基于改進遺傳算法的電商零售商家庫存優化研究

摘 要： 庫存優化指為應對需求不確定性，考慮訂貨點和交貨期因素，降低庫存系統成本。本文首先構建數學規劃模型，將安全庫存水平策略（s、S）和每日補貨量作為核心決策變量，目標是最小化庫存總成本（持有和缺貨成本）、庫存周轉天數訂購成本，然后引入0-1輔助變量線性化處理非線性約束，并使用Gurobi和COPT兩種求解器對模型進行數值分析和比較，同時進一步提出改進遺傳算法在庫存優化中的應用，開創性地設計新穎的編碼方式，有效增強求解的效率和準確性。算例表明，此庫存優化降低了需求不確定性，能靈活應對零售需求中多種需求模式，并針對（s，S）政策與優化的庫存持有量和訂單數量相結合，實現了最低的庫存成本和周轉天數，最終實現高效的庫存管理和采購決策。

關鍵詞： 庫存優化；數學規劃；Gurobi；COPT；改進遺傳算法

中圖分類號： F 713

文獻標志碼： A

Research on Inventory Optimization of E-Commerce RetailMerchants Based on Improved Genetic Algorithm

Abstract： Inventory optimization refers to reducing the cost of inventory system by considering the factors of order point and delivery time to deal with the uncertainty of demand. This paper first constructs a mathematical planning model， taking the safety inventory level strategy （s， S） and daily replenishment volume as the core decision variables， with the goal of minimizing the total inventory cost （holding and out costs） and the ordering cost of inventory turnover days. Then 0-1 auxiliary variables are introduced to linearize the nonlinear constraints， and Gurobi and COPT solvers are used to numerically analyze and compare the models. At the same time， the application of genetic algorithm in inventory optimization is further proposed， and a novel coding method is designed in a pioneering way to effectively enhance the efficiency and accuracy of solution. The example shows that this inventory optimization reduces the demand uncertainty， flexibly responds to multiple demand patterns in retail demand， and combines the （s，S） policy with the optimized inventory holding and order quantity to achieve the lowest inventory cost and the number of inventory turnover days， and finally realizes efficient inventory management and purchasing decisions.

Key words： inventory optimization; mathematical programming; Gurobi; COPT; improved genetic algorithm

0 引言

隨著電子商務的快速普及與發展，電商企業的訂單不斷呈現出小批量、多批次、差異化的特點。在激烈變化的市場競爭環境下，庫存管理作為一個必要手段，為企業創造了可持續競爭優勢，合理的庫存管理策略能夠在保持較高客戶服務水平的同時，有效控制企業庫存水平，創造更多利潤。電子商務愈來愈注重消費者體驗，同時消費者的不確定需求影響著供應鏈管理的物流、信息流、資金流，進而影響企業的效益。其中，庫存控制是提高企業利潤空間的重要手段之一。

電商零售商優化庫存問題，引起了國內外學者的重視。Acimovic和Graves考慮在電子商務背景下對聯合庫存進行補貨和調配，該研究以運輸成本最優為原則，通過啟發式的方式進行決策，魯棒性較好。Heissi和Sethuraman解決多家零售商聯合補貨的問題，建立博弈模型，在多家零售商之間實現補貨均衡，根據事先通知零售商的調配決策，使零售商能夠在較小的成本下做出補貨決策。Protopappa-Sieke等人解決制造商和零售商之間的調撥和補貨問題，通過建立供應合同，實現更好的調撥和補貨決策。Tinoco和Creemers研究了兩家企業協作運輸的補貨模式，使兩家企業在著重考慮運輸成本的前提下同步補貨，通過建立模型來支持補貨和分配決策。Stenius和Karaarslan研究一個配送中心對多家零售商的補貨和調撥決策，通過數學計算推導出每個零售商水平的準確概率分布和其他庫存信息，從而求解訂貨提貨前期的補貨和調撥決策。

