素養導向下的單元整體教學設計

［摘 要］ 單元教學是落實學科核心素養、實現學科育人的基礎和重要路徑. 文章以數學學科核心素養為導向，以“三角公式”為例，通過問題串引導教學，將碎片化學習轉變為結構化學習，確保核心素養在課堂中得到實施.

［關鍵詞］ 核心素養；單元整體教學；三角公式

引言

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（下文簡稱新課標）強調高中數學課程以學生發展為本，落實立德樹人根本任務，培育科學精神和創新意識，提升數學學科核心素養［1］10. 本文提出按主線設置課程體系，將知識整體化、結構化，促使課程教學設計從關注單個知識點轉向關注單元整體設計［2］. 在學生已有知識和發展水平上，將數學知識分成不同的單元，搭建起一個由單元大主題統領，各子主題相互關聯，邏輯清晰的教學單元，促進學生建構知識框架和認知框架［3］.

本文重新整合三角函數知識，以數學學科核心素養為導向，從單元整體教學視角探討“三角公式”的教學.

“三角公式”單元整體教學設計

1. 單元主題生成

“三角函數”是人教A版（2019）高中數學必修第一冊教材第五章的內容. 本章內容包括“三角函數的圖象與性質”和“三角公式”兩大模塊，現抽取“三角公式”作為教學主題，引導學生基于三角函數定義推導三角公式，理解同角三角函數、誘導公式和三角恒等變換的關聯. 根據教學內容建立以“三角公式”為單元主題的教學結構，如圖1所示.

2. 單元教學內容分析

三角公式是三角函數的重要部分，從三角函數這章的內部結構來看，三角公式的產生和發展遵循一定的邏輯順序.

首先，基于學生對角的認識和理解，結合日常周期性現象構建模型，產生認知沖突，從而引入任意角的概念；為了統一單位，引入弧度制；結合數學模型，以單位圓為工具獲得三角函數的定義，發現同角三角函數的基本關系.

其次，引導學生發現當兩個角的終邊相同或在特殊位置時，對應的三角函數值之間的關系，推導出誘導公式.

最后，探討任意兩角的和（或差）的函數值及二倍角、半角公式.深入剖析知識間的聯系，厘清知識間的脈絡，以問題串的形式層層遞進，激發學生的探究欲，促進數學核心素養的發展.

3. 單元整體教學過程

（1）情境創設

核心素養的培養落實在發現問題、思考問題、解決問題的過程中，通過合理的設置引導學生學會用數學思維思考問題，是落實核心素養的保障［4］. 本單元的教學情境設置可做如下考慮.

情境1 如圖2所示，單擺從某時開始每秒來回擺動一次，如何刻畫單擺離開平衡位置O的位移s（單位：m）與時間t（單位：s）的關系？

情境2 如圖3所示，設筒車上每一個水桶都做勻速圓周運動，每6分鐘轉一圈，如何刻畫水桶距離水面的相對高度h（單位：m）與時間t（單位：s）的關系？

思考 這兩個現象有什么共同特征？

設計意圖 上述兩個情境不能用熟知的函數模型刻畫，從而引發學生認知沖突，讓學生體會學習新函數的必要性.

（2）模型建構

如圖4所示，設筒車做勻速圓周運動，中心為O，轉輪半徑為10 m，每6分鐘轉一圈，水桶為點P，從初始位置A（OA與水面平行）開始逆時針轉動.

問題1 一段時間后，如何計算水桶轉動的圈數？此時點P距離水面的高度是多少？

為方便計算，把10 m記為1（單位：10 m），以O為原點，水平方向為x軸，豎直方向為y軸，建立平面直角坐標系，如圖5所示.

思考 ①如何刻畫水桶轉動的圈數？②點P的高度由幾個量刻畫？③h（單位：m），t（單位：s）與水桶轉動的圈數有何關系？

設計意圖 將實際情境抽象成數學問題，引發學生思考幾個變量間的關系，可知時間t（單位：s）與水桶轉動的圈數相互對應；時間可以確定高度，但高度不能確定時間.通過動態展示，引導學生發現∠AOP與時間和圈數也相互對應，以此引發學生認知沖突.

追問1：初中學習的角的范圍是多少？這個范圍能描述筒車旋轉嗎？

設計意圖 隨著時間變化，初中學習的角不足以描述筒車旋轉，因此需要擴展角的定義，引入任意角的概念.

追問2：筒車上一點從初始位置A逆時針轉動到點P（如圖5所示），點P的位置由哪些量確定？

引導學生建構平面直角坐標系，發現點P的位置與圓半徑、∠AOP或有關.

設計意圖 將筒車轉動問題抽象成數學問題，發現點P的位置可以用角度或弧度刻畫，但是進制不統一，導致研究不便，需學習新知識以理解引入弧度制的必要性.

追問3：我們能否用十進制的實數來度量角的大小呢？

引入弧度制：用弧度作為單位度量角，長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，記為1 rad. 角度與弧度的換算：1°= rad，1 rad=

°.

設計意圖 引導學生探究圓中弧長與角度的關系，并通過動態演示揭示角度與弧度的轉換，從而介紹弧度制.

（3）知識探究

問題2 按照圖5建立平面直角坐標系，設轉輪半徑為1（單位：10 m），設∠AOP=α（單位：弧度），若α取，，，點P分別處于什么位置？若α為任意角，如何刻畫點P的位置？

引入幾個特殊的角，發現點P的位置由其坐標確定，由此得到三角函數的概念：把點P的縱坐標y叫做α的正弦函數，即y=sinα；把點P的橫坐標x叫做α的余弦函數，即x=cosα；把點P的縱坐標與橫坐標的比值叫做α的正切，即=tanα（x≠0）.

