秋千自激振動攝動法與平均法分析

摘要：本文將蕩秋千過程看作是變長度擺，利用合成運動的方法分析了擺的加速度并建立了相應的動力學方程，針對有無阻尼情況分別用攝動法和平均法求出了解析解，進而利用數值模擬的方法對方程進行了仿真并與兩種解析解進行了對比，分析了不同方法的優劣及分析了其利用阻尼實現振動控制的條件。

關鍵詞：蕩秋千；自激振動；攝動法；平均法

中圖分類號：O323文獻標識碼：A

蕩秋千運動在我國已經有兩千多年的歷史，相傳是春秋時期由少數民族傳入中原。人們將蕩秋千的方法總結為“高蹲低站”，即當秋千擺到最高點時迅速蹲下，而擺到最高點時快速站起。關于蕩秋千問題的力學原理，武際可教授做了生動的描述［1］。而對于蕩秋千現在普遍認為應該將其歸入自激振動，劉延柱教授對其模型進行了分析［2］。此外，國內的一些學者對于蕩秋千問題也進行了相關的研究［36］。

1基本模型分析

設擺線下端懸掛質量為m的小球，初始t=0時，θ=θ0、θt·=θt·0，擺線長度隨位置變化，變化規律如圖1所示，可表示為如下方程（擺長是擺角θ的函數）：

l（θ）=l0（1-ε·θ·sgn（θt·））（1）

其中：θ為擺動角度，l0為θ=0時擺長，ε為無量綱參量（控制擺長的小參數），θ·t表示對時間的導數，sgn（θt·）表示取θ·t的符號。

圖1變長度擺圖2加速度矢量圖圖3單擺受力圖

在任意位置時，以小球為動點，建立隨擺線一塊擺動的坐標系（坐標系只隨擺線相同規律轉動，不沿擺長方向移動），則擺球加速度及受力如圖2、圖3所示，建立垂直于擺線的動力學方程：

m·{l0·θ¨t1-ε·θ·sgn（θt·）-2θ·2t·l0·ε·sgn（θt·）}=-m·g·sinθ（2）

整理后，并令p2=g/l0可得：

θ¨t+p2·sinθ-2θ·2t·ε·sgn（θt·）1-ε·θ·sgn（θt·）=0（3）

符號函數可表示為sgn（θt·）=θt·/θt·，當擺角比較小時sinθ≈θ，因為ε、θ均為小量，則上式化簡為：

θ¨t+p2·θ=ε·f（θ，θt·）（4）

其中，f（θ，θt·）=2θt··θt·-p2·θ2·θt·/θt·，為非線性函數。

接下來考慮可能存在的阻尼的影響，假設阻尼的影響為小量和ε同階，那么不妨假設阻尼cm=ε·c1，將其加入式（4）中，則非線性函數變為f（θ，θt·）=2θt··θt·-p2·θ2·θt·/θt·-c1·θt·。

2攝動法分析

首先將θ按ε的冪次展開：

θ=θ（0）+εθ（1）+ε2θ（2）+…（5）

初始條件為t=0時，θ（0）0=θ0，θ·（0）t0=θt·0；θ（n）0=0，θ·（n）t0=0，n1。

將式（5）代入式（4）并讓同冪次ε合并，按有無阻尼可分別求解。

2.1無阻尼情

θ=a·cosφ（t）·［1±ε·a·cosφ（t）］（6）

θ·t=-a·p·sinφ（t）［1±2ε·a·cosφ（t）］（7）

φ（t）∈（kπ，（k+1）π），當k=0，2，4…時取負號，k=1，3，5…時取正號。

從式（6）可得振幅依調制函數隨時間做小幅振蕩，沒有自激振動現象。

2.2有阻尼情況

θ=a·cosφ（t）·1-ε·c12·t±ε·a·cosφ（t）（8）

θ·t=-a·p·sinφ（t）1-ε·c12·t±2ε·a·cosφ（t）

-ε·c12·cosφ（t）（9）

φ（t）∈（kπ，（k+1）π），當k=0，2，4…時取負號，k=1，3，5…時取正號。

對比攝動法分析結果有阻尼情況相對于無阻尼情況只是在調制函數中增加了隨時間減小的衰減項（跟阻尼大小有關），隨著時間增加振幅逐漸減小，當t=t1=2ε·c1時，振幅最小；當t＞t1后，振幅開始增大。

