基于MATLAB的“電磁場與電磁波”虛擬仿真實驗設計

摘 要：針對“電磁場與電磁波”課程中存在對數學思維、空間思維要求較高等問題，將MATLAB軟件引入到實驗設計環節，能夠將課程理論知識點具象化，并與實際電磁現象進行聯動；針對課程中矢量分析、電磁場的基本規律、電磁波的傳播等知識點進行MATLAB軟件數學建模，實現系統化虛擬仿真實驗設計；通過對實驗結果的動態展示能夠有效降低學生對麥克斯韋方程組等知識點的理解難度，在有效提升學生學習興趣的同時鍛煉了其動手編程能力，最終提高了實驗教學的質量，對課程建設和實踐具有重要意義。

關鍵詞：電磁場與電磁波；虛擬仿真；MATLAB；實驗設計

中圖分類號：TP391.9；G642 文獻標識碼：A 文章編號：2096-4706（2024）14-0194-05

Design of Virtual Simulation Experiment of“Electromagnetic Field and Electromagnetic Wave”Based on MATLAB

WU Jinlong

（College of Information Science and Engineering， Shanxi Agricultural University， Jinzhong 030801， China）

Abstract： In response to the high requirements for mathematical and spatial thinking in the course of “Electromagnetic Field and Electromagnetic Wave”， MATLAB software is introduced into the experimental design stage， which can concretize the theoretical knowledge points of the course and link them with actual electromagnetic phenomena. It conducts mathematical modeling using MATLAB software for knowledge points such as vector analysis， basic laws of electromagnetic fields， and propagation of electromagnetic waves in the course， and achieves systematic virtual simulation experiment design. The dynamic display of experimental results can effectively reduce the difficulty of students in understanding knowledge points such as Maxwell's system of equations， while effectively enhancing their learning interest and exercising their hands-on programming ability， ultimately improving the quality of experimental teaching， which is of great significance for course construction and practice.

Keywords： electromagnetic field and electromagnetic wave; virtual simulation; MATLAB; experimental design

DOI：10.19850/j.cnki.2096-4706.2024.14.039

0 引 言

“電磁場與電磁波”課程是電子信息類專業中非常重要的一門專業必修課程[1]，該課程詳細介紹了電磁場與電磁波基本規律以及傳播和輻射特性等基本理論。該課程的前導課程為“高等數學”“普通物理學”等[2]，需要學生對基本數學矢量運算和基本電磁分布規律有一定的基礎，同時本課程的后續課程為“微波原理”“光纖通信”等，要保證學生在學習完該課程后有較強的電磁建模分析能力。在教師講授和學生學習過程中，發現了兩大問題，一是對數學思維要求較高，學生需要具備較強的矢量和微積分計算能力，需要在課堂上不斷對基礎知識進行回顧，幫助學生理解，二是對空間思維能力要求較高，本門課程的主要思路是利用麥克斯韋方程組等理論分析三維空間中實際電磁場與電磁波的分布規律[3]，要求建立數學知識與空間分布的聯系，將數學公式賦予實際電磁意義。為了能夠在實際教學工作中解決以上問題，需要在課堂中不斷對偏微分方程組進行數學空間建模，通過繪圖、動畫等方式輔助講授，加深學生對知識理解的同時提高學生學習興趣。而MATLAB軟件[4-5]是目前較為常用的工程計算軟件，被廣泛應用到自動控制、圖像處理等多個領域。將MATLAB軟件引入到“電磁場與電磁波”的實驗教學過程中，能夠有效建立課程基礎理論與實際電磁現象之間的聯動。目前常見的教材以及資料中，雖然已經取得了一定的教學實踐成果，但并未形成完整的教學體系，本文的研究目的是對“電磁場與電磁波”課程中的知識點進行梳理，保障知識點之間的連貫性，同時利用MATLAB軟件將常用知識點進行虛擬仿真，提高電磁現象的數學描述與實際空間分布情況之間的匹配度，形成一套完整的虛擬仿真實驗教學指導。

1 MATLAB軟件電磁仿真實驗設計

“電磁場與電磁波”的主要內容包括矢量分析基礎、電磁場的基本規律、電磁波的傳播等[6-7]，在課堂講授過程中以麥克斯韋方程組為基礎，通過公式推導和動畫演示相結合的方法進行講授，雖然能夠幫助學生理解相關知識點，但卻無法解決學生將公式與電磁現象聯系起來的難題。因此，本文采用MATLAB軟件將麥克斯韋方程組應用電磁現象的公式推導過程進行虛擬仿真，將復雜的公式推導進行形象立體展示，使學生更加容易理解的同時增加學習興趣，鍛煉了實踐動手能力。本文根據電子類本科生培養方案和“電磁場與電磁波”課程大綱要求，設計了如下幾個具體實驗。

