平衡“探”“練”，優化教學方式

［摘 要］ 為選拔數學人才，傳統的以傳授知識為主的大量解題教學方法已不再適用. 基于此，研究者選取人教版A版（2019）高中數學必修第二冊教材的“概率”單元作為研究對象，旨在尋求在有限的課堂教學時段內，達到新知探究與問題練習之間的平衡，探索教學方法的優化策略，以實現核心素養的措施.

［關鍵詞］ 概率教學；平衡“探”“練”；課堂優化；核心素養

當前，在浙江省高考數學回歸教育部統一命題的宏觀背景下，課堂教學方式需要重構. 新高考強調反套路刷題，《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》就命題原則也明確指出：命題注重對學生數學學科核心素養的考查，處理好數學學科核心素養與知識技能的關系，淡化解題技巧，要充分考慮對教學的積極引導作用. 因此，傳統的“滿堂練”教學模式已不再適用，機械練習會降低學生的求知欲望和內在需求.新興教學方法強調學生主動探究和學習，但需教師宏觀調控，確保課堂平衡“探”“練”. 布魯納，結構主義教學理論的創始人，提出了一個主要的教學標準——“結構標準”：課堂教學要“根據最好的方法”組織教材，科學安排教學程序，優化課堂教學過程. 因此，課堂作為師生交流的“主場地”，需要教師潛心研究與精心設計.

平衡“探”“練”的理論依據

“探”與“練”是課堂最主要的兩大環節，“探”是新知探究，“練”是新知應用. “探”與“練”是有機統一體，“探”是“練”的前提，“練”是“探”的延伸與保障［1］. 沒有“探”，學生不知其所以然；沒有“練”，學生無法獲得解題能力，再多的“探”也是無用功，二者缺一不可. 一節好的數學課，應根據不同內容，合理、有序地安排“探”與“練”，追求平衡，力求恰到好處. 筆者認為，“探”“練”平衡體現在兩點.

1. 時間上合理分配

有關研究表明，中學生課堂注意力高度集中的時間約為10～15分鐘. 因此，教師應減少與教學活動無關的時間消耗，重點安排“探”與“練”兩種實用時間的比例. 這種分配并非平均化，而應有所側重，即依據核心教學內容來決定是重視“探”還是“練”，以確保課堂結構的最優化和課堂效益的最大化. 譬如探究活動不宜過長，以免分散學生的注意力，減少練習時間，影響對新知的掌握和數學思維的發展. 因此，教師應有效設計探究活動和課堂練習，確保兩者在課堂中的平衡.

2. 形式上協調互補

中學生具有好奇心強、喜歡新鮮感的特點，一成不變的教學形式不利于學生接收新知. 因此，教師解析教學內容后，應靈活選擇探究方式（如情境、實操、類比、信息輔助等），以配合相應練習. 例如，實操探究后，教師板演、學生口答練習；理論探究后，小組討論、學生板書練習. 互補的“探”“練”形式動靜結合，能激發學生的學習熱情，活躍課堂.

“探”“練”平衡下的“概率”教學優化策略

縱觀“概率”單元，可圍繞以下幾個問題展開：概率的研究對象是誰？研究的概念是怎么抽象出來的？研究的性質是如何發現的？概率是如何應用于生活的？要回答上述問題，加深學生對概率的理解，需基于他們的描述性認知經驗設計多樣化的探究活動，并通過各種練習促進他們在實踐中應用概率知識. 針對本單元中不同的教學內容，應呈現不同的“探”“練”方式. 因此，筆者以本單元兩個課型為例闡述如何平衡“探”“練”.

1. 重探概念析出過程，啟迪練習實用

在教授“有限樣本空間與隨機事件”時，重點是講解“隨機事件”這一核心概念. 作為單元起始課，若未能深入理解核心概念，將對后續概率的學習產生不利影響. 盡管在初中階段已經對相關概念進行了描述性定義，但高中階段則更注重運用數學語言對這些定義進行精確刻畫. 這對學生而言是一個全新的領域. 因此，本節課需要投入充足的時間，通過情境探究來引導學生分析和理解這些概念.

