集合與常用邏輯用語常見典型考題賞析

題型1：判斷元素與集合的關系

判斷元素與集合關系的兩種常用方法：直接法，如果集合中的元素是直接給出的，那么只要判斷該元素在已知集合中是否出現即可;推理法，對于一些沒有直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可。

例1 下列四個關系中正確的個數是（ ）。

①1/2∈Q;② 根號2?R;③0∈N* ;④π∈Z。

A.1 B.2 C.3 D.4

解：①1/2∈Q，正確。② 根號2?R，不正確。③0∈N* ，不正確。④π∈Z，不正確。應選A。

跟蹤訓練1：設集合A ={2，3，5}，B ={2，3，6}，若x ∈A，且x ?B，則x 的值為____。

提示：因為x∈{2，3，5}，所以x =2 或x=3或x=5。因為x?{2，3，6}，所以x≠2且x≠3且x≠6。故x=5。

題型2：利用集合中元素的互異性求參數

集合問題的核心是研究集合中的元素，在解決集合問題時，要明確集合中的元素是什么。構成集合的元素必須是確定的（確定性），且是互不相同的（互異性），集合中的元素排列沒有先后順序（無序性）。利用集合元素的互異性求參數問題時，先利用確定性求出參數所有的可能值，再利用互異性對集合中的元素進行檢驗，同時注意分類討論思想的應用。

例2 設集合A={2，1-a，a2-a+2}，若4∈A，則a=____。

解：若1-a=4，則a= -3，所以a2 -a+2=14，這時A ={2，4，14}。若a2-a+2=4，則a=2或a=-1，當a=2時，由1-a=-1，可得a=2，這時A ={2，-1，4};當a=-1時，由1-a=2，可得a=-1（舍去）。綜上得a=2或a=-3。

跟蹤訓練2：已知A 是由0，m ，m2 -3m +2這三個元素組成的集合，且2∈A，則實數m 的值為____。

提示：因為2∈A，所以m =2 或m2 -3m +2=2。當m =2時，可得m2-3m +2=4-6+2=0，這時不符合題意，舍去;當m2-3m+2=2時，可得m =0或m =3，其中m =0不符合題意，舍去。綜上可知，m =3。

題型3：集合中的新定義問題

對于這類問題，可根據題中所給集合的新定義，結合集合的相關知識，進行轉化求解。

例3 設集合P ={3，4，5}，Q ={6，7}，定義P?Q={（a，b）|a∈P，b∈Q}，則P ?Q 中元素的個數為（ ）。

A.3 B.4 C.5 D.6

解：由題意知P ?Q = {（a，b）|a∈P，b∈Q}={（3，6），（3，7），（4，6），（4，7），（5，6），（5，7）}，所以P?Q 中共有6個元素。應選D。

跟蹤訓練3：設集合A ={-2，1}，B ={-1，2}，定義集合A ?B = {x|x =x1x2，x1∈A，x2∈B}，則A ?B 中所有元素之積為____。

提示：已知集合A ={-2，1}，B={-1，2}，因為定義集合A ?B =XaagMoCh9epgQ/rjFbrHuw== {x|x =x1x2，x1∈A，x2∈B}，所以A?B={2，-4，-1}，所以A?B 中所有元素之積為2×（-4）×（-1）=8。

題型4：子集與真子集的概念

集合A 中的任何一個元素都是集合B中的元素，即由x∈A 能推出x∈B，這是判斷A?B 的常用方法。不能簡單地把“A ?B”理解成“A 是B 中部分元素組成的集合”，若A=?，則A 中不含任何元素;若A =B，則A 中含有B 中的所有元素。對于A ?B，首先要滿足A ?B，其次至少有一個x∈B，但x?A。

