車載磁懸浮轉子系統動力學特性

摘 "要：針對車載磁懸浮轉子系統的動力學耦合問題，引入歐拉角坐標變換法，基于七自由度車輛動力學模型與五自由度轉子動力學模型建立了車載磁懸浮轉子系統動力學耦合模型，對模型有效性進行了驗證，并對不同路面激勵和磁懸浮軸承控制參數下的系統動力學特性進行了研究。結果表明：車載磁懸浮轉子系統存在動力學耦合效應，動態響應中出現了車輛垂向激振頻率與轉子旋轉頻率；車輛系統與磁懸浮轉子系統的振幅隨路面激勵振幅的增加而增大，隨路面激勵頻率的增加而減小；在一定范圍內增加比例系數和微分系數將減小系統的振幅。

關鍵詞：動力學耦合；坐標變換；路面激勵；控制參數；車載磁懸浮轉子系統

中圖分類號：U464；TH133.3 " " " " " " 文獻標識碼：A 文章編號：1008-5483（2024）03-0001-07

Dynamic Characteristics of Magnetic Levitation

Rotor System of Vehicles

Chen Songyao1，2， Wang Dongxiong1，2， Yi Tao1，2， Li Song3

（1. Hubei University of Automotive Technology，Shiyan 442002，China;

2. Hubei Key Laboratory of Automotive Power Train and Electronic Control，Shiyan 442002，China;

3. Dongfeng Motor Corporation Ramp;D Institute，Wuhan 430085，China）

Abstract： In response to the dynamic coupling problem of the magnetic levitation rotor system of vehicles，the Euler angular coordinate transformation method was used. Based on a seven-degree-of-freedom vehicle dynamics model and a five-degree-of-freedom rotor dynamics model，a dynamic coupling model of the magnetic levitation rotor system of vehicles was established. The effectiveness of the model was verified，and the dynamic characteristics of the system under different road excitation and magnetic levitation bearing control parameters were studied. The experimental results show that there is a dynamic coupling effect in the magnetic levitation rotor system of vehicles，and the vertical excitation frequency and rotor rotation frequency of the vehicle appear in the dynamic response. The amplitude of the vehicle system and the magnetic levitation rotor system increases with the increase in road excitation amplitude and decreases with the increase in road excitation frequency. Increasing the proportional and differential coefficients within a certain range will reduce the amplitude of the system.

Key words： dynamic coupling; coordinate transformation; road excitation; control parameters; magnetic levitation rotor system of vehicles

飛輪電池因具有能量密度高、無過度充放電問題和充電時長短等優勢成為重要發展方向［1］。采用磁懸浮軸承支承的轉子系統，即磁懸浮轉子系統，是實現飛輪電池高功率密度和高能量密度的重要途徑。車載磁懸浮轉子系統的動態響應會受到車身姿態變化的激勵，對系統動力學特性產生影響，近年來相關研究已有展開。班朋［2］利用整體法和隔離法建立車載飛輪電池十五自由度力學模型，采用拉格朗日方程推導系統的動力學方程，研究系統的動力學特性影響。Dakel等［3］提出的車載轉子模型基于鐵木辛哥梁有限元法，考慮了其剛性支撐的6個確定性平移和旋轉以及軸承和剛性盤的幾何不對稱性，通過轉子軌道、時域響應和快速傅里葉變換來分析支座旋轉或平移運動的影響。金光宇等［4］結合動力學模型與控制方法，推導出飛輪轉子系統的振動數學模型并進行了靜態懸浮聯合仿真，驗證了模型的有效性。付雄新等［5-6］通過應用子結構分析法，分別建立了整車與轉子的動力學模型，將車輛不同姿態下的運動轉化為對轉子激勵的動力學激勵輸入，分析了飛輪電池轉子在路面輸入引起安裝基礎振動變化情況下的振幅變化，未對整車與轉子系統耦合問題進行研究。Lak等［7］基于不同路面工況建立了車載轉子系統模型，通過實驗和仿真研究了不同路面激勵對轉子系統的動力學特性影響。上述文獻中轉子系統多采用機械軸承支撐，缺乏車載磁懸浮轉子系統的動力學模型和動力學特性研究。文中在基于五自由度轉子模型與七自由度車輛系統模型的基礎上，引入歐拉角的坐標變換技術，建立了車載磁懸浮轉子耦合模型并對其動力學特性進行研究。

