲得不同的代數式，并結合對整式、分數的學習，在分類活動的體驗中發現研究對象的本質屬性，從而獲得分式概念。這里從數學內部知識之間的關系進行溯源，上位概念是代數式，下位概念是分數，同位概念是整式。學生經歷了從單一的代數式到多個代數式，從重復地看到抽象地看，再到一般地看的過程。在這個過程中，學生經歷悱憤沖突和反思重構，逐步明確了分式的概念。

5.溯源式體驗教學應在數學概念鞏固應用中發展數學眼光

教師通過設置符合學生認知水平的鞏固練習，可以幫助學生在概念獲得的基礎上，進一步辨析概念的內涵和外延，內化重構新的概念。在設計鞏固應用練習時，教師需要多結合實例，引導學生在具體情境中運用概念，激發學生的應用興趣，突出對概念本質屬性的辨析，回避對具有爭議性的表征方式的討論；關注概念與其他概念關系的理解，回避概念定義的想當然和簡單嫁接；重視概念學習路徑的遷移創新和對方法經驗的感悟，回避對概念碎片化的重復識記。

案例5：研究“箏形”

問題：如圖6，根據風箏的形狀抽象出一類平面多邊形，把它叫作箏形：

（1）結合對特殊平行四邊形的研究經驗，給出箏形的一種定義；

（2）用圖示的方式在圖7中給箏形找一個位置，并作簡要的文字說明。

【體驗說明】這樣的概念鞏固和應用，有時候常以一種項目式學習方式進行，可以更好地體現數學體驗教學做思共生的理念。

綜上，在數學教育中，溯源式體驗教學有助于學生更深入地理解數學概念，幫助學生在過往、當下和未來的數學學習中形成和發展數學的眼光。

【參考文獻】

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］A.A.斯托利亞爾.數學教育學［M］.丁爾，譯.北京：人民教育出版社，1984：145.