Python在應用統計學課程教學中的應用

摘 要：應用統計學是高等院校絕大多數經管類專業的專業基礎課程，對學生統計思想的培養和后續專業課程的學習起著承上啟下的重要作用。文章旨在探討將Python編程技術引入應用統計學課程的教學改革，以抽樣分布（卡方分布、t分布和F分布）為例，深入研究其在統計學課程中的實際應用。通過分析Python在教學中的基礎應用、抽樣分布的應用實踐，以及Python編程技術在教學中的積極影響發現，Python應用能使學生更好地理解抽樣分布的概念、原理，可為高等院校的統計類課程培養數字時代所需人才的改革提供一些參考。

關鍵詞：抽樣分布；卡方分布；t分布；F分布；Python

中圖分類號：TP39；G434 文獻標識碼：A 文章編號：2096-4706（2024）14-0183-07

Application of Python in the Teaching of Applied Statistics Course

GUO Peng

（Xi'an Technology and Business College， Xi'an 710200， China）

Abstract： Applied Statistics is a fundamental course for the majority of economics and management majors in higher education institutions， playing an important role in cultivating students' statistical thinking and studying of subsequent professional courses. This paper aims to explore the teaching reform of introducing Python programming technology into the course of Applied Statistics， using sampling distributions （Chi-square distribution， t distribution， and F distribution） as examples to deeply study their practical applications in statistics courses. By analyzing the basic application of Python in teaching， the practical application of sampling distribution， and the positive impact of Python programming technology in teaching， it is found that Python application can help students better understand the concept and principle of sampling distribution， and provide some reference for the reform of statistical courses in higher education institutions to cultivate talents needed in the digital era.

Keywords： sampling distribution; Chi-square distribution; t distribution; F distribution; Python

0 引 言

隨著計算機技術的迅猛發展，編程語言在統計教學中的應用日益普及。在當今數字化時代，培養學生的數據思維和解決實際問題的能力顯得尤為關鍵。Python作為一門易學易用的編程語言，在數據科學和統計學領域廣受歡迎。本文以Python編程技術為基礎，深入研究其在應用統計學教學中的探索與實踐，特別關注抽樣分布的教學應用，包括卡方分布、t分布和F分布[1]。

通過構建實際問題場景，本文展示了Python技術在統計學教學中的技術優勢。充分利用Python強大的功能，有助于學生更好地理解抽樣分布這一抽象而難以理解的概念，進而提升他們在統計推斷、數據分析和編程方面的能力。將Python作為計算模型學習的工具賦能統計課程教學與實踐[2]，這一教學方法積極地影響了學生的學習效果，使他們能夠更自信、靈活地應對復雜且抽象的統計學問題。同時通過可視化編程技術將統計理論進行圖形圖像數字化表達，這樣的學習體驗不僅有助于拓展學生的認知視野，還為他們在未來的學術和職業領域的研究與工作奠定堅實的基礎。

1 Python在統計教學中的基礎應用

1.1 數據可視化與探索性數據分析

1.1.1 Matplotlib和Seaborn的介紹

作為Python中的繪圖庫，Matplotlib提供了豐富的繪圖工具，能夠創建各種類型的圖表，如折線圖、散點圖等。

Seaborn是建立在Matplotlib之上的高級繪圖庫，簡化了繪圖的流程，并提供了更美觀的默認主題。

1.1.2 繪制直方圖、箱線圖等圖形

使用Matplotlib和Seaborn繪制直方圖，可以直觀展示數據的分布情況，有助于學生理解數據的形態。

利用箱線圖，學生能夠更清晰地識別數據的分散程度和異常值。

從圖1可以更好地了解銷售量的分布情況，發現銷售量在不同范圍內的分布，以此幫助確定銷售量在哪些區間內較為活躍或較為穩定，比如峰值附近的區域表示銷售量較為集中的范圍，對稱分布可能表示銷售量在中心趨勢附近均勻分布，而偏斜分布可能表示銷售量在某一方向上更為集中等。

