數學文化視角下的高中數學閱讀材料之使用

［摘 要］ 相對于抽象的數學知識，數學教材中的閱讀材料更具趣味性. 實踐證明，借助數學閱讀材料滲透數學文化具有重要的教學價值，值得每一個教師去研究與思考. 文章以“橢圓的定義”教學為例，以閱讀材料“刁尼秀斯之耳”為主線，從“呈現閱讀材料，引出橢圓”“逐步探索問題，挖掘性質”“實踐操作探索，深入理解”“抽象概括總結，構建概念”四方面展開分析，并有針對性地談一些思考與感悟.

［關鍵詞］ 數學文化；閱讀材料；橢圓

數學文化涵蓋數學思想的演變、方法的應用、觀點的提出，以及數學史、數學家、數學教育、數學美等人文元素. 《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》強調教師在教學中應有意識地結合教學內容的特點滲透數學文化，讓學生了解數學在科技與社會發展中的推動作用，認識數學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值，從真正意義上提升學生的應用意識、人文精神與科學素養.

高中數學教材中的數學文化有顯性融入與隱性融入兩種方法，知識本身所攜帶的數學文化為隱性融入，而以閱讀材料呈現的數學文化則為顯性融入. 學生通過對學科知識背景的了解，可不斷開闊視野，挖掘潛能. 為此，本文結合“橢圓的定義”教學具體談一談如何應用顯性閱讀材料，滲透數學文化，發展學生的數學學科核心素養.

教學過程

1. 呈現閱讀材料，引出橢圓

閱讀材料 如圖1所示，此為西西里島的巖洞內所關押的犯人與看守者，犯人因無法承受長期孤獨的生活計劃越獄. 每次越獄之前，犯人都會做一套詳細的越獄方案，但每次都以失敗告終，這就導致他們互相猜忌、懷疑，認為犯人中有告密者. 然而，不論怎么排查，都沒有發現誰是告密者. 一個犯人偶然發現巖洞的形狀為橢圓形，不論犯人在巖洞內多么小聲地交談，聲音都能經過巖洞壁反射到洞口被看守者聽到，所以看守者對犯人的一舉一動都了如指掌. 自此，該巖洞被稱為“刁尼秀斯之耳”.

師：這是一個神奇的故事，看守者為何能聽見犯人談話內容呢？

生1：犯人發出的聲音，經過巖洞壁的反射，最終匯聚到洞口，被看守者聽到.

師：巖洞壁的曲線形狀是什么呢？

生2：如圖2所示，這是一個橢圓形.

師：這是結合閱讀材料所獲得的形狀，既然大家都覺得是橢圓形，那么該怎樣完整地形容橢圓呢？說一說它的形成原理.

設計意圖 閱讀材料的展示，一方面刺激學生的感官系統，引發學生對本節課的興趣；另一方面，讓學生初步認識該現象形成的原理，為抽象橢圓模型奠定基礎. 根據學生已有的認知經驗構建問題，可有效啟發學生思維，引導學生明確探索方向.

2. 逐步探索問題，挖掘性質

問題1 橢圓的形成因素有哪些？哪些因素決定橢圓的形成？

結合閱讀材料內容，學生稍作思索就發現看守者與犯人所處的地理位置決定了橢圓形成的要點. 若將巖洞的軸截面理解為一個橢圓，則看守者與犯人所處的位置可理解為橢圓內兩個恒定不變的點，聲音傳播可想象為從其中一點發出的射線撞擊橢圓壁后反射經過另一點（如圖3所示）.

問題2 如圖4所示，如果F，F為橢圓內的兩個定點，而點P在橢圓上，那么

PF，

PF，

F

F存在怎樣的數量關系？

生3：連接FP，FP，FF，形成△FFP，則

F

F-

FP<

FP或

F

F+

FP>

FP.

師：不錯，除此之外，三者還有沒有其他數量關系？

生4：

FP+

FP>

F

F或

FP-

FP<

F

F.

問題3 通過以上探索，可以確定

FP+

FP為固定值嗎？

如圖5所示，借助幾何畫板進行演示，發現雖然

FP與

FP的值可以自由變化，但是它們的和卻不會因為點P位置的變化而變化，由此明確當F，F為定點時，

FP+

FP的值為固定值.

問題4 橢圓上的任意點與定點F，F之間的距離之和有什么特點？

依然應用幾何畫板進行演示驗證，引導學生自主發現橢圓上的任意點與定點F，F之間的距離之和恒為常數2a，且2a>2c（2c為兩定點F，F之間的距離），橢圓的幾何特征浮出水面.

設計意圖 結合閱讀材料，學生很快就自主發現并提出橢圓上的點所滿足的數量關系. 而且，靈活、恰當地應用幾何畫板能促使學生在強烈的認知沖突中發現變化中的不變——P是橢圓上的任意一點，

FP+

FP為定值. 將橢圓的幾何特征挖掘出來，再次有效推動學生數學學科核心素養的提升.