國內的學者們在庫存優化方面也取得了一些成果。王林與鄭貴蓮等人基于資源有限和數量折扣考慮配送中心選址，構建聯合補貨模型，在模擬退火算法的基礎上求解聯合補貨的方法，使得庫存總成本降低。宋世強在冷鏈中解決二級冷庫的補貨和調配問題，研究基于兩個冷庫之間的補貨和提前期，在兩個冷庫中采用不同的補貨策略，有效優化安全庫存。艾學軼與張金隆等人建立聯合調撥非即時變質品的模型，通過迭代算法對變質后的補貨和調撥進行決策，最終實現非即時變質品變質率的有效降低。成誠與左傳等人對供應商的短期折扣、特殊補貨，在結合經濟訂貨批量的前提下，建立效益最大化模型，應用全局優化算法，檢測和研究庫存補貨決策的有效性。董琪與徐廷學針對多層次庫存網絡，考慮多層次庫存之間的分配問題，構建庫存優化模型，利用迭代算法和解決分配決策軟件進行分配決策，有效控制庫存成本。曹斌斌與孫靜春等人采用線性補貨策略，針對有補貨提前期的供應鏈節點進行管理，有效抑制了牛鞭效應的產生。

上述學者充分了解庫存優化的重要性，但對于庫存優化策略和算法優化卻較少有研究。本文旨在探討電商零售商家庫存優化問題的解決方案，通過構建庫存優化的策略和模型，運用改進的遺傳算法，關注于如何制定有效的庫存管理策略，并分析不同參數（持有成本、庫存成本、訂購費用）對不同需求模式商品補貨計劃的影響。本文的目標是為電商零售商提供一個綜合的參考框架，幫助他們在競爭激烈的市場環境中作出更明智的決策。

1 問題描述

本文的補貨計劃是指按固定的庫存盤點周期NRT=1，對每個商品決策應采購多少貨物。其中所有商品期初庫存均為5，且采購提前期LT=3，即采購的貨物只能在LT天后到達。商品的持有成本及缺貨成本均與商品價格正相關，基于周期性盤點庫存策略（s，S）、需求量，給出商家歷史出貨量范圍內倉庫及商品在 2023年5月16日至 2023年5月30日的補貨計劃，目標是降低成本，提升服務水平，并降低庫存周轉天數。

（1）數據預處理：商品價格數據表中給出了1191種商品的價格，結合商家歷史出貨量中給出的銷售數據，進行商品篩選和數據拼合，得到1957條SKU數據，對應34個商家、1191種商品和54個倉庫。考慮商品的持有成本、庫存成本、商品本身的價格正相關，為了判斷不同類型商品的持有成本、缺貨成本對總成本的影響，根據商品價格和序列類別劃分為四類，其中價格劃分按照排序后商品價格分布情況，劃分為low、medium、high、veryhigh，序列類別劃分則按照SBC分類法將商品劃分為intermmitent、Lumpy、Erratic、Smooth。

（2）模型建立：建立整數規劃模型來計算最優的補貨策略，主要考慮的目標函數是商品的持有成本、缺貨成本、訂購成本和庫存周轉天數，并采用服務水平衡量模型求解結果的可靠性。考慮的約束主要包含庫存更新約束、缺貨約束、采購約束、倉庫容量約束和期初庫存約束。由于模型在建立階段會出現非線性表達式，如當執行（s，S）補貨策略時，庫存水平低于訂購點s時，商品采購量為最大庫存S減去當前庫存水平，否則為0，此時的采購量為分段函數形式且受到其他變量的影響，因此需要對模型進行線性化處理。

（3）模型靈敏度分析：假設持有成本和缺貨成本與商品價格正相關，但是不同商品的持有成本、缺貨成本對目標函數取值的影響是不同的，且不同的訂購成本對總成本的影響也是不同的，因此本文將組合不同類別商品的持有成本率、缺貨成本率、訂購價格的變化情況，研究補貨策略的變化情況。

