滲透類比思想 發展核心素養

［摘 要］ 高中數學知識量大且深奧，想要在短時間內掌握并應用新知，最好的方法就是在原有認知體系上，將類比源與靶對象有機地融合在一起進行類比分析，提煉并建構新知. 文章從類比程序出發，以“空間向量及其加減運算”教學為例，具體從三個階段探討如何將類比思想融入教學中，以提升學生的數學學科核心素養.

［關鍵詞］ 類比思想；教學；空間向量

亞里士多德曾提出：學習應從相似的內容出發，雖然它們之間相距甚遠. 這句話詮釋了類比的核心就是將相似對象的信息相互轉移. 類比思想是誘發學生產生靈感的主要源泉，如萊布尼茨就是受中國八卦圖的啟發，圓滿解決了創建二進制數所遇到的障礙.

類比程序

想要發展學生的數學類比思想，關鍵在于培養學生的類比思維. 一般而言，類比程序主要有如下三個階段：①緊扣數學事物的特征，聯想與它相關的內容；②借助類比猜想，證明結論；③嘗試用所得結論解決實際問題［1］.

教學分析

本節課比較特殊，既是學生初次應用向量法解決立體幾何的一節課，又是應用“歐幾里得公理化體系”之外的代數法實施運算的起始課，還是學生從幾何直觀想象轉化到抽象的邏輯推理的轉折課. 體驗類比思想在解決空間幾何問題中的便利，對提升學生的空間想象、邏輯推理、數學抽象等能力具有重要意義. 因此，本節課具有示范價值，是將向量從“三維”推廣到“n維”的基礎.

教學簡錄

1. 問題情境，揭露課題

師：現在回顧一下我們學過的數學知識類別及其間的聯系方法.

這是開放性問題情境，涉及面很廣，學生回答豐富，如代數、幾何、數列、函數、方程、向量等. 經討論，學生一致認為是數學思想將這些看似無關的數學知識串聯起來，如常見的數形結合思想、化歸思想、類比思想、轉化思想等.

教師認可學生的回答，并借助恩格斯提出的“數學是研究數量關系和空間形式的一門科學”，指導學生從“數”與“形”兩個方面理解數學知識的內在聯系（見圖1），尤其強調本節課將應用類比思想、轉化思想和數形結合思想等.

設計意圖 通過分析數學概念與圖示，引導學生理解幾何與代數的轉化關系，明確轉化可提高運算能力，為解決難度較大的問題服務，如二面角問題. 由此，學生會自然而然地想到“是否可用數量關系或空間向量來探索立體幾何問題呢？”顯然，此環節激發學生的探索欲，揭示教學主題.

2. 活動探究，深化理解

活動1 探尋生活中的空間向量.

師：請大家想一想生活中與空間向量相關的實例，嘗試自主制作一個空間向量來討論.

生1：準備幾根繩子與一串鑰匙，分別以水平、豎直與特殊角的方向來拉動鑰匙，鑰匙受力情況不同，可以此來探尋不同的空間向量.

師：這個想法不錯，簡便易行且容易理解. 現在請大家取出紙筆，畫出鑰匙在操作中的受力關系.

設計意圖 數學與生活有著千絲萬縷的聯系，鼓勵學生基于生活制作空間向量，激發學生探究熱情的同時，加深他們對數學與實際生活聯系的認知，為接下來的教學奠定基礎.

活動2 類比平面感知空間.

巡視發現學生畫了多種鑰匙受力圖，要求學生分類這些受力圖，并思考分類方式.

生2：按照平面與空間可把這些圖分成兩大類.

師：這兩者之間存在什么樣的聯系呢？這是本節課著重討論的問題.

學生通過合作學習，自主設計表格（如表1所示），比較平面向量與空間向量在概念與表示方法上的異同.

設計意圖 此環節旨在培養學生類比思想，讓學生在自主分類的基礎上，自然而然地對比平面向量與空間向量，通過表格明確表達兩類向量的概念與表示方法，為進一步探索空間向量奠定基礎.

活動3 探索空間向量加減運算.

師：若a，b是兩個平面向量，結合我們所學的內容，可怎樣計算它們的和與差？

生3：借助三角形與平行四邊形法則平移兩個向量，重合起點或首尾相接成三角形或平行四邊形，即可進行運算.

師：為什么可以這么操作？

生4：因為平面向量能自由移動，其加減基于平移，但要保持大小和方向不變.

師：很好！類比平面向量的加減法，空間向量是否適合平移？空間向量能否像平面向量一樣，重合起點或首尾相接成三角形或平行四邊形？

生5：結合空間向量所在直線的位置關系來看，存在平行、相交與異面三種情況，其中異面直線可平移到同一個平面內，因此空間向量可以像平面向量一樣平移，重合起點或首尾相接成三角形或平行四邊形.

教師認可這位學生的說法，并著重強調任意兩個空間向量都可以轉化成兩個平面向量進行分析，這是解決空間向量問題的重要方法.

師：若a，b均為空間向量，我們該怎樣定義它們的和與差？

學生認為只要將a，b平移到同一個平面內，即將空間向量問題轉化為平面向量問題就能解決和與差的問題. 在此基礎上，教師展示圖2，與學生一起定義空間向量的和與差.

