基于奇異值分解的滾動軸承故障診斷方法

摘 "要：針對奇異值分解中Hankel矩陣維數(shù)和奇異值個數(shù)選擇的問題，提出了確定矩陣維數(shù)和選擇奇異值個數(shù)的新方法，實現(xiàn)對滾動軸承的故障診斷。將提出的方法應用于實測滾動軸承內(nèi)圈和外圈故障信號中，通過對信號的降噪處理和包絡(luò)譜分析，有效消除了實測振動信號中的無用頻率成分，提取了信號中包含的軸承故障特征頻率。

關(guān)鍵詞：奇異值分解；包絡(luò)譜分析；奇異值差分序列；故障診斷

中圖分類號：TH17 " " " " " " " " " " " " " " 文獻標識碼：A 文章編號：1008-5483（2024）03-0060-06

Fault Diagnosis Method of Rolling Bearing Based on

Singular Value Decomposition

Ji Jingfang1，2

（1. School of Automotive Engineering， Hubei University of Automotive Technology， Shiyan 442002， China;

2. Hubei Key Laboratory of Automotive Power Train and Electronic Control， Shiyan 442002， China）

Abstract： To determine the dimension of Hankel matrix and the number of singular values in singular value decomposition （SVD）， a new method to determine the matrix dimension and the number of singular values was proposed to achieve the fault diagnosis of rolling bearings. The proposed method was applied to the measured fault signals of the inner and outer rings of the rolling bearings. Through denoising of the signals and envelope spectrum analysis， the useless frequency components in the measured vibration signals were effectively eliminated， and the fault characteristic frequencies contained in the signals were extracted.

Key words： SVD; envelope spectrum analysis; singular value difference sequence; fault diagnosis

滾動軸承作為旋轉(zhuǎn)機械的重要零部件，一旦發(fā)生故障將造成重大經(jīng)濟損失。滾動軸承故障診斷是當前學術(shù)界關(guān)注的焦點，常用的方法是對軸承振動信號進行分析［1］。借助信號處理技術(shù)對滾動軸承進行故障診斷的關(guān)鍵在于消除實測振動信號中包含的噪聲，奇異值分解（singular value decomposition，SVD）在信號降噪中具有良好的效果，被廣泛應用于各種微弱信號的提取中［2］。Reza Golafshan 提出了基于SVD和Hankel矩陣的球軸承故障診斷方法，通過對信號頻率進行降噪處理能夠有效識別軸承故障［3］。李華將奇異值比和互相關(guān)系數(shù)相結(jié)合來確定SVD的重構(gòu)分量，利用奇異值比和峭度指標優(yōu)化Hankel矩陣結(jié)構(gòu)，通過仿真驗證了所提方法的有效性［4］。常妍提出了加權(quán)firm閾值SVD方法，有效提取了能量較弱但含有豐富故障信息的奇異分量，實現(xiàn)了對旋轉(zhuǎn)機械設(shè)備的故障診斷目的［5］。Jintao Li提出了1種超參數(shù)來控制處理奇異值，實現(xiàn)了對有效奇異值數(shù)量的精準識別，并成功應用于振動信號噪聲的處理［6］。SVD應用于滾動軸承故障診斷的關(guān)鍵是需要確定Hankel矩陣維數(shù)和奇異值個數(shù)，否則將導致故障信息被濾除或故障信息被淹沒在噪聲中［7］。目前對Hankel矩陣維數(shù)和奇異值個數(shù)的確定比較困難，主要依賴于經(jīng)驗。基于此，對Hankel矩陣維數(shù)和奇異值個數(shù)的選擇方法進行研究，提出自動確定Hankel矩陣維數(shù)和奇異值個數(shù)的新方法，并通過滾動軸承故障試驗驗證方法的有效性。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 基于SVD的信號降噪

實測振動信號往往包含有噪聲，容易導致信號中的有用信息被噪聲淹沒，因此信號降噪處理極為重要［8］。設(shè)定[xt]為包含噪聲的實測振動信號，[st]為不含噪聲的振動信號，[nt]為噪聲信號，則[xt]可以表述為