1 車載磁懸浮轉子系統動力學模型

1.1 磁懸浮轉子系統模型

磁懸浮轉子系統如圖1所示，O為轉子形心，LA為形心到上端軸承的距離，LB為形心到下端軸承的距離。設ω為磁懸浮轉子繞z軸的旋轉角速度，[θx]和[θy]分別為繞x軸和y軸的角速度，θx和θy分別為對應的角度值。上端軸承與下端軸承之間的距離為L，上端軸承形心在x和y軸上的位移為x1和y1，下端軸承形心在x和y軸上的位移為x2和y2，轉子在z軸方向上的位移為z。設形心位置分別為xo、yo、zo。

磁懸浮轉子系統磁懸浮軸承的基本控制如圖2［9］所示。根據文獻［8-9］，磁懸浮軸承支承特性可建模為等效剛度和等效阻尼模型，其等效剛度ke和等效阻尼ce的表達式如下：

[ke=kiAaAsKP-ks， " ce=kiAaAsKD] （1）

式中：ki、ks分別為主動磁懸浮軸承（active magnetic bearing，AMB）的位移剛度系數和電流剛度系數；Aa、As分別為功率放大器和位移傳感器的增益；KP、KD分別為比例系數和微分系數。

應用拉格朗日方程得到動力學方程［5-6］：

[（2）]

式中：kxA、kyA為上端軸承的等效剛度；kxB、kyB為下端軸承的等效剛度；kz為點O在z方向上的等效剛度；cxA、cyA為上端軸承的等效阻尼；cxB、cyB為下端軸承的等效阻尼；cz為點O在z方向上的等效阻尼；Fx1、Fx2、Fy1、Fy2、Fz為磁懸浮軸承對轉子的作用力；fx1、fx2、fy1、fy2、fz為轉子上的干擾力；m為轉子質量；Jp為極轉動慣量；Jd為直徑轉動慣量。

1.2 車輛動力學模型

為便于分析，借鑒文獻［10］建立了七自由度整車系統動力學模型，如圖3所示。根據圖3中的幾何關系和牛頓第二定律，車輛運動微分方程為

[mvZ=CA（ZsA-ZA）2+KA（ZsA-zA）2+ " " " " " " "CB（ZsB-ZB）2+KB（ZsB-ZB）2+ " " " " " " "CC（ZsC-ZC）2+KC（ZsC-ZC）2+ " " " " " " "CD（ZsD-ZD）2+KD（ZsD-ZD）2Jxφ=CA（ZsA-ZA）+KA（ZsA-ZA）- " " " " " " CB（ZsB-ZB）+KB（ZsB-ZB）Bf 2+ " " " " " " CC（ZsC-ZC）+KC（ZsC-ZC）- " " " " " " CD（ZsD-ZD）+KD（ZsD-ZD）Br 2Jyθ=CC（ZsC-ZC）+KC（ZsC-ZC）+ " " " " " "CD（ZsD-ZD）+KD（ZsD-ZD）b- " " " " " "CA（ZsA-ZA）+KA（ZsA-ZA）+ " " " " " "CB（ZsB-ZB）+KB（ZsB-ZB）amuAZsA=KtA（ZtA-ZA）+KA（ZA-ZsA）+ " " " " " " " " " CA（ZA-ZsA）] （3）

