關于一道立體幾何考題的探究總結與教學思考

[摘 要] 立體幾何是高中數學知識的核心，是高考的考查重點，圍繞考題開展探究總結有助于提升學生的解題能力. 同時，考題的求解思路和方法的構建，對學生的復習備考有一定的指導作用. 文章結合考題開展解題探究、方法總結，并提出相應的教學建議.

[關鍵詞] 立體幾何;證明;二面角;向量法

問題綜述

立體幾何常作為高考壓軸題，綜合考查學生對知識定理的掌握情況，以及推理分析立體幾何的能力，對學生的立體幾何觀有較高的要求.

立體幾何考題的第（1）問通常為幾何位置關系的證明問題，可采用傳統的幾何分析法解決，問題涉及平行和垂直關系，或者體積、表面積等.

第（2）問通常為核心之問，可通過建系，利用向量法解決，問題常涉及線面角、二面角的求解，或者已知線面角、面面角，求參數的值.

考題探究

1. 考題呈現，思路引導

考題1 （2023年新高考Ⅱ卷第20題）如圖1所示，三棱錐A-BCD中，DA=DB=DC，BD⊥CD，∠ADB=∠ADC=60°，E為BC的中點.

（1）證明：BC⊥DA;

（2）點F滿足=，求二面角D-AB-F的正弦值.

思路引導 本題為立體幾何綜合題，題設兩問，建議基于立體幾何知識來引導思路.

（1）該問證明兩直線垂直，總體思路是證明BC垂直DA所在的平面ADE. 具體思路引導如下：E為BC的中點→BC⊥DE;△ACD，△ABD為等邊三角形→AB=AC→BC⊥AE→BC⊥平面ADE→BC⊥DA.

（2）該問求解的是二面角的正弦值，屬于二面角問題. 可采用空間向量法，即建立空間直角坐標系，得到兩平面的法向量，根據對應公式求解. 具體思路引導如下：求DE，AE→AE，BC，DE兩兩垂直→建立空間直角坐標系→點的坐標→平面ABD的法向量和平面ABF的法向量→二面角D-AB-F的正弦值.

2. 過程構建，解后思考

（1）根據上述總結的解題思路，下面分步進行證明.

第一步，證明等邊，提取特性.

因為DB=DC，點E為BC的中點，所以BC⊥DE（等腰三角形的性質——“三線合一”，是解題的關鍵）. 因為DA=DB=DC，∠ADB=∠ADC=60°，所以△ABD，△ACD均為等邊三角形，所以AB=AC. 又點E為BC的中點，所以BC⊥AE.

第二步，應用定理，證明垂直.

連接AE，DE，如圖2所示. 由于AE，DE?平面ADE，AE∩DE=E，所以BC⊥平面ADE. 又AD?平面ADE，所以BC⊥DA. （證明異面直線垂直的基本方法是：轉化為線面垂直）

（2）求解二面角的正弦值，可采用空間向量法. 下面同樣采用分步策略.

第一步，分析幾何，推導條件.

設BC=2，由已知得DA=DB=DC=. 由于DE為等腰直角三角形BCD斜邊BC的中線，所以DE=1. 由已知得AB=AC=，AB2+AC2=BC2，所以△ABC也為等腰直角三角形，則AE=1. 所以AE2+DE2=AD2，逆推可得AE⊥DE. 由（1）可知BC⊥DE，BC⊥AE，所以AE，BC，DE兩兩垂直.

第二步，構建空間直角坐標系，推導法向量.

以E為原點，ED，EB，EA所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖3所示的空間直角坐標系.

解后反思 上述問題為立體幾何解析證明題，其中第（2）問為核心之問，分三步解析. 第一步為關鍵的幾何分析，推導垂直條件;第二步根據垂直條件構建空間直角坐標系，推導出法向量;第三步根據法向量求解二面角的正弦值. 解析二面角問題時需要理解以下三點.

①用法向量求二面角的大小或三角函數值. 先分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量，然后利用向量數量積公式完成運算. 要注意結合實際圖形來判斷所求二面角是銳二面角還是鈍二面角.

②方向向量法. 分別在二面角的兩個半平面內找到與二面角的棱垂直且以垂足為起點的兩個向量，則可確定這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小.

③二面角的夾角特點. 二面角的平面角的大小與兩平面的法向量的夾角可能相等，也可能互補.

知識總結

上述考題，涉及幾何位置關系的證明和二面角的運算，這是該類問題最常見的考查. 具體求解時，可利用立體幾何的性質定理來證明第（1）問的位置關系，利用空間向量法來解析第（2）問的二面角的正弦值. 下面進行知識銜接和總結.

1. 幾何位置關系的總結

證明線面位置關系在立體幾何題中十分重要，具體分析時需要把握以下兩點：一是證明線面平行、垂直關系的指導思想是線線、線面、面面關系的相互轉化，交替使用平行、垂直的判定定理和性質定理;二是線線關系是線面關系、面面關系的基礎，證明過程中要注意利用平面幾何中的一些結論，如證明平行時常用的中位線定理、平行線分線段成比例定理，證明垂直時常用的等腰三角形中線定理等.