從圖2可以看到箱型圖提供了有關數據集中趨勢、離散程度和異常值的信息。通過觀察5個學院的英語分數分布箱型圖，可以獲取到各學院英語成績的中位數、分布離散程度、上下四分位數、箱型圖的對稱性以及異常值等重要信息。

1.2 認識抽樣分布

1.2.1 卡方分布

卡方分布（x2分布）是概率論與統計學中常用的一種概率分布。k個獨立的標準正態分布變量的平方和服從自由度為k的卡方分布[3]。

卡方分布常用于假設檢驗和置信區間的計算。

如圖3所示，經過程序實現卡方分布圖形可以看出，每一個自由度決定了一條曲線形狀，當自由度為1、2時顯示為指數曲線，當自由度＞2時，顯示為單峰曲線，隨著自由度逐步變大，曲線峰逐步向右移動，當n趨向于無窮大時，則卡方分布曲線趨近于正態分布[4]。

卡方分布曲線模擬程序如下：

# 生成模擬數據

x = np.arange（0.， 14.， 0.01）

# 自由度（degree=1）的卡方分布隨機數概率密度函數

y = st.chi2.pdf（x， 1）

# annotate函數設置指向概率密度函數曲線的箭頭和文字

plt.figure（figsize=（8， 6））

plt.annotate（"degree=1"， xy=（3， st.chi2.pdf（3， 1）），

xytext=（0.7， st.chi2.pdf（3， 1） - 0.04）， weight="bold"，

color='steelblue'， fontsize=14，

arrowprops=dict（arrowstyle="->"， connectionstyle="arc3"， color="steelblue"））

y1 = st.chi2.pdf（x， 2）

y2 = st.chi2.pdf（x， 4）

y3 = st.chi2.pdf（x， 6）

plt.plot（x， y）

plt.plot（x， y1）

plt.plot（x， y2）

plt.plot（x， y3）

plt.title（"卡方分布概率密度函數"， size=14）

plt.xlabel（"隨機變量"， size=14）

plt.ylabel（"卡方分布概率密度"， size=14）

plt.ylim（0.， 0.4）

plt.show（）

1.2.2 t分布

在概率論和統計學中，t分布（t-distribution）用于根據小樣本來估計呈正態分布且方差未知的總體的均值。如果總體方差已知或者在樣本數量足夠多時，則應該用正態分布來估計總體均值。

t分布曲線形態與n（自由度df）大小有關。與標準正態分布曲線相比，自由度df越小，t分布曲線愈平坦，曲線中間愈低，曲線雙側尾部翹得愈高；自由度df愈大，t分布曲線愈接近正態分布曲線，當自由度df = ∞時，t分布曲線為標準正態分布曲線。

t分布特征為：

1）t分布為一簇曲線，以0為中心，左右對稱。

2）t分布形態與df有關；df越小，t峰越低尾越高。

3）df無窮大時，t分布趨近于標準正態分布N（0，1）。

4）自由度不同，則t分布曲線不同，曲線下95%面積的界值隨著自由度變化，具體可以查t界值表。

t分布的用途主要為對總體均值的估計和假設檢驗（t檢驗）。

從圖4可以看出，不同的自由度會影響t分布的形狀。隨著自由度的增加，t分布的形狀會越來越接近正態分布。

當自由度較小時（例如1或2），t分布的形狀會比較扁平，尾部較厚，這意味著在小樣本情況下，觀測值偏離均值的可能性較大。

當自由度較大時（例如30或更大），t分布的形狀會接近正態分布，此時t檢驗的結果會更穩定。

t分布曲線模擬程序如下：

# 自由度

degrees_of_freedom = [2， 9， 25， 500]