3. 操作實踐探索，深入理解

師：我們運用幾何畫板探究并驗證了橢圓所具備的幾何性質，除此之外，大家還能想到其他驗證方法嗎？

活動要求：如圖6所示，已知F（圓內非F的一點）是圓F內的一定點，A是位于圓周上的任意點，怎樣借助對折紙片的方法找出線段AF的垂直平分線？

生5：如圖7所示，對折紙片使點A與點F重合，折痕就是線段AF的垂直平分線.

師：很好！如圖8所示，在圓上多處取點A，并不斷重復這個折疊過程，會有什么新的收獲？

生6：通過不斷折疊，發現無數條折痕最終圍成了一個橢圓.

師：折痕與橢圓之間有一個怎樣的位置關系？

生7：兩者相切.

師：有什么辦法證明？

生8：先要明確點P是否位于橢圓上. 如圖9所示，若2a為圓的半徑，直線l為折痕所在的直線，AF，AF與直線l分別相交于點P，C. 因為直線l為AF的垂直平分線，所以AC=CF，∠ACP=∠FCP，為直角. 由此不難獲得△CPA≌△CPF，所以PA=

PF. 所以

PF+

PF=

FP+AP=

AF=2a，也就是點P位于橢圓上.

師：根據以上探索可知，點P不僅位于橢圓上，還是橢圓與直線l的交點，那么，它是橢圓與直線l的切點嗎？

生9：從相交與相切的角度來看，若直線l與橢圓相交，則存在兩個交點，而相切只有一個交點. 若點P是橢圓與直線l的唯一交點，則點P就是切點.

師：有沒有什么辦法可以證明？

生10：如圖10所示，在△ANF中，

FN+AN>

FA. 根據等量替換法可知

FN+

FN=

FN+AN>

AF=2a.據此能確定點N并不在橢圓上，也就是說直線l上只有一個點P處于橢圓上，所以點P是橢圓與直線l的切點.

設計意圖 實踐操作不僅能提升學生的探究能力，還能優化學生的思維，幫助學生建構良好的認知結構，使學生從真正意義上領悟折痕與橢圓之間的位置關系.

4. 抽象概括總結，建構概念

問題5 怎樣結合橢圓的幾何特征總結橢圓的概念？怎樣根據橢圓的概念畫橢圓？

設計意圖 從橢圓的概念出發，引導學生自主總結與提煉，不僅能進一步優化學生數學思維，促使學生應用數形結合思想體會橢圓概念的本質，確定作圖的具體方法，還能讓學生基于多元表征，深化對數學本質的理解，建構完整的認知體系，為應用與創新奠定基礎. 同時令深度學習真實發生，促進學生數學直觀想象與邏輯推理素養的發展.

教學案例分析

本節課，以閱讀材料為起點引入教學主題，并圍繞閱讀材料提出探究問題，引導學生從折紙活動與幾何畫板的演示中發展自主探究能力，培育數學抽象和直觀想象素養，同時滲透數學文化. 從數學角度分析折痕與橢圓的位置關系，進一步激活學生的思維，促使學生自主總結橢圓的概念，幫助學生提煉數形結合思想.

在訪談中發現，學生很喜歡此類探究課，因為閱讀材料讓課堂變得更加豐富，這是將生活與數學聯系起來的教學方式. 學生還提出，許多著名建筑均融入了數學知識，彰顯生活與數學的緊密聯系. 數學是現實社會的抽象表達，通過符號運算、形式推理和模型建構，揭示事物的本質、關系和規律. 這是一節成功的課堂，學生從中不僅感知到閱讀材料的重要性，還體驗到信息技術的介入使得數學知識更加直觀易理解.

關于閱讀材料的幾點思考與感悟

1. 用于課后閱讀

教材上的閱讀材料與數學文化有較大關系，很多內容都是知識的形成歷程，這些閱讀材料是對教材正文的補充與拓展. 教師結合學情與教情利用好閱讀材料，采取恰當的教學策略幫助學生更好地理解與掌握所學知識. 若閱讀材料涉及數學史、小故事或數學家，教師可鼓勵學生課后自主閱讀，感受數學知識的形成與發展，并撰寫心得進行交流.

2. 用于課堂參考

教材上的閱讀材料往往蘊含豐富的數學思想方法. 數學思想方法的形成對學生可持續發展至關重要. 課堂上，教師可帶領學生一起解讀閱讀材料，讓學生從中體會知識的來龍去脈，為完善認知結構奠定基礎.

3. 用于引領閱讀

若課堂時間充裕，教師可根據實際情況為學生列出學習提綱，鼓勵學生帶問題閱讀材料. 這種任務明確的閱讀方法能為學生指明思考方向，讓學生在交流與總結中碰撞出智慧的火花. 因此，結合閱讀材料設計問題，引領學生閱讀，可激活學生的思維，激發課堂的智慧與活力.

總之，數學閱讀材料不可或缺，具有獨特價值. 作為教師，應關注閱讀材料在滲透數學文化方面的重要性，有效利用閱讀材料，促進學生成長.