立足體驗式學習，發展數學學科核心素養

［摘 要］ 新課改推動下，體驗式學習模式備受教育工作者關注. 體驗式學習模式不僅能有效提高學生對知識的理解能力、動手操作能力與感悟能力，還能促使學生多維度觀察與分析問題，自主探索解決問題的方法，發展學科核心素養. 研究者以“平面向量基本定理”教學為例，分別從教學分析、教學簡錄與教學感悟三個方面展開探索.

［關鍵詞］ 體驗式學習；平面向量基本定理；核心素養

體驗式學習是指教師創設情境，調動學生感官，讓學生在真實體驗中完成學習任務. 體驗式學習模式同樣遵循新課標倡導的“以生為本”原則，通過授課環境與模式的設置，促使學生親歷知識形成與發展的過程，為更好地掌握知識本質、發展數學學科核心素養奠定基礎. 本文以“平面向量基本定理”教學為例，探討體驗式學習模式在數學學科核心素養培養中的應用.

教學分析

1. 教材分析

向量是高中階段的重要教學內容之一，是幾何與代數的橋梁. 平面向量基本定理是表示向量坐標的基礎，也是向量共線的推廣. 在本節課前，學生已接觸過向量幾何表示法，本節課學習向量的代數特征. 根據新課標要求，可確定本節課的教學目標是：①理解平面向量基本定理及其意義，可用平面向量基本定理解決一些實際問題；②體驗平面向量基本定理的形成過程，提煉特殊到一般的數學思想方法，發展嚴謹的探究精神.

2. 學情分析

雖然在本節課前學生已接觸過集合、函數、平面向量概念等知識，但這些都是具體內容，本節課研究的平面向量基本定理比較抽象，需要借助邏輯抽象能力與空間想象能力去理解，有一定難度. 同時，平面向量基本定理的形成過程，學生也難以掌握.

教學簡錄

1. 教學片段1：創設情境

用多媒體展示圖1后提出相應問題.

問題1 如圖1所示，此為一組火箭炮，具有攻擊性. 已知該火箭炮在升空中的某一時刻，其速度能分解為水平向前和豎直朝上兩個分速度. 若火箭炮發射后的某一時刻的速度為v，其水平向前和豎直朝上的兩個分速度分別為vx，vy，請用含vx，vy的式子來表達v. 兩個不共線的單位向量分別用字母i，j表示，請根據圖示用含i，j的式子來表達v.

問題2 將一個三角形支架ABC安裝在墻壁上（如圖2所示），在B處掛上一個金屬球，所受重力為W，將其分解成F1，F2，請用含F1，F2的式子來表達W. 如果用兩個不共線的單位向量e1，e2來表達W，請結合圖示列式.

師：若忽略物理上的意義，純粹從向量的角度分析，以上兩個問題能說明什么？據此你們還可以提出一些新問題嗎？

生1：能否將零向量分解成兩個不共線向量的線性之和？（答案：可分解，需結合特殊情形進行分析.）

生2：一般情況下為什么不能將任意向量分解成兩個共線向量的線性之和呢？

生3：為什么不分析三個向量的線性之和呢？（答案：不符合最簡原則.）

學生針對自己所提出的問題進行交流，最終得到的答案是：任意向量均可分解成兩個不共線向量的線性之和.

設計意圖 火箭炮與三角形支架的成功創設激發了學生的探索熱情，使學生在實際情境中發現問題、提出問題、分析問題并解決問題. 特別地，自主提出問題為學生思維提供了廣闊空間.

2. 教學片段2：實操活動

問題3 如圖3所示，e1，e2為兩個不共線的向量，請用e1，e2線性表示向量與，并畫圖說明.

問題4 若在圖3中任意畫一個向量a，能否用e1，e2線性表示？若能，請畫圖并列式；若不能，請說明理由.

設計意圖 問題3和問題4均要求學生親歷畫圖過程. 問題3意在引導學生體會不共線向量能夠表示平面內的給定向量，而問題4意在引導學生感知不共線向量可表示平面內的任一向量，這種任意性需借助符號語言來刻畫.

上述兩個教學片段的應用，一方面增強學生對平面向量的直觀感知，另一方面讓學生親歷操作過程，發展學生的思維，并引導學生深刻理解“在一個平面內，任一向量均可用不共線的向量e1，e2線性表示”的原理，為后續實際應用做鋪墊.

3. 教學片段3：建構基本定理

問題5 請概括問題4的結論，思考a=λe1+λe2中的λ，λ是否具有唯一性，理由是什么？

問題6 如圖4所示，平面內有任一向量a，且向量e1，e2不共線，請用e1，e2線性表示向量a，并畫圖列式.

學生合作交流，教師適當引導，獲得平面向量基本定理（略），隨后提出幾個問題夯實學生的知識基礎.

問題7 分析平面內兩個共線的向量是否可成為一組基底，分析基底必須滿足什么條件. （結論：作為基地的e1，e2不共線. ）

問題8 一個平面內的基底是否具有唯一性呢？一個平面內存在幾組基底？

問題9 當λ=0時，a=λe1，從這組數據能看出什么？請結合實際分析平面向量基本定理與向量共線定理的異同點.