# 生成 x 軸數據

x = np.linspace（-5， 5， 1000）

# 繪制 t 分布曲線

for i， df in enumerate（degrees_of_freedom）：

if df == 500：

plt.plot（x， t.pdf（x， df）， label=f'df = {df}'，

linestyle='solid'）

else：

linestyle = '--' if i % 2 == 0 else '-.' # 切換虛線樣式

plt.plot（x， t.pdf（x， df）， label=f'df = {df}'，

linestyle=linestyle）

# 添加標題和標簽

plt.title（'t Distribution with Different Degrees of Freedom'）

plt.xlabel（'Values'）

plt.ylabel（'Probability Density Function （PDF）'）

# 添加圖例

plt.legend（）

# 顯示圖形

plt.show（）

1.2.3 F分布

F分布是1924年英國統計學家Ronald.A.Fisher爵士提出，并以其姓氏的第一個字母命名的。它是兩個服從卡方分布的獨立隨機變量各除以其自由度后的比值的抽樣分布，是一種非對稱的右偏抽樣分布，由兩個自由度決定分布形狀，當兩個自由度越來越大時，F分布形狀趨近于正態分布。

F分布有著廣泛的應用，如在雙樣本方差F檢驗、回歸方程的顯著性檢驗中都有著重要的地位。

從圖5中可以看出當n和m較小時，F分布曲線呈現偏態分布，且隨著自由度的增加，F分布曲線逐漸接近正態分布的形狀。通過比較不同自由度的F分布曲線，可以了解在不同自由度下F統計量的概率分布情況，從而更準確地判斷兩個總體方差是否存在顯著差異。

F分布曲線模擬程序如下：

plt.figure（figsize=（8， 6））

# 生成模擬數據

x = np.arange（0.， 4.， 0.01） # 隨機數

y = st.f.pdf（x， 3， 20） # 自由度為（3，20）的F分布隨機數概率密度函數

# annotate函數設置指向概率密度函數曲線的箭頭和文字

plt.annotate（"n=3，m=20"， xy=（0.3， st.f.pdf（0.3， 3， 20）），

xytext=（0.3， st.f.pdf（.3， 3， 20） + 0.3）， weight="bold"， color='steelblue'，

fontsize=14，arrowprops=dict（arrowstyle="->"， connectionstyle="arc3"，

color="steelblue"））

y1 = st.f.pdf（x， 7， 20）

y2 = st.f.pdf（x， 20， 20）

y3 = st.f.pdf（x， 20， 7）

plt.plot（x， y）

plt.plot（x， y1）

plt.plot（x， y2）

plt.plot（x， y3）

plt.title（"F分布概率密度函數"， size=14）

plt.xlabel（"隨機變量"， size=14）

plt.ylabel（"F分布概率密度"， size=14）

plt.ylim（0.， 1.1）

plt.show（）

通過繪制這些分布的圖形，可以直觀地觀察和分析數據的分布特征，更好地理解這些分布的特點。同時，可以通過比較模擬數據和理論分布，驗證模擬方法是否準確。在實際應用中，如假設檢驗、置信區間估計等統計推斷方法都需要用到這些分布。通過模擬生成這些分布的數據，可以更好地理解這些方法的工作原理，并在實際項目中進行應用。

2 抽樣分布教學實踐

在概率論和數理統計案例教學中，借助Python科學計算庫Scipy可以實現各類應用的統計分析功能，如假設檢驗、擬合分布、計算置信區間等，幫助研究者更好的理解數據的分布、趨勢和關系，從而更好地進行實際應用的概率計算、數據分析和模型構建[5]。

2.1 卡方分布在假設檢驗中的應用

卡方檢驗是一種非參數統計檢驗，用于確定預期值和觀測值的分布之間是否存在顯著差異，用于檢測觀察到的類別變量的分布是否與期望的不同，分為單因素卡方檢驗（卡方擬合優度檢驗）、雙因素卡方檢驗（卡方獨立性檢驗）[6]。

卡方擬合優度檢驗：依據總體分布狀況，計算出分類變量中各類別的期望頻數，與分布的觀察頻數進行對比，判斷兩者是否有顯著性差異，從而對分類變量進行分析[7]。特指一個分類變量的期望頻數與觀察到的頻數相比較是否存在顯著差異。其自由度df = k - 1，k表示分類變量類型個數，期望頻數=類別比例×觀察總數。

卡方獨立性檢驗：檢驗兩個類別變量之間是否存在關系。其自由度df = （R-1）（C-1），期望頻數= fr fc / n，其中fc表示列頻數和，fr表示行頻數和，n表示觀察值的總數。