式中：Z為質心垂直方向振動位移；a、b分別為汽車車身質心處到汽車前、后橋的距離；Bf、Br分別為汽車前、后輪輪距；φ、θ分別為車身質心的側傾角度值與俯仰角度值；mv為汽車車身質量；Jx、Jy分別為汽車車身繞x軸旋轉的側傾轉動慣量與y軸的俯仰轉動慣量；K、Kt、C、mu、Zt為節點處的彈簧剛度、輪胎剛度、懸架的阻尼、輪胎質量和輪胎質心位移。

1.3 車載磁懸浮轉子系統動力學模型

為揭示車輛系統與轉子系統之間的耦合關系，建立車載磁懸浮轉子系統模型，引入4個坐標軸系，即慣性坐標系R1（O1X1Y1Z1）、車輛坐標系R2（O2X2Y2Z2）、轉子基座坐標系R3（O3X3Y3Z3）和轉子坐標系R4（O4X4Y4Z4）。由于轉子為剛性體，集中質量不平衡mum作用于點pmu，如圖4所示。

按照Z-X-Y的順序定義出車輛行駛時的轉動順序歐拉角。R1與R2之間依次通過橫擺運動、側傾運動和俯仰運動，分別對應橫擺角γv、側傾角αv以及俯仰角βv。在經過3次旋轉后得到新的坐標軸系R（i2，j2，k2），如圖4所示。

因此R1旋轉到R2，通過向量的形式表達式為

[x2y2z2=cosβv0-sinβv010sinβv0cosβv×1000cosαvsinαv0-sinαvcosαv×cosγvsinγv0-sinγvcosγv0001x1y1z1] "（4）

R2相對與R1的角速度向量通過向量分析表達式為

[ωR3R4=αRoa1+βRob2+γRoz] （5）

由此可以得到沿oi1、oj2、oz軸的單位向量：

[ωR1R2=ωvxωvyωvz=-γvcosαvsinβv+αvcosβvγvsinαv+βvγvcosαvcosβv+αvsinβv] （6）

同理可得到R3旋轉到R4的向量、R4相對于R3的瞬時角速度向量[ωR3R4]以及轉子坐標系R4相對于慣性坐標系R1的瞬時角速度向量[ωR1R4]。

絕對位移[rO1O4]可視作由牽連位移[rO1O3]與轉子和轉子基座的相對位移[rO3O4]的矢量和。剛性轉子的絕對位置向量可以表示為

[rO1O4=rO1O3+rO3O4] （7）

根據點的復合運動［11］，對[rO1O4]關于時間求導，得到絕對平動速度向量[vR1O1O4]：

[drO1O4dt=drO1O3dt+drO3O4dt+ωR1R3×rO3O4] （8）

絕對位置向量[rO1pmu]的表達式為

[rO1Pmu=rO1O3+rO3Or，mu+rOr，mupmu] （9）

對式（9）關于時間求導，得到絕對平動速度向量：

[drO1Pmudt=drO1O3dt+drO3Ormudt+drOr，mmPmudt+ωR1R3×rOPmu] （10）

集中質量不平衡的動能為

[Tmu=12mmuvR1O1pmuTvR1O1pmu] （11）

將式（10）代入式（11），得到磁懸浮轉子系統質量不平衡激勵的動能表達式。根據拉格朗日方程，推導不平衡力向量表達式為

[Qmu=AB000TA=ddt?Tmu?x4-?Tmu?x4B=ddt?Tmu?y4-?Tmu?y4] （12）

根據車輛動力學模型和轉子動力學模型，由歐拉角的坐標變換得到車載磁懸浮轉子系統動力學耦合模型的動能表達式為

[TV=12mvZ2+12Jxθ2+12Jyφ2+12muAZ2A+12muBZ2B+12muCZ2C+12muDZ2DUV=12KA（ZA-ZsA）2+12KB（ZB-ZsB）2+12KC（ZC-ZsC）2+12KD（ZD-ZsD）2+12KtA（ZsA-ZtA）2+12KtB（ZsB-ZtB）2+12KtC（ZsC-ZtC）2+12KtD（ZsD-ZtD）2TR=m2x2o+y2o+z2o+12Jdθ2x+θ2y+Jpω2-2Jpωθyθx] （13）

