集合中的新定義問題題型聚焦

集合中的新定義問題通常將“問題”作為探究的核心，通過“發現”的過程深化理解，并以“探究”活動促進知識的掌握。這類問題以集合的基本概念為依托，主要考查同學們對問題的分析與處理能力，考查內容主要是對新概念、新法則和新運算的理解與應用。

聚焦1：集合中的“新定義”，抓住代表元素的屬性進行推理與判斷

例1 （1）設P，Q 是兩個非空集合，定義P×Q={（a，b）|a∈P，b∈Q}，若P={3，4，5}，Q={4，5，6，7}，則P ×Q 中元素的個數是____。

（2）對于集合M ，N ，定義M -N ={x|x∈M 且x?N }，M ⊕N =（M -N ）∪（N -M ），設集合A ={x| x>-9/4，x∈R}，B ={x|x≤0，x∈R}，則A⊕B=（ ）。

A.{x| -94≤x<0，x∈R}

B.{x| -94≤x≤0，x∈R}

C.{x |x<-94或x≥0，x∈R}

D.{x| x≤-94或x>0，x∈R}

解：（1）因為定義P ×Q ={（a，b）|a∈P，b∈Q}，且P ={3，4，5}，Q ={4，5，6，7}，所以P×Q ={（3，4），（3，5），（3，6），（3，7），（4，4），（4，5），（4，6），（4，7），（5，4），（5，5），（5，6），（5，7）}，所以P ×Q 中元素的個數是12。

（2）對于集合M ，N ，定義M -N ={x|x∈M 且x?N }，M ⊕N =（M -N ）∪（N -M ），由集合A ={x|x>-9/4，x∈R}，B ={x|x≤0，x∈R}，可得A-B={x|x>0}，B-A={x| x≤-9/4}。所以A ⊕B ={x|x>0}∪{x |x≤-9/4}={x| x≤-9/4或x>0，x∈R}。應選D。

反思：在處理與集合有關的新定義問題時，要注意集合中元素的確定性與互異性的應用。解題時，要深刻理解集合新定義所揭示的問題本質，并將其恰當地運用到解題實踐中，這是解決新定義集合問題的核心策略。

聚焦2：集合中的“新運算”，依據運算法則進行推理或賦值

例2 （1）定義集合M ，N 的新運算如下：M ☉N ={x|x∈M 或x∈N ，且x?M ∩N }，若集合M ={0，2，4，6，8，10}，N ={0，3，6，9，12，15}，則（M ☉N ）☉M 等于（ ）。

A.M

B.N

C.{2，3，4，8，9，10，15}

D.{0，6，12}

（2）定義集合的商集運算為A/B ={x| x=m/n ，m∈A，n∈B}，已知集合A={2，4，6}，B={x |x=k/2-1，k∈A}，則集合B/A ∪B 中的元素的個數為（ ）。

A.6 B.7

C.8 D.9

解：（1）由M ☉N ={x|x∈M 或x∈N ，且x?M ∩N }，M ={0，2，4，6，8，10}，N ={0，3，6，9，12，15}，M ∩N = {0，6}，可得M ☉N ={2，3，4，8，9，10，12，15}，（M ☉N ）∩M ={2，4，8，10}，所以（M ☉N ）☉M ={0，3，6，9，12，15}。應選B。

（2）依據給定的集合新運算，先求集合B，再求B/A ，最后利用集合的并集運算求解。已知集合A = {2，4，6}，因為集合B ={x |x=k/2-1，k∈A}，所以B={0，1，2}，所以B/A ={0，1/2，1/4，1/6，1，1/3}，所以B/A ∪B ={0，1/2，1/4，1/6，1，1/3，2}，所以集合B/A ∪B 中共有7個元素。應選B。

反思：涉及集合的新運算問題，要遵循特定的數學運算規則，通過分析其代表元素的特性進行邏輯推理和數學運算，以實現問題的解決。

聚焦3：集合的新性質問題，利用集合的屬性進行推理與判斷

例3 （1）（多選題）在整數集Z 中，被6除余數為k 的所有整數組成一個“類”，記為[k]，即[k]={6n+k|n∈Z}，k=0，1，2，3，4，5。則下列結論中正確的是（ ）。

A.2024∈[2]

B.-1∈[3]

C.Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]∪[5]

D.整數a，b 屬于同一“類”的充要條件是“a-b∈[0]”

（2）（多選題）給定數集M ，若對于任意a，b∈M ，有a+b∈M ，且a-b∈M ，則稱集合M 為閉集合，下列說法中不正確的是（ ）

A.集合M ={-2，-1，0，1，2}為閉集合

B.整數集是閉集合

C.集合M ={n|n=2k，k∈Z}為閉集合

D.若集合A1，A2 為閉集合，則A1∪A2為閉集合

解：（1）2024÷6=337余2，A 正確。因為-1=-1×6+5，所以-1∈[5]，B 錯誤。任意整數被6 除必余0，1，2，3，4，5 其中之一，所以Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]∪[5]，C正確。若整數a，b 屬于同一“類”，則a=6n+k，b=6m +k，所以a -b=6n -6m =6（n-m），故a-b∈[0]，反之也成立，D正確。應選ACD。

（2）對于A，-2，-1∈M ，但（-2）+（-1）=-3?M ，即集合M ={-2，-1，0，1，2}不是閉集合，A 錯誤。對于B，因為整數加上整數或減去整數，所得結果仍是整數，所以整數集是閉集合，B 正確。對于C，任取n1，n2∈M ，則n1 =2k1，n2 =2k2，k1，k2 ∈Z，則（k1+k2）∈Z，（k1-k2）∈Z，（k2-k1）∈Z，所以n1+n2=2（k1+k2）∈M ，n1-n2=2（k1-k2）∈M ，n2-n1=2（k2-k1）∈M ，所以集合M ={n|n=2k，k∈Z}為閉集合，C 正確。對于D，由選項C得A1={n|n=2k，k∈Z}為閉集合，同理A2={n|n=3k，k∈Z}為閉集合，所以A1∪A2={n|n=3k 或n=2k，k∈Z}，則2，3∈A1∪A2，但2+3=5?A1∪A2，所以A1 ∪A2 不是閉集合，D 錯誤。應選AD。

反思：解決集合中的新性質問題，關鍵是利用這些性質及相關的數學知識進行邏輯推理和驗證。

聚焦4：集合新定義中用類似反證法進行邏輯推理

例4 已知兩個正整數集合A={a1，a2，a3，a4}，B ={a21，a22，a23，a24}，其中a1

解：依據元素的大小關系和交集及并集的意義，類似反證法推理確定集合A，B。由題意得1≤a1

由A ∩B ={a1，a4}，只可能得a1=a21，解得a1=1。由a1+a4=10，可得a4=9。

若a22=9，則a2=3，這時（1+3+a3+9）+（a23+81）=124，解得a3=5或a3=-6（舍去），所以A={1，3，5，9}，B={1，9，25，81}。若a23=9，則a3=3，此時只能有a2=2，則A∪B 中所有元素之和為1+2+3+9+4+81≠124，不符合題意。

綜上可得，集合A ={1，3，5，9}，B={1，9，25，81}。

反思：在處理集合的新定義問題時，關鍵是認真閱讀題目，準確捕捉有效信息。要透過新概念的表象，把未知轉化為已知，通過合理假設和類似于反證法的邏輯推理進行分析與判斷。

作者單位：東莞市長安中學

（責任編輯 郭正華）