（1）直線與平面垂直的判定定理和性質定理見表1.

（2）平面與平面垂直的判定定理和性質定理見表2.

（3）垂直間的三種轉化關系：線線垂直[判定定理] [性質定理]線面垂直[判定定理] [性質定理]面面垂直.

2. 向量法解析空間夾角

（1）思路構建

立體幾何中的夾角有多種類型，常見的有：異面直線的夾角、直線與平面所成的角、兩平面所成的角（二面角）. 對于后兩個夾角問題，可使用向量法來求解. 分步構建思路如下：

第一步，常規的幾何分析，即推導線段長、幾何位置關系;

第二步，根據幾何特征，構建空間直角坐標系，并推導關鍵點的空間坐標;

第三步，獲得直線的方向向量和平面的法向量，具體求解時可通過除參數化簡方向向量和法向量;

第四步，結合向量法中的公式定理求解直線與平面所成的角或兩平面所成的角（二面角）.

（2）公式定理

直線與平面所成的角：設直線l的方向向量為a，平面α的一個法向量為n，直線l與平面α所成的角為θ，則①cos〈a，n〉=;②sinθ=

平面與平面所成的角（二面角）：平面α的一個法向量為n1，平面β的一個法向量為n2，平面α與平面β所成的角為θ，則①cos〈n1，n2〉=;②cosθ=±cos〈n1，n2〉.

拓展探究

上述總結了立體幾何綜合題的求解思路及方法，下面結合考題進一步開展探究分析.

考題2 （2023年新高考Ⅰ卷第18題）如圖4所示，在正四棱柱ABCD-ABCD中，AB=2，AA=4.點A，B，C，D分別在棱AA，BB，CC，DD上，AA=1，BB=DD=2，CC=3.

（1）證明：BC∥AD;

（2）點P在棱BB上，當二面角P-AC-D為150°時，求BP.

分析 （1）可以利用平行四邊形的性質證明線線平行，也可以利用向量共線定理證明線線平行.

（2）建立空間直角坐標系，利用求二面角的公式定理列方程求解.

解析 （1）（解法1）取DD的中點E，取bDPdWiBErK41ZnlbdUpzjg==CC的中點F，則CF=2，連接EF，FB，BA，EA.根據題意得ED∥AA，且ED=AA，所以四邊形AAED是平行四邊形，所以AE∥AD，且AE=AD.同理BF∥BC，且BF=BC. 因為四邊形ABCD是正方形，所以BC∥AD，且BC=AD.所以AE∥BF，且AE=BF. 所以四邊形AEFB是平行四邊形. 所以AB∥EF，且AB=EF. 同理，四邊形CFED是平行四邊形. 所以DC∥EF，且DC=EF. 根據傳遞性可得DC∥AB，且DC=AB. 所以四邊形DCBA是平行四邊形.所以BC∥AD.

（解法2）以C為原點，CD，CB，CC所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖5所示，則=（0，-2，1），=（0，-2，1），所以=. 所以BC∥AD.

（2）以C為原點，CD，CB，CC所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖5所示. 設P（0，2，λ）（0≤λ≤4），則=（-2，-2，2），=（0，-2，3-λ），=（-2，0，1）.

由此可得cos〈n，m〉===cos150°=，化簡得λ2-4λ+3=0，解得λ=1或λ=3. 所以點P（0，2，1）或P（0，2，3）.所以BP=1.

評析 上述考題同為立體幾何綜合題，第（1）問是基礎題，考查常規的直線平行關系. 第（2）問是二面角問題，逆向設定二面角的大小，求解線段長. 同樣采用空間向量法，利用求二面角的公式定理列方程，解出參數后求得線段長.

教學思考

立體幾何是高中數學的重點知識，探究教學中需要教師結合圖形開展知識指導，引導學生深刻理解其中的性質定理，并構建解析證明思路. 下面提出三點建議.

建議1：數形結合，知識解讀

立體幾何知識內容具有很強的邏輯性，學生學習時存在一定的困難，需要教師結合圖形開展知識指導，引導學生從空間視角審視其中的位置關系，通過設定特殊模型理解其中的性質定理. 知識解讀可以分為三個環節：一是模型構建，數形分析;二是特例分析，理解定理;三是語言轉化，深刻理解.

建議2：方法總結，思路構建

立體幾何題型多樣，但對其分析可以匯總成相應的類型題. 教學中教師可以針對類型題來總結方法，構建解題思路策略. 以上述考題為例，涉及幾何位置關系和二面角，探究教學中教師可以結合問題特征梳理方法，如線線垂直、線面垂直、面面垂直，以及向量法證明幾何位置關系、求解二面角，形成分步構建策略.

建議3：適度拓展，發散思維

拓展探究是解題教學的重要環節之一，教學中需要教師結合考題適度拓展，引導學生深刻理解知識，發散思維. 拓展探究建議分三個階段：一是結合核心知識精選問題，引導學生分析問題特點，挖掘本質;二是讓學生自主思考，探索解題方法;三是引導學生解后反思方法，總結經驗.

作者簡介：錢夢迪（1990—），本科學歷，中小學一級教師，從事高中數學教學工作.