當學生順利解決完上述問題后，教師鼓勵學生又提出兩個問題：①平面內的零向量能不能作為基底中的一個向量？②若平面內有兩個相互垂直的向量，它們能不能作為一組基底？

探索完上述問題后，教師追問道：本節課我們所探索的基底與之前接觸過的什么內容具有相似性？

生4：與直角坐標系相似，且與課堂開頭的火箭炮情境相呼應.

在此基礎上，師生共同定義向量的正交分解（過程略）.

設計意圖 問題5意在引導學生自主分析λ，λ是否具有唯一性，為什么唯一，鼓勵學生應用數學語言抽象平面向量基本定理，從而發展學生的數學抽象素養. 問題6使學生初步得知本節課的教學內容——平面向量基本定理，緊接其后的三個問題，是對該定理的有效補充. 學生在問題引導下發展思維，深化對定理的理解. 特別是教師的追問，鼓勵學生廣泛思考，解決疑惑，體現了“以人為本”教育理念.

4. 教學片段4：應用定理

例1 如圖5所示，已知平行四邊形ABCD的兩條對角線相交于點M，設=a，=b，那么，如何用基底｛a，b｝來表示，，，？

例2 如圖6所示，將一個質量為m的長方體靜置于斜面，已知斜面和水平面的夾角為θ，那么斜面對物體的摩擦力

等于多少？

變式題1：倘若m為2，θ為30°，求f的方向與大小，并分析斜面對物體的支撐力的方向與大小.

變式題2：倘若m為2，θ為60°，求f的方向與大小，并分析斜面對物體的支撐力的方向與大小.

要求學生總結例題與變式題透露的信息，并進行合理解釋. 總結：當斜面的傾斜度越大時，物體在斜面受到的摩擦力就越大，支撐力越小. 具體可從函數單調性的角度進行分析：正弦函數y=sinθ在

0，

上單調遞增，余弦函數y=cosθ在

0，

上單調遞減.

例3 已知｛e1，e2｝為平面內的一組基底，若=3e1-2e2，=4e1+e2，=8e1-9e2，請證明點A，B，D共線.

變式題：如圖7所示，已知點M位于平行四邊形ABCD中AB邊的延長線上，MB=AB，點N位于BC上，NB=BC，請用向量法證明點D，M，N共線.

順利解題后，要求學生分析例3與其變式題之間的異同點.

設計意圖 例1借助平行四邊形引導學生感知平面向量基本定理，例2意在引發學生從感性思維上升到理性思維，例3則引導學生學會用平面向量證明三點共線的基本方法，變式題意在引發學生通過自主對比，更深層次理解基底的內涵.

教學感悟

1. 情境是獲得感性認識的基礎

體驗式學習強調情境的作用，有效的問題情境是數學教學的重要手段之一. 一般情境著眼于教情與學情，以激趣啟思、引發探究為目的，學生從豐富的情境中感知知識的魅力，形成知識感性認識，為理性思考奠定基礎.

本節課，根據教學內容特點與學生的實際認知水平，教師在課堂開頭設計了兩個直觀且與生活息息相關的情境，成功激發了學生的探究熱情，使學生從熟悉的情境著手分析圖形，并用數字刻畫出其中的數量關系，對向量的基本定理產生初步認識. 如此設計，既彰顯數學與生活密不可分的聯系，又提高學生對向量研究的興趣.

2. 實操是獲得更多體驗的關鍵

對于教學活動而言，體驗與感悟是學生記憶和理解知識的基礎. 積極學習體驗促使學生感悟教學內容，奠定長時記憶與應用基礎. 然而，在知識本位教學模式下，有些教師為了節省課堂時間，用直接解析代替學生思考，這就導致學生缺乏自主體驗與感悟，限制了思維發展. 相反，實踐操作活動的開展，學生在積極參與中思考與分析、體驗與感悟知識的來龍去脈，是促進深度學習的基礎.

本節課，教學片段2中的問題2、問題3要求學生畫圖、列式并計算，不僅凸顯從特殊到一般的向量線性表示，還通過具體化，使學生更好地理解平面向量基本定理. 同時，操作活動幫助學生積累學習經驗，感悟平面向量基本定理的發展，深入理解平面向量基本定理.

3. 解題是形成數學能力的渠道

解題能力體現了學生思維的真實情況，發展學生的數學思維是數學教育的目標之一. 數學學習過程以知識為載體，學生經歷觀察、感知、類比、抽象與演繹的過程，這是促進學生思維發展的關鍵. 例題教學能增強學生的學習體驗，學生通過對例題的思考與分析，不僅能獲得高階的數學思維，還能形成良好的數學品質與探索精神，為發展數學學科核心素養奠定基礎.

本節課，教學片段3中的問題5、問題6旨在引導學生嘗試歸納平面向量基本定理，這對發展學生的數學抽象素養與語言表達能力具有重要意義. 而后，提出逐層遞進的三個問題，以幫助學生突破本節課的教學重點與難點，更好地掌握平面向量基本定理，這是發展學生應用能力的關鍵.

總之，立足體驗式教學，將“以生為本”教學理念置于教學首位，根據學生的認知水平與思維發展情況展開教學是提升教學質量、發展學力的重要舉措. 教師應勤思考、多反思，結合學情、教情與考情設計教學方案，盡可能增強學生在課堂中的體驗與感悟，這是促進學生數學學科核心素養發展的關鍵.