通過以上三個步驟，本文旨在給出低成本、高服務水平、低庫存周轉天數下的補貨策略，幫助商家進行采購、銷售和運營。

2 模型建立

2.1 符號說明

2.2 模型假設

該模型的假設主要包括成本、審查期、提前期、庫存四個方面，具體如下：

假設1：商品的持有成本和缺貨成本均與商品的價格成正比。

假設2：商品的持有成本系數與缺貨成本系數的和為1。

假設3：每種商品的訂購成本與商品的價格成正比。

假設4：庫存周期內的訂貨點和最大庫存水平為同一值，不隨時間變化。

假設5：商家在期末進行庫存盤點，并決定是否進行采購。

假設6：交貨期是確定的，不存在訂單交叉現象。

假設7：每次訂購的商品經過提前期時間，在期初到貨。

假設8：前一天的期末庫存等于后一天的期初庫存。

假設9：本文考慮的庫存優化問題為單階段庫存問題，不考慮商品物流存在多個運輸節點。

2.3 目標函數

（1）持有成本和缺貨成本

模型的目標函數中考慮到在計劃周期內每一天存在的庫存成本和缺貨成本，其中庫存和缺貨成本根據該SKU的實際價格，按照其所屬類別的持有成本系數和缺貨成本系數得到。

（2）庫存周轉天數

模型的目標函數中考慮到整個計劃周期內所有SKU的庫存周轉天數。

（3）訂購成本

模型的目標函數中考慮到每個SKU在整個計劃周期內存在的訂購成本，具體的訂購成本由該SKU的實際價格和所屬類別的訂購成本系數確定。

（4）目標函數

由于目標函數中存在不同的量綱，因此本文通過加權和的方式來設置模型的目標函數。

2.4 約束條件

（1）期初庫存約束

期初庫存約束主要對所有SKU在整個計劃周期剛開始的庫存容量水平進行約束。

（2）商品缺貨量約束

商品缺貨量約束主要對所有SKU在整個計劃周期內每一天的缺貨量進行約束，由于假設前三天沒有補貨量到達，因此該約束的表達形式存在兩種。

（3）庫存更新約束

庫存更新約束主要對所有SKU在整個計劃周期內每一天的庫存平衡進行約束，由于假設前三天沒有補貨量到達，因此該約束的表達形式存在兩種。約束［10］是為了保證前一天的期末庫存等于后一天的期初庫存。

（4）商品采購約束

商品采購約束主要對所有SKU在整個計劃周期內每一天的采購量進行約束，如果當天的期末庫存低于安全策略（s，S），即訂購補貨量至S。

（5）倉庫容量約束

倉庫容量約束主要指對每一個倉庫的容量進行約束，針對每一個倉庫中所有SKU每一天的補貨量進行約束。

3 線性化處理

（1）商品缺貨約束線性化處理

由于約束［6］和約束［7］存在邏輯約束，需要對其進行線性化處理，引入輔助0-1變量后約束如下：

（2）庫存更新約束線性化處理

由于約束［8］和約束［9］存在邏輯約束，同樣需要對其進行線性化處理，因其判斷邏輯和商品缺貨約束相同，因此同樣使用輔助變量，線性化處理后如下：

（3）商品采購約束線性化處理

由于約束［11］存在邏輯約束，需要對其進行線性化處理，引入0-1輔助變量ipk，p，w，t，線性化處理結果如下：

4 改進遺傳算法設計

本文提出改進遺傳算法，對編碼方式、交叉機制和變異機制進行了創新，提出的編碼方式根據問題的屬性進行構造。交叉機制是根據每一個SKU單品進行交叉，變異機制是對每一個SKU的安全庫存進行變異，并生成一個新的序列。算法流程如圖1所示。

4.1 編碼方式和初始解生成

本文提出一種基于庫存優化的全新編碼方式，根據每一個SKU單品，前兩位為安全庫存策略s和S，接下來15個數字為每天的具體補貨量。每一個SKU單品對應長度為17的列表，如果存在K個SKU單品，那么最后每個個體長度為17*K。

在初始解生成階段，算法對歷史需求信息進行分析，得到一些啟發式信息，并將其運用在每個SKU單品安全庫存設置部分，其中s為該單品15天內的平均需求量加上一個隨機數，S為該單品15天內前三個最大需求量的總和。在對補貨量x進行初始化時，算法設置每天補貨量均為0，之后隨機對其中某天的補貨量進行增加，直到總補貨量大于或等于需求量為止。

4.2 基于單品的交叉機制

在我們的遺傳算法設計中，針對編碼結構的特殊性，采取了創新的交叉操作策略。由于每個單品在編碼中占據17個單位長度，交叉操作設計為圍繞單個單品進行。具體來說，算法在執行交叉操作時，會選取以單品為單位的整體編碼段進行交換，而非單個編碼元素。這種方法的主要優勢在于能夠保障每個單品編碼的完整性，確保交叉后的個體中每個單品所對應的編碼仍然完整地反映其安全庫存和補貨量信息。這種精細化的交叉策略，不僅增強了遺傳算法在維持編碼結構一致性方面的能力，而且提高了算法在解空間探索中的效率和有效性，確保每次交叉操作都能產生有意義且可行的新個體，從而在遺傳算法的整個演化過程中持續優化解決方案質量。