1.1 矢量分析

矢量分析是研究電磁場在空間的分布和變化規律的一個非常重要的分析工具[8]，標量場u（x，y，z）（電位、標量磁位）的空間分布通常采用梯度進行描述，而矢量場 （x，y，z）（電場、磁場）在空間中的變化則采用散度和旋度來表示，且根據亥姆霍茲定理可得，矢量場可由其散度、旋度和邊界條件來確定。因此，在矢量分析中，本文設計了梯度、散度和旋度三個實驗。

標量場的分布情況可以采用等值面進行表示，圖1為電偶極子的電位分布情況，電位場為標量場，圖中的實線表示的是等電位面，通常認為等電位越稀疏，電位變化越慢，電場強度越小。標量場的梯度描述的是標量場在某點的最大變化率以及變化最大的方向，通常分為梯度的方向垂直于過該點的等值面，且指向標量增加的方向，其計算方法如式（1）所示：

（1）

矢量場的分布通常采用通量表示，當穿過閉合曲面的通量大于0，則說明該空間中存在能夠發出矢量線的源。但是矢量場的通量是一個積分量，不能反映場域內每一點的通量特性，因此要引入矢量場的散度。散度是通量在某一點的極限值，當散度大于0則認為該點存在能夠發出矢量線的源，其計算方法如式（2）所示：

（2）

矢量場的散度可以描述電場的分布情況，卻無法描述磁場的分布情況。通電直導線周圍磁力線是閉合曲線，采用通量描述其分布情況時，結果始終為0。因此引入矢量場的旋度，描述通電直導線周圍的磁場分布情況，將產生這類磁場的源稱為漩渦源。旋度的計算方法如式（3）所示：

（3）

針對矢量分析的相關知識，采用MATLAB軟件實現對計算公式的展示。對于標量場的梯度，標量場選用電偶極子的電位分布φ（x，y，z），其中電偶極子正電荷位于（1，0，0），負電荷位于（-1，0，0），其電位函數的求解方法如式（4）所示。為了描述其電位的分布情況，利用MATLAB軟件求解其梯度，具體仿真結果如圖1所示。

（4）

圖1能夠清晰反映出電偶極子的電位分布情況，其中箭頭表示電位梯度（電場強度）的具體情況。矢量場的散度和旋度能夠描述矢量的分布情況，因此在實驗中定義一個矢量場 （x，y，z），具體為 （cos（x + 2y） +（sin（x - 2）*y）），利用MATLAB軟件分別求解其散度和旋度，其具體分布情況如圖2所示，可以發現在該矢量場中在散度最小的位置其旋度最大，而旋度最小的位置散度最大，滿足矢量場的分布情況。

（a）散度

（b）旋度

1.2 均勻平面波在無界媒質中傳播

為了探索電磁波的傳播特性，本文采用均勻平面波進行無界媒質中的傳播仿真研究，均勻平面波[9]指的是在等相位面上電場和磁場方向、振幅都保持一致的平面波，是一種理想狀態，能夠表征電磁波的重要特性。通過對麥克斯韋方程組和亥姆霍茲方程等的推導分析，為了簡化推導過程，在分析過程中認為均勻平面波是在理想介質中傳播的，無能量損耗。假設均勻平面波沿z軸傳播，其中電場分量的波動方向沿x軸方向。最終得到均勻平面波的電場分量的瞬時表達式為式（5）所示：

（5）

利用麥克斯韋方程 ，求解可得磁場分量的瞬時表達式為式（6）所示：

（6）

由上式得，電場分量和磁場分量的相位均為?x，且電場分量和磁場分量相互垂直，其波動方向分別沿x軸和y軸。對式（5）（6）進行MATLAB虛擬仿真，具體結果如圖3（a）所示，可以發現電場分量和磁場分量相互垂直，且兩個分量之間是同相位的，與理論方程相呼應，同時與實際電磁現象相似。但是，理想介質是一種假設狀態，需將上述實驗進行改進，使其滿足在實際物理環境中的電磁波傳播特性。將理想介質替換為現實世界中常見的導電媒質，由于導電媒質中傳導電流存在 ，意味著在傳播過程中會有能量損耗，對方程組進行修正，即可得到其具體表達式，結果為：，在振幅前增加了衰減因子e-az，具體意義為電磁波在沿著z軸傳播的過程中，其振幅會隨著z的增加呈指數衰減。仿真實驗結果如圖3（b）所示，電磁波隨著傳播方向不斷傳播，其振幅不斷減少，能量發生損耗，滿足實驗設計需求。均勻平面波的傳播特性如圖3所示。