設計意圖 先引入幾個特殊的角進行探究，讓學生發現用角α可以確定點P的位置；再以動態演示的方式呈現點P的運動過程，建立點P的橫、縱坐標與角α的函數關系.

問題3 當點P在單位圓上逆時針轉動角α時，點P到圓心O的距離能否用三角函數值表示呢？

基于三角函數的定義，計算點P的坐標，然后應用兩點間的距離公式求得OP的長度，由此得到同角三角函數的基本關系：sin2α+cos2α=1，tanα=

α≠kπ+，k∈Z

.

思考 若圓的半徑為r，上述式子還成立嗎？

設計意圖 先引導學生思考點P到圓心O的距離（圓的半徑）是否也與三角函數值有關，促使他們探究同角三角函數的基本關系；接著引導學生思考圓半徑任意時同角三角函數的基本關系式是否仍然成立，讓學生發現同角三角函數的基本關系式與角α有關，與圓的半徑無關.

問題4 基于三角函數的概念可知，三角函數值與角的終邊有關，若兩個角的終邊相同或處于特殊位置時，對應角的三角函數值有什么關系？

根據三角函數的定義可知，終邊相同的角的同一三角函數的值相等，由此得到誘導公式一；角α的終邊關于原點、x軸、y軸和y=x對稱，可得角π+α，-α，π-α和-α的終邊，由此得到誘導公式二～公式五；角-α的終邊關于y軸對稱，可得角+α的終邊，由此得到誘導公式六.

設計意圖 由三角函數的定義可知，三角函數的概念是用角的終邊與單位圓的交點刻畫的，因此在探究過程中觀察終邊相同或對稱時，點坐標之間的關系，深化學生對三角函數的理解.

問題5 觀察誘導公式發現，角α與特殊角π，的和（差）的三角函數與角α的三角函數有一定關系，那么角α與任意角β的和（差）的三角函數與角α，β的三角函數是否也有一定關系？

追問：①若角α等于角β，它們之間的關系又是怎樣的呢？②和（差）角公式通過怎樣的運算能得到積化和差公式？

以三角函數概念和誘導公式為基礎，結合圓的對稱性，利用坐標法證明和（差）角公式，再將β特殊化，推導出二倍角公式. 觀察和（差）角公式的公共部分，通過相加減得到積化和差公式.

設計意圖 先觀察誘導公式中各特殊角與任意角α的和（差）角關系式，從而思考探究和（差）角公式；然后結合三角函數的概念，發現其本質是找到角的終邊與單位圓的相交點的坐標，利用坐標法推導出兩角和與差的余弦公式，進而推導出兩角和與差的正弦、正切公式；最后引導學生觀察和（差）角公式，推導出二倍角公式和積化和差公式.

教學感悟與反思

新課標提出：整體把握教學內容，促進數學學科核心素養連續性和階段性發展［1］82. 鑒于此，圍繞三角公式展開整體教學，有助于學生構建連貫、整合的知識結構，落實數學學科核心素養.

1. 創設主題情境，指向問題解決

數學知識與實際生活密切相關，基于此，通過圍繞大主題的數學情境教學，學生能多角度分析問題，建立穩定的知識結構和價值觀. 比如“三角公式”教學，通過觀察筒車轉動，將日常生活問題抽象為數學問題，從而引入任意角和弧度制的概念. 將實際問題數學化，再將數學問題生活化，相互貫通，潛移默化地發展學生的數學建模素養，提高學生用數學知識解決問題的能力.

2. 關注知識聯系，創造解決條件

數學知識本身具有一定的邏輯性，因此，在單元整體教學視角下，要剖析大主題內各子主題間的關系，引導學生建構更加全面和完整的知識體系.比如基于三角函數的定義提出問題：當兩個角的終邊相同或處于特殊位置時，對應的三角函數值有什么關系？通過三角函數的定義發現三角函數值與角的終邊有關，以此引發學生重點探究角的終邊處于特殊位置（如關于原點對稱等）時相應三角函數值之間的關系，進而為誘導公式的推導創造條件.因此，在大單元指引下，教師站在整體的高度俯瞰知識間的聯系，實現重點突出、安排合理、生成自然.

3. 踐行學生為本，推動素養發展

單元整體教學并非簡單地把幾節課內容進行疊加，而是以知識間的邏輯關系為基礎進行串聯，以學生的認知發展為基礎，圍繞一大主題進行解析，將相互關聯的主題以合理的方式進行組合.比如先由初中學習的角、角度制過渡到任意角和弧度制，再以三角函數的定義為基礎推導誘導公式……在“三角公式”教學中，以學生為本，建構一系列問題串，引發學生思考、探究，幫助學生有層次、系統性地圍繞一個主題開展學習，為學生探索關鍵知識、發展數學素養奠定基礎.

4. 規劃單元教學，體現育人價值

單元教學有利于整體規劃核心素養的發展，有利于借助大背景、大問題、大思路、大框架進行高觀點統領、思想性駕馭、結構化關聯，能有效規避傳統的課時教學整體感不強、知識分解過度、學習碎片化、教學效益低下的現象［5］. 教師可在單元教學中幫助學生掌握知識結構，聯系實際生活，促進認知發展，提升能力和素養.

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 喻平. 學科核心素養導向的教學理論嬗變［J］. 教育發展研究，2022，40（Z2）：78-85.

［3］ 嚴艷. 單元整體教學中核心素養目標的落實：以“分式”單元起始課為例［J］. 中學數學教學參考，2020（20）：25-27.

［4］ 魏侹路. 單元教學設計助力發展學科核心素養：以“三角函數”為例［J］. 數學教學通訊，2021（33）：12-14+26.

［5］ 曾榮. 單元教學的整體設計與課時實施：以“圓錐曲線”單元教學為例［J］. 數學通報，2021，60（3）：33-37.