3平均法分析

應用平均法方程對式（4）進行近似分析。當ε=0時，可得線性保守系統：

θ¨t+p2·θ=0（10）

其自由振動解為

θ=a·cos（p·t-φ），θt·=-a·p·sin（p·t-φ）（11）

其中a為振幅、φ為相位，當ε≠0且ε為小參數時，式（4）的解仍具有式（11）的形式，但是振幅和相位是緩慢變化的，則a、φ是時間t的函數。

3.1無阻尼情況

θ=πB1·π-2ε·pt·cos［p·t-B2］（12）

θt·=-πB1·π-2ε·pt·p·sin［p·t-B2］

+2πε·p（B1·π-2ε·pt）2·cos［p·t-B2］（13）

由初始條件并考慮到ε為小參數，可得B1、B2近似解：

B1=pθ·2t0+p2·θ20tanB2=θ·t0p·θ0（14）

3.2有阻尼情況

θ=πc1·4p-D1·eε·c1·t2-1·cos［p·t-D2］（15）

θt·=-πc14p-D1·eε·c1·t2-1·p·sin［p·t-D2］

+πc1ε·c12D1·eε·c1·t24p-D1·eε·c1·t2-2

·cos［p·t-D2］（16）

由初始條件并考慮到ε為小參數，則可以得到D1、D2的近似解：

tanD2=θt·0p·θ0D1=4p-πpc1p2·θ20+θ·2t0（17）

由以上分析可知當c1＞4πp2·θ20+θ·2t0時，阻尼起主要作用，振幅小幅衰減；當c1＜4πp2·θ20+θ·2t0時，自激起主要作用，振幅隨時間小幅增大；當c1=4πp2·θ20+θ·2t0時進行等幅擺動，阻尼和自激效果抵消，稱作臨界阻尼ccr=4πp2·θ20+θ·2t0。

4仿真分析

取小參數ε=0.2，重力加速度g=9.8m/s2，擺長l0=098m；初始條件：θ0=0.1、θt0·=0；阻尼選三種情況：c1=［0.5ccr，ccr，2ccr］，ccr=4pθ0π。

仿真時間：

（1）平均法：無阻尼情況極限時間為t=B1·π2εpθ0=π0.04×10≈24.836s，大阻尼及臨界阻尼情況不存在極限時間（大阻尼振幅衰減最后趨近于零，臨界阻尼等幅振動），小阻尼情況極限時間為t=2ln4pD1c1ε=2ln20.5×0.2×410×0.1π=34.431s。

（2）攝動法：無阻尼情況下不存在極限時間，有阻尼情況為t＞t1=2ε·c1=［49.673，24.836，12.418］時，振幅開始增大，因為攝動法振幅均是先減小再增大，變化趨勢相同。

因此仿真時間取t=24s，仿真步長tstep=0.01s。仿真結果如圖4—圖7所示，數值解采用虛線，攝動解采用點畫線，平均法采用實線。從圖上可以看出攝動法的解只有在開始的一段（一個周期內）誤差較小，隨著時間的增加誤差越來越大。而平均法在整個過程都符合得比較好，并且平均法具有解析解的形式，便于分析問題的特征本質，比如前邊的臨界阻尼的獲得，極限時間的獲得等。

圖4為無阻尼情況下微分方程的數值解、攝動解、平均法解的比較，從圖中可以看出，由于擺長的變化導致自激振動的發生，并且振動幅度越來越大，直到問題發散。

圖5為小阻尼情況下微分方程的數值解、攝動法解、平均法解的結果，從圖中可以看出，當阻尼小于臨界阻尼時，隨著運動的進行，擺動的幅度逐步增大，但是增大的幅度比無阻尼時明顯減小。說明阻尼消耗掉了一部分自激振動能量，但是由于阻尼比較小仍有一部分自激振動能量保留，導致擺動幅度持續增大。

圖6為臨界阻尼情況下微分方程的數值解、攝動法解、平均法解的對比。從圖中可以看出，當阻尼取臨界阻尼時，擺動的幅度不變，說明此時自激振動的能量正好被阻尼消耗掉，振動保持不變的幅度穩定擺動。

圖7為大阻尼情況下微分方程的數值解、攝動法解、平均法解的結果。從圖中可以看出，當阻尼大于臨界阻尼時，擺動的幅度隨時間持續減小，說明此時不只是自激振動的能量被阻尼消耗掉，還有一部分原有的振動能量被消耗掉，因此導致擺動幅度越來越小。

結語

由以上的分析可知，在較短的時間尺度上，對于變長度擺的自激振動問題，攝動法、平均法均能滿足工程上的計算要求，但是攝動法分析過程相對簡單，平均法分析過程稍顯復雜；在長時間尺度上，攝動法隨著時間的持續誤差逐漸增大，而平均法一直符合很好。對于變長度擺自激振動問題的控制，可采用控制阻尼的方式實現。如果要消除自激振動的影響，保持穩定的振動，阻尼應選取在臨界阻尼上；如果要控制自激振動使其衰減，則阻尼應大于臨界阻尼，阻尼越大衰減越快；如果要控制自激振動的振動增加幅度，阻尼應小于臨界阻尼，阻尼越小振動幅度增加越快。

此外，由于本文采用的是簡化模型，沒有考慮擺線的質量及各處的摩擦等與實際模型仍有差距。

參考文獻：

［1］武際可.從蕩秋千說開去——漫話共振［J］.力學與實踐，2003，25（2）：7578.

［2］劉延柱.再談蕩秋千——兼談自激振動［J］.力學與實踐，2007（3）：9293.

［3］劉世清.秋千非線性參變共振的分析［J］.大學物理，2001，20（10）：1517.

［4］尤明慶.關于蕩秋千力學原理的一個注記［J］.力學與實踐，2010，32（03）：136.

［5］于鳳軍.用功能原理分析秋千的擺動與旋轉［J］.大學物理，2016，35（02）：1416.

［6］楊百愚，王翠香，王斌科，等.秋千參數自激振動的數學模型與數值模擬［J］.大學物理，2020，39（01）：5356.

作者簡介：赫萬恒（1981—），男，漢族，河北正定人，碩士研究生，講師，研究方向：振動控制方向。