例4 已知集合A = {x|-1<x <3，x∈N}，則A 的子集的個數為（ ）。

A.3 B.4

C.8 D.16

解：因為A ={x|-1<x<3，x∈N}={0，1，2}，所以A 的子集的個數為23=8。應選C。

跟蹤訓練4：已知集合A ={x|x2 <3，x∈N}，則A 的真子集的個數為____。

提示：因為A ={x|x2<3，x∈N}={0，1}，所以A 有22-1個真子集，即A 的真子集的個數為3。

題型5：集合的相等與空集

解答這類問題的關鍵是理解集合相等的定義和空集的含義。

例5 下列集合與集合A={2022，1}相等的是（ ）。

A.（1，2022）

B.{（x，y）|x=2022，y=1}

C.{x|x2-2023x+2022=0}

D.{（2022，1）}

解：對于A，（1，2022）≠{2022，1}，A 錯誤。對于B，{（x，y）|x =2022，y =1}≠{2022，1}，B錯誤。對于C，{x|x2-2023x+2022=0}={2022，1}，C 正確。對于D，{（2022，1）}≠{2022，1}，D錯誤。應選C。

跟蹤訓練5：下列四個集合中，是空集的是（ ）。

A.{0}

B.{x|x>8，且x<5}

C.{x∈N|x2-1=0}

D.{x|x>4}

提示：空集是不含任何元素的集合，選項B是空集。應選B。

題型6：集合間關系的判斷

判斷集合間關系的三種方法：列舉法，將兩個集合表示出來，通過比較兩個集合中的元素來判斷兩集合之間的關系;元素特征法，根據集合中元素滿足的性質特征之間的關系，判斷集合之間的關系;圖示法，利用數軸或Venn圖判斷兩集合之間的關系。

例6 已知集合M ={x|x=kπ/4+π/2，k∈Z}， 集合N ={x| x=kπ/2 +π/4，k∈Z}，則（ ）。

A.N ?M B.M ?N

C.M =N D.M ∩N =?

解：集合M ={x| x=kπ/4 +π/2，k∈Z}={x| x=（k+2）π/4 ，k∈Z}，集合 N ={x|x=（2k+1）π/4 ，k∈Z}，當k∈Z 時，2k+1 是奇數，k+2是整數，所以N ?M 。應選A。

跟蹤訓練6：下面五個式子：①a?{a}，②? ? {a}，③ {a}∈ {a，b}，④ {a}? {a}，⑤a∈{b，c，a}，其中正確的序號是____。

提示：a 是集合{a}中的元素，應表示為a∈{a}，①錯誤。?是不含任何元素的集合且是任意集合的子集，所以??{a}，②正確。“∈”用于元素與集合的關系，③錯誤。任意非空集合是其本身的子集，所以{a}?{a}，④正確。a 是集合{b，c，a}中的元素，⑤ 正確。答案為②④⑤。

題型7：利用集合間的關系求參數

當集合為連續數集時，可借助數軸建立不等關系求解，此時應注意端點處是實點還是虛點;當集合為不連續數集時，可根據集合包含關系的意義，建立方程求解，此時應注意分類討論思想的應用。

例7 已知集合A = {-2，3，1}，集合B={3，m2}，若B?A，則實數m 的取值集合為（ ）。

A.{1} B.{3}

C.{1，-1} D.{3，- 3}

解：已知A={-2，3，1}，B={3，m2}，若B?A，則m2 =1 或m2 = -2（舍去），所以m =1或m = -1，故實數m 的取值集合為{1，-1}。應選C。

跟蹤訓練7：設集合A = {x|0<x <2019}，B ={x|x<a}，若A ?B，則實數a的取值范圍是____。

提示：已知集合A ={x|0<x<2019}，B={x|x<a}，因為A ?B，所以a≥2019。故a∈[2019，+∞）。

題型8：集合的運算

集合運算應關注三點：集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構成入手是解決集合運算問題的前提;有些集合是可以化簡的，先化簡再研究其關系并進行運算，可使問題簡單明了，易于解決;注意數形結合思想的應用，常用的數形結合形式有數軸、坐標系和Venn圖。