[T=TV+TR， " U=UV+UR] （14）

式中：T為車輛-轉子耦合模型的總動能；TV為車輛動能；TR為轉子系統動能；U為車輛-轉子耦合模型的總動能；UV為車輛勢能；UR為轉子系統勢能。將式（14）代入拉格朗日方程可得到車載磁懸浮轉子系統的耦合動力學模型。

2 動力學模型的驗證

將上述動力學建模方法應用到文獻［5］車輛模型及轉子系統模型中，建立動力學模型，參數見表1～2［5］。車載轉子系統的動態響應計算結果與文獻［5］中計算結果的對比如圖5所示，可以看出，車身垂向、俯仰和側傾方向的動態響應計算結果基本一致，說明文中建模方法是有效的。

3 動力學特性分析

為了分析車載磁懸浮轉子系統的耦合特性，分別對不同路面激勵與控制參數下車載磁懸浮轉子系統的動力學特性展開研究。

3.1 不同路面激勵對系統的影響分析

通過自擬路面激勵，研究路面激勵對車輛的振動影響，參考文獻［12-13］，前輪路面輸入為

[Zr1=0.01sin（10t）] （15）

后輪路面輸入為

[Zr2=0.01sin（10t+0.04）] （16）

式中：t為時間。當車載磁懸浮轉子系統的參數與表1～2中的參數相同時，系統動態響應如圖5～6所示。從圖6b中可以看出，系統出現2次波峰，系統出現2個不同的頻率分量。第1次出現波峰為1.667 Hz時，此時對應的為車輛垂向的振動頻率，與路面激勵頻率一致。第1次波峰出現在795.6 Hz時，對應的為轉子自轉頻率。

圖7為磁懸浮轉子系統的振動響應曲線。在無車輛系統振動激勵的情況下，磁懸浮轉子系統僅受質量不平衡激勵，呈穩定的簡諧運動。在車輛系統振動激勵的情況下，磁懸浮轉子系統的振幅增大，說明耦合對轉子系統動態響應的影響較明顯。

選取8種不同的路面輸入激勵進行探討，激勵1～4為頻率10 Hz的正弦波，振幅依次為10 mm、7.5 mm、5 mm和2.5 mm；激勵5～8為振幅10 mm的正弦波，頻率依次為5 Hz、10 Hz、15 Hz和20 Hz。改變路面激勵振幅和頻率的車輛垂向方向振動響應如圖8所示。從圖8中可以看出：路面激勵振幅越大，車輛振動幅值越大；路面激勵頻率越高，車輛懸架阻尼的對高頻率激勵過濾作用越明顯，路面激勵的頻率越高的車輛垂向方向振動達到穩定時間越短，其振動幅值降低。磁懸浮轉子呈現不同振幅的穩態正弦運動曲線，如圖9a～b所示，路面激勵的幅值越大，車輛激勵響應越大。當保持路面激勵幅值，改變路面激勵頻率時，磁懸浮轉子系統在路面激勵的變化范圍呈正弦運動曲線，如圖9c～d所示。

3.2 控制參數對系統的影響分析

調整系統控制參數將改變磁懸浮軸承磁軸承等效剛度和等效阻尼，對磁懸浮轉子系統的動力學特性產生影響，因此有必要分析PD控制下比例系數KP和微分系數KD對系統動力學特性的影響。

在KP∈{1.5，1.75，2}和KD為0.00236的情況下［9］，車載磁懸浮轉子動態響應如圖10a～b所示，KP越大，振動響應越明顯，振動幅值越大，響應速度越快，達到穩態時間越短；圖10c為車輛垂向方向振動響應曲線，KP增大，轉子振動振幅增加，磁懸浮轉子系統對車輛系統的動態影響增大。