以卡方擬合優度檢驗為例，其實現步驟如下：

1）建立假設：

零假設（H0）。兩個分類變量之間沒有顯著差異，即相互獨立。

備擇假設（H1）。兩個分類變量之間存在顯著差異，即相互依賴。

2）計算期望頻數。根據研究的問題和樣本數據的特點，計算期望頻數。期望頻數通過總樣本量乘以每個類別在總樣本中的比例得到，即為期望頻數=類別比例×觀測總數。

3）計算觀察頻數。統計每個類別的觀察頻數，即實際觀測到的頻數。

4）設置顯著性水平。確定顯著性水平（通常為0.05或其他預先選擇的值），以便在假設檢驗中進行比較。

5）計算卡方統計量。使用以下卡方統計量的公式計算觀察頻數與期望頻數之間的差異。

其中，Qi表示觀察頻數，Ei表示期望頻數，總和是針對所有類別的。

6）確定自由度。確定自由度的數量，通常為類別數目減去1，計算自由度df = k - 1，其中k表示類別數目。

7）查找臨界值或計算p值。使用卡方分布表或計算p值來比較計算得到的卡方統計量與臨界值。如果p值小于顯著性水平，拒絕零假設。

8）做出決策。如果p值小于顯著性水平，拒絕零假設，認為觀察頻數與期望頻數存在顯著差異；否則，接受零假設。

2.1.1 實例分析

場景描述：1912年4月15日，一艘乘坐891名乘客的泰坦尼克號與冰山相撞后沉沒。輪船乘客信息包括PassengerId（乘客編號）、Survived（0 =喪生，1 =生還）、Pclass（客艙等級1、2、3）、Name（姓名）、Sex（性別）等信息，如表1所示。

檢驗目的：卡方檢驗是一種用于比較觀察到的頻率和期望頻率之間差異的統計學方法。在實例研究中，利用卡方擬合優度檢驗比較乘客客艙等級對乘客生存（Survived）情況是否有影響[8]。

2.1.2 Python代碼實現

依據卡方擬合優度檢驗實現步驟，通過Python代碼編程實現如下：

#導入數據集

data = pd.read_csv（r"train.csv"， index_col='PassengerId'，

usecols=['PassengerId'， 'Pclass'， 'Survived']）

#計算觀察頻數

PClass_survd = pd.pivot_table（data， index=['Pclass']，

columns=['Survived']， aggfunc='size'）

# 每個客艙等級按行求和，計算每個客艙等級人數占總人數的比例。

pct_class = PClass_survd.sum（axis=1） / 891

# 每個生還情況按列求和，計算生與死人數占總人數的比例。

pct_survived = PClass_survd.sum（axis=0） / 891

#計算期望頻數

exp = round（pct_class.to_frame（） @ （pct_survived.to_frame（）.T） * 891）

# 計算卡方值

Chi_table = （（PClass_survd - exp） ** 2） / exp

#求所有客艙等級每個生還與死亡乘客的卡方值總和

Chi_value = Chi_table.sum（）.sum（）

df=3-1=2# 自由度等于分類變量類型個數-1

p_value = chi2.sf（Chi_value， df）

#計算卡方值與p值

print（"Chi square value is "， Chi_value）

print（"P value is"， p_value）

# Chi square value is 101.87213414657131

# P value is 7.563923715789563e-23

#根據P值，P值遠小于顯著性水平0.05，則拒絕零假設。

#結論：乘客客艙等級與乘客生還情況之間存在顯著差異，即相互依賴。

2.1.3 數據分析結論

經過數據分析，根據卡方擬合優度檢驗，得出結論為艙位等級對幸存者的生存機會具有重要影響。船艙越靠上的乘客幸存率越高，這是因為這些乘客更容易得到救援和生存條件。

基于以上分析，我們可以舉一反三，通過卡方檢驗分析性別、年齡、國籍等不同因素對乘客生存情況的影響程度。

2.2 t分布在假設檢驗中的應用

t檢驗，亦稱student t檢驗，主要用于樣本含量較小（n＜30），總體標準差σ未知的正態分布。它是用t分布理論來推斷差異發生的概率，從而判定兩個平均數的差異是否顯著。t檢驗分為單總體檢驗、雙總體檢驗和配對樣本檢驗。