首先，教師展示多種類、多維度的隨機現象，以便學生參與列舉. 例如游戲中的隨機現象：飛行棋游戲中擲骰子、撲克牌游戲中任意抽牌等；生活中的隨機現象：刮刮樂的中獎情況、抽簽點名、胎兒性別等；實際應用中的隨機現象：理財產品每日的收益情況、小紅書平臺上各類目視頻的分發狀況等［2］. 使學生深刻理解隨機現象的普遍性，并總結這些隨機現象的共性：所有潛在的結果均可能被明確地識別出來，然而，事先無法預測哪一個結果將會出現. 然后，教師提出疑問：你是否能夠記錄這些潛在的結果？學生回應：能夠記錄，但部分記錄較為煩瑣，例如記錄全班同學的姓名. 教師進一步指導：若不記錄姓名，我們可用何物來指代他們？于是學生自然而然地想到了“學號”. 經歷此過程，學生將認識到使用數字或符號代替文字描述隨機現象的結果更加簡潔明了. 此時，教師可組織學生進行分組合作，并鼓勵他們展示研究成果.（為了便于展示，可以參考構建表1所示的表格.）

上述情境引導學生將實際問題抽象成數學語言，教師適時引出樣本點、樣本空間的概念及二者間的關系，并讓學生用集合語言來描述隨機現象. 過后繼續設定如下情境：投擲一枚骰子，出現的點數為偶數. 這一隨機事件的可能性結果構成一個包含三個樣本點的集合｛2，4，6｝. 該集合與樣本空間的關系是什么？學生回答：該集合是樣本空間的一個子集，稱為隨機事件. 至此，“隨機事件”這一核心概念得以明確.

由此可見，欲使學生理解概念，必須進行充分的準備和投入相應的課堂時間，逐步引導學生深入探究.探究過程旨在引導學生用集合語言構建樣本空間，表達隨機事件，并理解符號化的重要性，以培養學生的數學抽象能力. 因此，“探”的后續工作應致力于構建情境化習題，以鞏固“探”的成果. 具體形式為學生獨立完成習題并口頭回答，教師負責板書答案. 如下：

練習1：飛行棋是同學們喜歡的游戲，規則為“兩人依次擲骰子，擲到數字幾就向前進幾步，誰先到達終點即獲勝”. 現在甲、乙依次擲一枚骰子一次，用（x，y）表示結果，其中x表示甲擲到的點數，y表示乙擲到的點數.

（1）寫出試驗的樣本空間；

（2）指出事件A=｛（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）｝的含義；

（3）表示事件“出現點數之和大于8”.

練習2：由P，Q，R三個開關（P，Q串聯，與R并聯）組成電路，每個開關可能開，也可能關. 把這個電路是否為通路看成一個隨機現象，觀察每個開關的閉合情況.

（1）寫出試驗的樣本空間；

（2）用集合表示下列事件：A=“恰好一個開關閉合”；B=“電路是斷路”；C=“電路是通路”.

“探”是讓學生體驗實際問題數學化的過程，“練”是讓學生鞏固實際問題數學化的過程，兩者目標相同，但“探”過程耗時較多，因此設計了兩道練習題，重點均已涵蓋，包括對樣本空間的構建、集合語言與事件含義的轉換、樣本點的多維化考察，并與物理學科巧妙結合，以實現高效的微“練”. 從形式上來看，前一部分的“探”以學生的動態參與和表達為主，而后一部分的“練”則以學生的靜態思考為主. 通過重“探”和微“練”，形式上互補，從而實現課堂平衡.

2. 巧探知識重構路徑，強化練習應用

在講授“概率的基本性質”時，重點在于性質的推導及其應用. 然而，眾多教師在教學過程中難以兼顧所有，往往簡化并省略了概念的生成過程，削弱了公式間內在聯系的闡述，直接進入解題應用階段，這導致學生在應試時推理和探究能力的不足［3］. 因此，筆者對本節課的教學內容進行了如下重構.