例8 （多選題）設集合A={x|a-1<x<a+1，x∈R}，B={x|1<x<5，x∈R}，則滿足A∩B=?的實數a 的取值范圍是（ ）。

A.{a|0≤a≤6}

B.{a|a≤2或a≥4}

C.{a|a≤0}

D.{a|a≥8}

解：因為A ={x|a-1<x<a+1，x∈R}，B={x|1<x<5，x∈R}，滿足A ∩B =?，所以a-1≥5或a+1≤1，解得a≥6或a≤0，所以實數a 的取值范圍是{a|a≤0}或{a|a≥6}。應選CD。

跟蹤訓練8：（多選題）設全集U ={0，1，2，3，4}，集合A ={0，1，4}，B ={0，1，3}，則（ ）。

A.A∩B={0，1}

B.?UB={4}

C.A∪B={0，1，3，4}

D.集合A 的真子集個數為8

提示：因為集合A ={0，1，4}，B={0，1，3}，所以A∩B ={0，1}，A 正確。?UB ={2，4}，B錯誤。A∪B={0，1，3，4}，C 正確。集合A 的真子集個數為23-1=7，D 錯誤。應選AC。

題型9：充分條件、必要條件及充要條件的判斷

先分清條件和結論，然后判斷p?q、q?p 和p?q 是否成立，最后得出結論。若p?q，則稱p 是q 的充分條件，q 是p 的必要條件;若p?q，則p 是q 的充要條件;若p?q，且q/? p，則稱p 是q 的充分不必要條件;若p/? q，且q?p，則稱p 是q 的必要不充分條件;若p/? q，且q/? p，則稱p 是q 的既不充分也不必要條件。

例9 已知p：0<x<2，那么p 的一個充分不必要條件是（ ）。

A.1<x<3 B.-1<x<1

C.0<x<1 D.1<x<3

解：因為（0，1）?（0，2），所以p 的一個充分不必要條件是0<x<1。應選C。

跟蹤訓練9：已知a，b∈R，則“ab≠0”的一個必要條件是（ ）。

A.a+b≠0 B.a2+b2 ≠0

C.a3+b3 ≠0 D.1/ a+1/b≠0

提示：對于A，令a=1，b=-1，推不出a+b≠0，A 錯誤。對于B，由“ab≠0”，可得a≠0且b≠0，則a2 +b2 ≠0，反之，由a2 +b2 ≠0，推不出ab ≠0，如a=1，b=0，所以a2+b2 ≠0是ab≠0的必要不充分條件，B正確。對于C，令a=1，b= -1，推不出a3 +b3 ≠0，C錯誤。對于D，令a=1，b=-1，推不出1 /a+1/b≠0，D錯誤。應選B。

題型10：由充分條件、必要條件求參數的取值范圍

根據充分、必要條件求參數的取值范圍時，先將p，q 等價轉化，再根據充分、必要條件與集合間的關系，將問題轉化為兩個集合之間的包含關系，最后建立關于參數的不等式（組）求解。

例10 若“1≤x≤4”是“a≤x≤a+4”的充分不必要條件，則實數a 的取值范圍是____。

解：因為“1≤x≤4”是“a≤x≤a+4”的充分不必要條件，所以{a≤1，a+4≥4，可得0≤a≤1，即實數a∈[0，1]。

跟蹤訓練10：已知條件p：-1<x<1，q：x>m ，若p 是q 的充分不必要條件，則實數m 的取值范圍是（ ）。

A.[-1，+∞） B.（-∞，-1）

C.（-1，0） D.（-∞，-1]