在KD∈{0.001，0.0025，0.004}和KP為1.539的情況下［9］，車載磁懸浮轉子動態響應見圖11a，KD越大，磁懸浮轉子系統的等效阻尼越大。由于等效阻尼值的增大，磁懸浮轉子系統的耗散能增加，振動幅值降低，因此選取合適的微分系數能有效抑制磁懸浮轉子系統的振動不穩定性，改善磁懸浮轉子系統的動力學特性。圖11b為車輛垂向方向振動響應曲線，KD增大時，磁懸浮轉子的振動幅值減小，降低了車輛系統動態響應的影響，磁懸浮轉子系統對車輛系統的動力學特性影響降低。KD越大，磁懸浮轉子系統對車輛系統的動力學耦合影響越明顯。

4 結論

基于七自由度車輛模型與五自由度磁懸浮轉子系統模型，引入歐拉角坐標變換技術，建立了車載磁懸浮轉子系統動力學耦合模型，并通過與文獻中的仿真結果進行對比，驗證了動力學建模方法的有效性。研究結果表明：1）車載磁懸浮轉子系統具有明顯的動力學耦合特性，系統響應頻譜中出現了車輛垂向振動激勵頻率與磁懸浮轉子系統自轉頻率。2）隨著路面激勵振幅增加，車輛與磁懸浮轉子系統的振動響應幅值逐漸增大；隨著路面激勵頻率增加，車輛與磁懸浮轉子系統的振動響應幅值逐漸降低。3）在一定范圍內通過改變磁懸浮轉子系統的控制參數發現，比例系數的增大將抑制耦合系統的振動幅度，而微分系數的增大在一定程度上能夠抑制耦合系統振動響應。

參考文獻：

［1］ "張維煜，張林東，于焰均. 磁懸浮支承-飛輪系統穩定運行關鍵技術綜述［J］. 西南交通大學學報，2022，57（3）：627-639.

［2］ "班朋. 車載飛輪電池磁懸浮轉子振動特性與抑制研究［D］. 青島：山東科技大學，2019.

［3］ "Dakel M，Baguet S，Dufour R. Dynamic Analysis of a Harmonically Excited On-board Rotor-bearing System［M］//10th International Conference on Vibrations in Rotating Machinery. Amsterdam：Elsevier，2012：57-67.

［4］ "金光宇，陳劭，徐向波. 車載磁懸浮飛輪電池動力學分析及懸浮研究［J］. 林業機械與木工設備，2018，46（4）：23-28.

［5］ "付雄新，謝小鵬. 車載飛輪電池轉子的動力學建模與分析［J］. 華南理工大學學報（自然科學版），2009，37（4）：70-74.

［6］ "付雄新，謝小鵬. 電動汽車用飛輪電池充放電控制系統研究［J］. 微計算機信息，2007，23（17）：263-265.

［7］ "Lak M A，Degrande G，Lombaert G. The Effect of Road Unevenness on the Dynamic Vehicle Response and Ground-borne Vibrations Due to Road Traffic［J］. Soil Dynamics and Earthquake Engineering，2011，31（10）：1357-1377.

［8］ "王忠博，毛川，祝長生. 主動電磁軸承-剛性轉子系統PID控制器設計方法［J］. 中國電機工程學報，2018，38（20）：6154-6163.

［9］ "王東雄. 磁懸浮雙轉子系統動力學特性研究［D］. 武漢：武漢科技大學，2019.

［10］ "安部正人. 汽車的運動和操縱［M］. 陳辛波，譯. 北京：機械工業出版社，1998.

［11］ "倪佳，任宏偉，張崗，等. 純電動物流車高效運行發展綜述［J］. 機電一體化，2021，27（4）：3-11.

［12］ "盧凡，陳思忠. 汽車路面激勵的時域建模與仿真［J］. 汽車工程，2015，37（5）：549-553.

［13］ "牛浩龍，王青春，田燕林，等. 不同路面激勵下車內噪聲預測與板件聲學貢獻量分析［J］. 力學與實踐，2011，33（4）：55-60.