首先復習概率定義：對隨機事件發生可能性大小的度量（數值）稱為事件的概率，事件A的概率用P（A）表示. 然后引導學生思考：符號P（A）與所學的哪個符號類似？學生回答：f（x）. 又繼續提問：我們能否依據函數的定義來重新構建概率的定義呢？學生回應：可以嘗試. 于是，學生參照函數的定義，撰寫了概率的定義. 教師進一步詢問：既然兩者的定義如此相似，那么函數所具有的性質，概率是否也具有呢？為避免不必要耗時，教師可直接展示函數的相關特性，并引導學生通過類比推導出概率的性質，然后驗證其是否正確.（可參考表2的構建方式）

隨后，教師指導學生通過古典概型實例，結合Venn圖面積的特性，探究事件A與B之間的包含、相交、互斥關系，以及P（A∪B），P（A），P（B），P（AB）之間的關系.

通過上述類比分析，學生能夠領悟概率性質的根源，并感悟到“函數”與“概率”這兩種不同數學概念之間的和諧統一之美，從而提高邏輯推理能力. 為保證教學計劃能順利進行，“探”環節不宜過度深入，應適可而止，側重于學生自主思考和教師歸納總結. “探”后，教師可安排一系列練習題，以供學生鞏固知識.

練習1：已知隨機事件A，B，C中，A與B互斥，B與C對立，且P（A）=0.3，P（C）=0.6，則P（A+B）=（ ）

A. 0.3 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8

練習2：從不包含大小王牌的52張撲克牌中隨機抽取1張.

（1）設事件A=“抽到黑桃”，事件B=“抽到梅花”，事件C=“抽到黑花色”，求P（C）.

（2）求抽到紅花色的概率.

（3）若隨機抽取2張，求2張都是黑桃的概率.

練習3：某公司有3個分廠，職工情況按性別、廠序分類統計成表3.

若從該公司中隨機選1名職工，求以下概率：P（MC）=____，P（F∪C）=____.

練習4：從1～20的整數中隨機選擇1個數，求選到的數既不能被2整除也不能被5整除的概率.

練習5：某班級50名學生已經完成了選考科目的報名程序. 在這些學生中，選擇化學科目的人數為18人，選擇生物科目的人數為22人. 從該班級中任意抽取1名學生，其不選化學、生物科目的概率為，求抽取1名化學、生物科目均選的學生的概率.

為了讓學生通過“練”獲得解題能力，教師精選上述5道習題，從淺到深，逐層遞進，并給予學生充足的練習時間. 練習1無具體背景，直接應用性質公式即可解答；練習2具備實際情境，需要先分析事件之間的關系，隨后運用相關公式解答；練習3在題型上有所創新，旨在考查學生對圖表的分析能力以及公式的應用能力. 后兩道練習題均要求學生自行定義若干隨機事件，并計算這些事件的并集概率. 其中，練習4可使用古典概型或概率性質來解答，讓學生體驗兩種方法的差異，并運用逆向思維的補集策略解決問題；練習5旨在結合時事熱點和方程思想，深化學生對概率性質的理解. 從形式上來講，前面的“探”以學生思、問為主，后面的“練”則以學生論、寫為主. 通過巧“探”重“練”，形式互補，達成課堂平衡.

結語

高中數學課堂應返璞歸真. 在日常數學教學中，一線教師應當在時間分配和教學形式上尋求平衡，高效“探”，精選“練”，“探”“練”并進，從而優化課堂結構. 總之，教師應始終遵循以學生為主體的原則［4］，敢于放手，鼓勵學生自主探究問題；敢于等待，給予學生適量的合作實踐機會，提高教學有效性. 教師需深入鉆研教材，重視學生對知識生成及發展過程的理解，以促進學生對數學本質的掌握，并確保核心素養的培養得到有效實施.

參考文獻：

［1］ 李紅勤.高中數學精講精練的實踐探索［J］. 中學數學教學參考，2022（9）：5-7.

［2］ 高生軍.高中數學統計概率單元體驗式教學研究［J］. 數理天地，2023（17）：62-64.

［3］ 黃小冬. 數學抽象素養視角下“數列”單元整體教學研究［J］. 數學教學通訊，2023（21）：48-50.

［4］ 祖麗敏. 倡導大單元教學，優化數學課堂教學［J］. 數學教學通訊，2023（25）：33-35.