（a）理想介質

（b）導電媒質

為了詳細分析電磁波的具體波動規律，且電場分量和磁場分量在表達式有很多類似之處，因此在分析波動過程中可以單獨分析其電場分量的規律，再推廣至磁場分量中。由于電磁波的電場分量在x軸和y軸的投影分量振幅、相位不一定相同，因此，在分析波動規律時其合成波會呈現不同的現象。在空間任意給定點上，合成波電場強度矢量的大小和方向都可能會隨時間而變化，這種現象稱為電磁波的極化。電磁波極化如圖4所示，電磁波的極化是電磁理論中的重要概念，能夠表征在空間給定點上電場強度矢量的取向隨時間變化的特性，并用電場矢量的端點隨時間變化的軌跡來描述。按照軌跡可分為：1）直線極化，軌跡為直線；2）圓極化，軌跡為圓，分為左旋和右旋；

3）橢圓極化，軌跡為橢圓。當電場x分量與y分量的相位差為0或者正負π時，合成波為直線極化波，具體仿真結果如圖4（a）所示；當電場x分量與y分量的振幅相等，且相位差為正負π/2時，合成波為圓極化波，具體仿真結果如圖4（b）所示；而當電場x分量和y分量不相等，且相位差均不滿足上述兩種情況時，其合成波則為橢圓極化波。

（a）直線極化波

（b）圓極化波

1.3 均勻平面的反射與透射

電磁波在傳播過程中會經過不同的媒質，在遇到媒質分界面時，部分電磁能量對分界面反射，形成反射波；而另一部分電磁能量將透過分界面繼續傳播，形成透射波，入射形式分為垂直入射和斜入射[10]。通過對麥克斯韋方程組以及邊界問題的分析，可知在分界平面上的反射系數與透射系數與分界平面的兩種媒質相關，具體的反射系數為 和透射系數為 ，然后根據媒質的不同情況進行分析。

當電磁波對理想導體平面進行垂直入射時，媒質1為理想介質，其電導率為0，媒質2為理想導體，電導率為無窮大，理想導體的η2c為0，求解可得反射率為1，透射率為0。因此當電磁波對理想導體平面垂直入射時，理想導體中無電磁波存在，將發生全反射現象，如圖5所示。

將媒質1和媒質2的入射波和反射波進行合成，其合成波電場分量為 ×

。合成波振幅為2Eimsin（β1z），可以發現在傳播方向上即z軸上沒有發生移動，只是在原來位置震動，稱為駐波。當電磁波對理想介質垂直入射時，將其代入反射系數和透射系數公式，發現同時存在入射波、反射波和透射波。對這兩種情況進行仿真，假設媒質分界面為z = 0平面，當z＞0時為媒質1，當z＜0為媒質2，其傳播方向為z軸方向。當媒質2為理想導體時，發生駐波現象，其具體仿真結果如圖5（a）所示，可以發現當z＜0時，無電磁波存在，與發生全反射現象相對應；當媒質2為理想介質時，入射波、反射波、透射波均存在，具體結果如圖5（b）所示。

（a）理想導體

（b）理想介質

當均勻平面波對理想導體斜入射時，可將均勻平面波拆分為垂直極化波和水平極化波，本文研究垂直極化波對理想導體表面的斜入射。由于理想導體的特殊性，依然沒有透射波存在，分析過程主要為入射波和反射波，其表達式為入射波為 ，反射波為 ，為了保證能夠動態顯示入射效果和反射效果，需要對其進行時間設置，當入射波未到達分界面時，只有入射波，當到達分界面后，才有反射波，具體實驗結果如圖6所示。

2 結 論

本文對“電磁場與電磁波”課程中的矢量分析、均勻平面波的傳播、反射與透射等基礎知識進行了梳理，采用MATLAB軟件對基本的電磁現象進行三維數學建模，將煩瑣的方程組轉化為形象生動的三維動畫，與實際電磁現象進行對比研究。通過MATLAB軟件對知識點的虛擬仿真，實現麥克斯韋方程組的動圖展現，在教授過程中不再讓學生困惑在復雜的公式推導中，讓學生更加直觀的理解麥克斯韋方程組在各種物理現象中的應用，激發了學生的學習熱情，提高學習興趣，同時鍛煉了學生發現問題、利用編程思維解決問題的能力。

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作者簡介：武錦龍（1990—），男，漢族，山西太谷人，講師，碩士，主要研究方向：電磁場與電磁波的教學、遙感技術的研究。

收稿日期：2024-03-27

基金項目：山西省教育科學“十四五”規劃2023年度規劃課題（GH-230199）；山西農業大學教學改革研究項目（YB-202132）；山西農業大學科技創新基金項目（2019023）