設計意圖 類比法為定義空間向量的和與差提供了基礎. 這種設計有助于提高學生的自主探究能力和類比思維能力，幫助學生構建新識，促進學生高階思維的發展.

活動4 空間向量加法是否滿足交換律與結合律.

師：結合我們的認知經驗可知，在空間向量加法中，交換律是必然的. 由于任意的三個空間向量不一定能平移到同一個平面內，這與平面向量有明顯差異，因此空間向量加法是否滿足結合律呢？我們可用作圖法進行探究并驗證.

如圖3所示，三角形或平行四邊形法則均表明空間向量加法滿足結合律，即（a+b）+c=a+（b+c）.

師：請簡述你們的收獲或結論.

生6：前面的探究活動告訴我們，首尾相接的向量的和等于由起始向量起點指向最后一個向量終點的向量，如果若干向量能圍成一個封閉圖形，那么它們的和就是0.

生7：三個起始點相同但不共面的向量的和，等于以這些向量為棱的平行六面體中，從公共起始點出發的對角線向量.

設計意圖 此環節引導學生用畫圖法探索交換律與結合律，既幫助學生掌握相應知識，又培養類比思想，成功完成新知教學任務.

3. 課堂小結，歸納提升

師：本節課推進順利，得益于我們在教學中應用了什么數學思想方法？

生（眾）：類比思想方法、轉化思想方法、數形結合思想方法等.

師：確實，類比思想方法使我們從平面向量推導出空間向量的概念、性質與運算. 現在請大家回顧整節課的教學流程，說說你們的收獲與感悟.

設計意圖 課堂小結是梳理知識點、提煉數學思想方法的環節，在教師的點撥與引導下，學生整理知識結構，并回顧本節課應用的思想方法等，為后續研究更多問題夯實了方法基礎.

幾點思考

1. 類比需關注師生在課堂中的地位

新課標強調學生在課堂中的主體性地位. 既然要培養學生類比思想，首先就要將學生放在教學首位. 當然，學生固然重要，但教師也不可忽視，教師具有無可替代的作用. 事實證明，并不是所有新知教學都具有類比性，類比源與靶對象之間具有一定的相似性是實施類比的前提. 教學時，教師首先要明確目標，才能為學生指引方向.

縱觀本節課的教學，每一個環節都以教師點撥，學生主動探索、合作交流為主. 這種模式不僅體現了學生在課堂中的主體性地位，還彰顯教師的課堂調控能力與引導作用. 正因為師生積極互動，默契配合，才使課堂順利推進，完成教學任務，達到預期目標. 因此，關注師生在課堂中的地位是培養學生類比思想的基礎.

2. 類比思想需滲透在教學中

類比屬于一種“由此及彼”的遷移過程，是促使學生觸類旁通，獲得舉一反三能力的方法基礎，它對推進學生個體發展具有重要意義［2］. 類比思想需浸潤在課堂的每一個環節中，但要切忌為了類比而類比，而應引導學生在自主發現中進行類比. 此為授學生以“漁”而非“魚”的過程. 課堂在教師引導、學生自主探索中動態生成，學生通過觀察、聯想、研究，獲得相應結論.

本節課的“活動探究，深化理解”環節，教師以鼓勵學生自主探尋生活中的向量為起點，引導學生自發分類平面向量與空間向量. 兩者從同一事物中分離出來，學生自然會將它們聯系到一起進行思考，平面向量與空間向量的類比自然就發生了.

至于可從哪些方面類比平面向量與空間向量，這就依賴于學生的認知經驗. 在教師的點撥下，學生將已知內容羅列到表格中，如平面向量和空間向量的概念和幾何表達方法等. 通過對知識點的一一梳理，類比思想就滲透到每個教學環節中.

3. 類比思想可促進核心素養的發展

康德認為：當我們的智力缺乏可靠的論證思路時，指引我們前進的往往是類比. 確實，類比思想對學科的發展乃至社會的進步都有重要作用. 數學教學旨在發展學生的數學學科核心素養，類比思想是實現此目標的關鍵動力. 它能幫助學生更好地理解、建構、內化新知，讓學生在由此及彼中實現知識的遷移，獲得良好的思維能力，這些能力是推進核心素養形成的基礎［3］.

本節課教學就是基于類比思想設計教學活動，落實數學學科核心素養的過程. 教師根據學情和教情，將課程劃分為三大模塊和多個探究活動. 學生在多樣化的教學活動中，通過列表、畫圖和類比等方式構建新知. 這種設計不僅高效達成了教學目標，還展現了類比思想的價值，促進學生數學學科核心素養的形成與發展.

總之，滲透類比思想是發展學生歸納意識與創新能力不可小覷的一種方式. 合理應用好類比思想，不僅有助于教師實施教學，更利于學生接納與內化新知，這是提升教學效率，發展學生數學學科核心素養的重要舉措.

參考文獻：

［1］ 連四清，佘巖. 類比推理及其教學探索［J］. 數學通報，2015，54（10）：16-18+22.

［2］ 傅夕聯，張玉峰. 數學學習中的類比遷移［J］. 數學教育學報，2006（4）：33-36.

［3］ 林晴嵐，張潔，陳柳娟，等. “五育”與中學數學教育的融合［J］. 高中數學教與學，2020（20）：4-6.