以單總體檢驗t檢驗為例：

單總體檢驗：比較一個樣本均值所代表的未知總體均值u和已知總體均值μ0是否存在顯著差異。

其實現步驟如下：

1）建立假設：

零假設（H0）。樣本均值等于理論上的總體均值μ0。

備擇假設（H1）。樣本均值不等于理論上的總體均值μ0。

2）選擇顯著性水平。選擇適當的顯著性水平（通常為0.05），表示在統計上認為差異是顯著的。

3）計算樣本統計量。計算樣本均值（）和樣本標準差（s）

4）計算t統計量。使用以下公式計算t統計量：

其中，μ0表示理論上的總體均值，n表示樣本容量。

5）確定自由度。自由度為n - 1，其中n為樣本容量。

6）查找p值。使用t分布表或統計軟件計算t統計量對應的p值。

7）查找p值。使用t分布表或統計軟件計算t統計量對應的p值。

8）做出決策。比較p值與選擇的顯著性水平。如果p值小于顯著性水平，拒絕零假設，認為樣本均值與理論上的總體均值存在顯著差異。

2.2.1 實例分析

場景描述：一家食品加工公司質量控制團隊，負責監測一種產品的凈重是否符合標準。從生產線上隨機選取了一組產品，測量了它們的凈重，通過單總體t檢驗來判斷產品的平均凈重是否等于標準凈重。

檢驗目的：驗證產品的平均凈重是否符合標準凈重。

2.2.2 Python代碼實現

# 設定抽取的凈重數據

net_weights = np.array（[150.2， 151.5， 149.8， 150.0， 150.3， 150.1， 150.4， 149.9， 150.2， 150.6]）

# 設定標準凈重

standard_weight = 150.0

# 執行單總體t檢驗

t_statistic， p_value = ttest_1samp（net_weights， standard_weight）

# 顯示t統計量和p值

print（f"t統計量： {t_statistic}"）

print（f"p值： {p_value}"）

# 判斷顯著性水平為0.05

alpha = 0.05

if p_value< alpha：

print（"拒絕零假設，說明產品的平均凈重與標準凈重存在顯著差異。"）

else：

print（"無法拒絕零假設，沒有足夠證據表明產品的平均凈重與標準凈重存在顯著差異。"）

2.2.3 數據分析結論

程序運行結果如下：

t統計量：1.963 961 012 124 011 2

p值：0.081 126 188 845 830 13

根據實際計算得到的t統計量與臨界值或p值的比較，得出結論：p＞0.05，故無法拒絕零假設，沒有足夠證據表明產品的平均凈重與標準凈重存在顯著差異。

2.3 F分布在假設檢驗中的應用

雙樣本方差F檢驗是一種統計方法，用于檢驗兩個正態總體方差是否存在顯著差異[9]。

以雙樣本方差F檢驗為例，其實現步驟如下：

1）建立假設：

零假設（H0）。兩個總體的方差相等 。

備擇假設（H1）。兩個總體的方差不相等 。

2）選擇顯著性水平。選擇適當的顯著性水平（通常為0.05），表示在統計上認為差異是顯著的。

3）計算F統計量。使用以下公式計算F統計量：

4）查找臨界值。在F分布表中查找臨界值，根據自由度df1與df2，以及選擇的顯著性水平。

5）查找臨界值。如果計算得到的F統計量大于臨界值，則拒絕零假設，認為兩個總體的方差不相等。

如果計算得到的F統計量小于等于臨界值，則不拒絕零假設，認為兩個總體的方差相等。

2.3.1 實例分析

場景描述：兩工廠生產同一份零件且零件尺寸服從正態分布，A生產的16個零件中，均值為3.1，樣本方差為0.04；B生產的25個零件中，均值為3.08，樣本方差為0.09。