提示：已知p：-1<x<1，q：x>m ，若p是q 的充分不必要條件，則{x|-1<x<1}?{x|x>m}，所以m ≤-1。應選D。

題型11：全稱量詞命題與存在量詞命題的真假

要判斷一個全稱量詞命題為真命題，需要進行推理證明，或用已經學過的定義、定理進行證明，而要判斷其為假命題，只需舉出一個反例即可。判斷存在量詞命題“?x∈M ，p（x）”的真假的關鍵是探究集合M 中x 的存在性，若找到一個元素x∈M ，使p（x）成立，則該命題是真命題;若不存在x∈M ，使p（x）成立，則該命題是假命題。

例11 下列結論中正確的是（ ）。

A.?n∈N* ，2n2+5n+2能被2整除是真命題

B.?n∈N* ，2n2+5n+2不能被2整除是真命題

C.?n∈N* ，2n2+5n+2不能被2整除是真命題

D.?n∈N* ，2n2+5n+2能被2整除是假命題

解：當n=1時，2n2+5n+2不能被2整除，當n=2 時，2n2 +5n +2 能被2 整除，ABD錯誤，C正確。應選C。

跟蹤訓練11：下列四個命題中的真命題為（ ）。

A.?x0∈Z，1<4x0<3

B.?x0∈Z，4x0+1=0

C.?x∈R，x2-1=0

D.?x∈R，x2-2x+2≥0

提示：由1<4x0<3，可得1/4<x0 <3/4，所以x0 ?Z，A 錯誤。由4x0 +1=0，可得x0=-1/4，所以x0?Z，B 錯誤。由x2-1=0，可得x=±1，C 錯誤。x2-2x+2=（x-1）2+1≥0恒成立，D正確。應選D。

題型12：根據命題的真假求參數

全稱量詞命題的常見題型是“恒成立”問題，全稱量詞命題為真時，意味著命題對應的集合中的每個元素都具有某種性質，所以利用代入可以體現集合中相應元素的具體性質，也可根據函數知識來解決。存在量詞命題的常見題型是以適合某種條件的結論“存在”“不存在”“是否存在”等語句表述。解答這類問題，一般要先對結論作出肯定存在的假設，然后從肯定的假設出發，結合已知條件進行推理證明，若推出合理的結論，則存在性隨之解決;若導致矛盾，則否定了假設。

例12 （1）若命題p：?x0>0，x0+a-1=0為假命題，則實數a 的取值范圍是____。

（2）已知命題p：?a∈R，一元二次方程x2-ax+1=0有實根。若p 是真命題，則實數a 的取值范圍是____。

解：（1）因為p 為假命題，所以﹁p 為真命題，即?x>0，x+a-1≠0。由x ≠1-a在x>0上恒成立，可得1-a≤0，則a≥1。故實數a 的取值范圍是[1，+∞）。

（2）命題p：?a∈R，一元二次方程x2-ax+1=0有實根，若p 是真命題，則命題p 是假命題，所以一元二次方程x2 -ax +1=0沒有實根，即Δ=a2-4<0，解得-2<a<2，所以實數a 的取值范圍是（-2，2）。

跟蹤訓練12：（1）若“?x ∈ [-1，m ]（m >-1），|x|-1>0”是假命題，則實數m的取值范圍是（ ）。

A.（-1，1） B.（-1，1]

C.[1，+∞） D.[0，1]

（2）若命題“?x0∈R，x20+（a-1）x0+1≤0”的否定是真命題，則實數a 的取值范圍是____。

提示：（1）因為“?x ∈ [-1，m ]（m >-1），|x|-1>0”是假命題，所以“?x ∈[-1，m ]（m >-1），|x|-1≤0”是真命題。由|x|-1≤0得-1≤x≤1，所以-1<m ≤1。應選B。

（2）命題“?x0∈R，x20+（a-1）x0+1≤0”的否定是真命題，所以“?x∈R，x2+（a-1）x+1>0”是真命題，所以Δ =（a-1）2 -4<0，解得-1<a<3，則實數a 的取值范圍是（-1，3）。

作者單位：1.河南大學附屬中學

2.河南省開封高中

（責任編輯 郭正華）