4.3 基于安全庫存的變異機制

算法設計當中，考慮到編碼方式的完整性，本文在對每一個體進行變異時，首先考慮安全庫存s和S，通過增加一個隨機擾動進行變異，之后根據變異的s和S對補貨量數據再次進行初始化，完成對其中某個SKU單品的變異操作，每次變異過程中會挑選若干個單品進行變異，操作示意如圖4所示。

4.4 選擇機制

算法的選擇機制根據每個個體的適應度值對種群進行更新，本文采用經典的輪盤賭機制和敬意保留機制。在每次選擇過程中，保留適應度值最好的N個個體，對剩余的其他個體進行輪盤賭機制選擇，對整個種群進行更新。

4.5 適應度值計算

考慮到庫存優化問題的特殊性，同時考慮持有成本、訂購成本和庫存周轉天數，通過每一個SKU個體的s、S和補貨量個數，得到對應每一天的期初庫存和期末庫存，之后根據得到的具體庫存數量計算對應的適應值，庫存周轉天數公式如下：

5 算例分析

5.1 算例設置

在算例設置過程中挑選四種類別，25個SKU單品，對100個單品進行庫存優化決策，對每一天的補貨量和計劃周期T內的安全庫存策略進行決策。對于模型中的具體參數部分，NRT盤點庫存時間設置為1；LT訂貨提前期設置為3；庫存持有成本和缺貨成本根據當前SKU價格進行判斷，庫存持有成本為價格的40%，缺貨成本為價格的60%；每個SKU每次的訂購成本為商品售價的80%。具體的參數信息見表4。

5.2 算法求解和數值分析

在本節中對三種不同求解方法的結果進行了細致的比較與分析，涵蓋了Gurobi、COPT和遺傳算法（GA）。這一比較主要集中在各方法求解問題的時間效率和結果精度兩個關鍵方面。具體的數值結果已在表5中詳細列出。從小規模算例的求解結果來看，Gurobi和COPT在精度和耗時上均明顯優于GA，其中Gurobi求解速度最快。然而，在面對大規模算例的求解挑戰時，傳統求解器在運算過程中往往難以快速獲得優質解決方案。相較之下，GA在這一場景下展現出了卓越的性能，不僅求解效率更高，而且能更快地接近最優解，顯示出其在處理復雜大規模問題上的明顯優勢。

5.3 持有成本系數對不同價格商品庫存優化模型的影響

本節主要對基于商品價格分類的庫存優化模型進行靈敏度分析，對缺貨成本和持有成本兩個參數進行調整，得到其對模型的影響程度。

圖5展示了不同價格分類的商品持有、缺貨成本和所有商品的成本變化情況，可以看到無論商品價格高低，隨著持有成本系數的增加（缺貨成本系數的降低），四種類別的商品持有和缺貨成本總是呈現先下降再上升的趨勢，且均在商品的持有成本系數等于0.4時，該類別的持有缺貨成本達到最低水平。當持有成本系數等于0.1、缺貨成本等于0.9時，該類別的商品持有缺貨成本總是低于持有成本系數等于0.9、缺貨成本等于0.1時。該系數下該類別商品的庫存數量和缺貨數量見圖6，持有成本越高、缺貨成本越低，商品庫存數量越少、缺貨數量越多，且隨著持有成本的增加，持有數量的下降速度從快逐漸到慢，缺貨數量上升速度從慢變快，整體上商品的采購數量呈現下降的趨勢，且下降速度逐漸加快。結合圖7看到四種價格類型的商品隨著持有成本系數的增加，采購成本均呈現出下降的趨勢，且在本問中采購成本與采購次數相關，也就是說采購次數同樣呈現出明顯下降的趨勢，下降的速度加快。對于價格高昂的商品，在持有成本高的情況下，采購數量和次數下降速度高于其他價格類型的商品。總之，當持有成本等于或大于缺貨成本時，應當盡可能降低庫存，當持有成本明顯低于缺貨成本時適合進行補貨，價格更高的商品相比價格低的商品訂購次數更少，尤其是在庫存成本高的情況下。