檢驗目的：能否在0.05的顯著性水平下認為兩工廠生產零件的誤差（方差）相同？

2.3.2 Python代碼實現

# 樣本A

Mean_A = 3.1

Variance_A = 0.04

n_A = 16

# 樣本B

Mean_B = 3.08

variance_B = 0.09

n_B = 25

# 計算F統計量

F_statistic = variance_A / variance_B

# 計算自由度

df1 = n_A - 1

df2 = n_B - 1

# 查找臨界值，這里使用分位數函數 ppf

alpha = 0.05

critical_value = stats.f.ppf（1 - alpha / 2， df1， df2）

# 判斷是否拒絕零假設

reject_null = abs（F_statistic） >critical_value

print（f"F統計量： {F_statistic}"）

print（f"臨界值： {critical_value}"）

print（"拒絕零假設" if reject_null else "接受零假設"）

2.3.3 數據分析結論

程序運行結果如下：

F統計量：0.444 444 444 444 444 5

臨界值：2.437 429 109 077 491 8

根據實際計算得到的F統計量與臨界值比較，得出結論：F統計量＜臨界值，故接受零假設，沒有充分理由拒絕原假設，因此可以判斷兩工廠生產零件誤差大致相同。

3 教學應用中的問題與改進建議

在教學過程中對于沒有編程基礎或基礎薄弱的學生來說，這種多學科交叉授課模式，學生會感到非常困惑，學習曲線也較陡峭。學生存在無法理解或掌握足夠的知識來處理復雜的數據統計分析和推斷任務，特別是在處理復雜統計模型時，需要一定的編程技巧。另外，在教學中，存在理論學習和實踐操作脫節的問題，如何將統計學的理論知識轉化為Python的實際操作，需要教師精心的教學設計。

對此考慮以下教學建議：

1）循序漸進地教學：根據學生的基礎，在統計學章節知識點教學中從易到難逐步推進和引入更復雜的統計模型和方法。同時，通過大量實例和案例來幫助學生理解和應用。

2）學習不止于課堂，教師可以提供詳細的技術指南，幫助學生解決學習過程中問題。此外，可以利用在線交流的形式，為學生提供實時的技術支持。

3）通過項目或實驗的形式，讓學生將所學的理論知識應用到實際的數據分析中。這不僅可以幫助學生鞏固知識，還可以提高他們的實踐能力和問題解決能力。

4）Python有很多強大的數據可視化庫，如Matplotlib、Seaborn等。教師可以引導學生利用這些工具進行數據可視化，幫助學生更直觀地理解數據和分析結果。

最后，鼓勵學生分組合作，共同解決數據分析問題。培養學生的團隊協作能力，在交流和討論中互相學習、共同進步[10]。

4 結 論

Python編程技術與統計學課程的交叉融合旨在培養學生運用信息技術手段，通過對抽樣分布曲線和實際問題場景的模擬仿真與案例實踐，激發學生對應用統計學的學習興趣。這一整合的教學方法不僅促進了對統計學抽象理論的深刻理解，還使課程內容更為生動有趣，激發了學生的學習熱情，有助于提升學生的動手實踐能力和問題解決能力，使其更好地適應數字時代人才發展的需求，為其未來職業發展奠定堅實的基礎。

參考文獻：

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[5] 賀玲，肖蕾，羅剛，等.案例驅動教學法在Python教學中的應用 [J].微型電腦應用，2021，37（1）：134-136.

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[7] 袁歐，何山.基于python的Z檢驗法和T檢驗法研究 [J].大眾標準化，2022（15）：174-176.

[8] 周步祥，黃河，劉治凡，等.基于假設檢驗的快速事件檢測算法 [J].合肥師范學院學報：工程科學與技術，2020，52（4）：42-48.

[9] 丁建華，李俊.F分布的Excel構建與模擬 [J].韶關學院學報，2019，40（12）：9-12.

[10] 葉小青.Python在《概率論與數理統計》教學中的應用 [J].中外企業家，2020（8）：226-227.

作者簡介：郭鵬（1980.05—），男，漢族，陜西西安人，助教，軟件工程碩士，研究方向：數據挖掘、金融大數據分析。

收稿日期：2023-12-22

基金項目：西安工商學院教育教學改革項目（22YJ14）

DOI：10.19850/j.cnki.2096-4706.2024.14.037