圖8繪制了不同價格分類的商品在不同持有成本系數下商品平均庫存周轉天數的變化情況，可以看到隨著持有成本系數的增加，所有價格類型商品的庫存周轉天數都呈現出下降的趨勢，盡管價格類型為high的商品在持有成本系數為0.6時出現向上的波動。只有當持有成本系數剛開始增加時，商品的庫存周轉天數顯著降低，后期當持有成本增加時，庫存周轉天數的下降速度減慢，且逐漸穩定。同圖5至圖7，只有當商品持有成本特別低時，才適合進行補貨和備貨，否則應當盡可能降低庫存。根據圖8，價格類型為low的商品的庫存周轉天數高于其他價格類型的商品，也就是說價格越低的商品越適合執行囤貨策略。

圖9展示了四種價格類型商品的平均服務水平在不同持有成本系數下的變化情況。在持有成本較低的情況下，最優補貨計劃對于價格為veryhigh的商品的服務水平在0.8以上，高于另外三種類型。隨著持有成本系數的增加，所有類型商品的服務水平都呈現出下降趨勢，且下降速度加快，且通常價格為high和veryhigh的商品的服務水平高于low、medium類型。也就是說價格較高的商品應當盡可能避免缺貨情況，其持有水平應當高于其他價格類型的商品，即使在持有成本較高的情況下。

5.4 訂購成本系數對庫存優化模型的影響

圖 10繪制了不同訂購成本系數下，補貨計劃的持有、缺貨、訂購成本的變化情況。從圖10可以看出：隨著訂貨成本系數的增加，總體捕獲成本呈現上升的趨勢，但是商品的持有成本保持相對穩定的趨勢，在60000左右上下小幅浮動，商品的缺貨成本則隨著訂購成本系數的增加展現出緩慢上升的趨勢：當訂貨成本系數增加時，商品的訂購總次數明顯減少，但商品訂購次數下降的速度從快變慢。結合圖11可以看到，商品的總采購量也呈現出下降的趨勢，持有量的上升幅度較小，缺貨量的上升幅度相比持有量較大。訂貨成本較高的情況下，最優采購量下降，每次采購應當少量增加采購量，允許接受缺貨的存在以降低庫存總成本。

根據圖10可以看到盡管隨著訂購成本系數的增加，庫存周轉天數呈現下降的趨勢，但分布在0.8～0.9，下降幅度較小，相比持有成本系數的變化對庫存的影響較小。該下降可能是由缺貨造成的，由于訂購成本增加，商家可以犧牲缺貨成本，保持缺貨狀態，控制庫存周轉天數，從而降低成本。

5.5 最大庫存水平S和最小庫存水平s對補貨計劃的影響

本文建立的模型假設是基于周期內的s、S為同一值不產生變化，同時本文也對比了當每天的s、S都處于變動的情況下，如果訂購成本等于0，最優的補貨策略是當天的訂購量為提前期后的需求量，此時每天的期末水平IE均等于0，見圖 12，此時商品的總持有和庫存成本等于0。對比圖13，當s、S在庫存周期內保持不變時，其訂購量不隨需求變動，而是同時受到持有成本、庫存成本的影響。也就是說，最優的補貨策略應當嚴格遵守需求值，此時能夠帶來最小的持有缺貨成本和庫存周轉天數，且滿足較高的商品服務水平。

6 結論

隨著大數據和人工智能技術的發展，越來越多的研究開始聚焦于運用先進的數據分析和優化技術來解決庫存優化問題。例如，機器學習方法在需求預測中顯示出巨大的潛力，能夠處理和分析大量的歷史數據，從而提高預測的準確性。此外，優化算法如混合整數規劃、啟發式算法等，已被廣泛應用于庫存管理策略優化，以適應電商環境的動態變化和復雜性。

對于庫存優化問題，本文構建數學模型，以安全庫存策略s、S和每日的補貨量為核心決策變量，目標為最小化庫存總持有成本、庫存周轉天數和訂購成本。對模型非線性部分進行了線性化處理，并使用Gurobi和COPT進行求解驗證。最后，本文將改進的遺傳算法應用于庫存優化問題，提出了一種全新的編碼方式，并根據問題特點設置了定制的交叉和變異策略，數值實驗證明了該算法在求解庫存優化問題上的有效性。但本文主要聚焦于確定性情況的討論，后續會結合隨機性進行研究。

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