[xt=st+nt] （1）

由于[xt]為時間序列，采用SVD必須將[xt]構(gòu)造為矩陣形式。Hankel矩陣具有低失真特點，因此采用[xt]構(gòu)造Hankel矩陣A［9］，即

[A=x1x2…xnx2x3…xn+1…………xmxm+1…xNm=N-n+1] （2）

式中：[N]為信號[xt]的長度；m、n分別為A的行數(shù)和列數(shù)。對[A]進行奇異值分解：

[A=USVT， " U∈Rm×m " V∈Rn×n， " S∈Rm×n] （3）

式中：[U]、[V]均為單位正交矩陣；[S]為對角矩陣。[S]的表達式為

[S=[diagσ1，σ2，…，σl，0]， " " "mlt;ndiagσ1，σ2，…，σl， " " "m=n[diagσ1，σ2，…，σl，0]T， " " "mgt;nl=minm，n， " σ1≥σ2≥…≥σl≥0] （4）

將[U]、[V]寫成向量的形式，即

[U=u1，u2，…，um， " V=v1，v2，…，vn] （5）

那么矩陣[A]的表達式為

[A=σ1u1vT1+σ2u2vT2+…+σrulvTl=A1+A2+…+Al] （6）

由此可見，A有[l]個奇異值。對不含噪聲的[st]而言，其有效奇異值為非零奇異值。對包含噪聲的[xt]而言，其部分非零奇異值是由[nt]產(chǎn)生。采用SVD降噪的關(guān)鍵是將信號產(chǎn)生的奇異值和噪聲產(chǎn)生的奇異值區(qū)分開來，從而將[st]的頻率從[xt]中提取出來。由于信號的1個頻率對應2個相鄰的非零奇異值，且這2個奇異值之間不存在其他的奇異值，因此，奇異值個數(shù)的選擇直接關(guān)系到信號降噪的質(zhì)量。A的每個子矩陣[Ai]對應原始信號的1個奇異值分量，子信號[xi]可以通過提取[Ai]的第1行和最后1列得到：

[Ai=xi1xi2…xinxi2xi3…xin+1????ximxim+1…xiNRi，1=xi1， xi2， …， xinCi，n=xin+1， xin+2，…， xiNTxi=Ri，1， CTi，n] （7）

降噪后信號[x]由提取的前[k]個分量線性疊加得到［10］：

[x=i=1kxi] （8）

1.2 奇異值降噪性能

為驗證奇異值降噪的性能，給出模擬信號：

[st=0.8sin（2πt+1.86）+1.2cos（10πt+0.24）+1.8sin（18πt+3.27）] （9）

在[st]中分別添加噪聲能量高于原始信號的高斯白噪聲和低于原始信號的高斯白噪聲，信噪比（SNR）分別為-2.68 dB和1.26 dB。對添加白噪聲的信號采用SVD降噪，結(jié)果見圖2。由圖2可知，添加噪聲的能量不論是高于原始信號還是低于原始信號，采用SVD均可達到良好的降噪效果，同時降噪后的信號和原始信號之間相差很小，相位差為0。

對[xt]、[st]以及[nt]分別進行奇異值分解，提取前20個奇異值，結(jié)果如圖3所示。由圖3可知，[xt]和[st]的前6個奇異值差異較小，主要由[nt]導致。從第7個奇異值開始，[xt]的奇異值和[nt]的奇異值基本相同，這是由于[st]的能量集中分布在其主導的頻率上，從第7個奇異值開始，[xt]的能量主要由[nt]貢獻。通過觀察含噪信號、純信號及噪聲信號的奇異值分布規(guī)律可知，信號奇異值發(fā)生突變的位置也是信號和噪聲的分界線。基于奇異值分布規(guī)律提出確定有效奇異值個數(shù)的新方法。

1.3 Hankel矩陣維數(shù)

由信號[xt]可以構(gòu)造一系列的Hankel矩陣[Am×n]，其非零奇異值個數(shù)為[l]。[Am×n]的維數(shù)直接影響非零奇異值個數(shù)，進而影響到奇異值降噪的性能。采用均方誤差（MSE）衡量奇異值降噪的性能，其數(shù)學表達式為

[EMS=1Ni=1Nx-s2] （10）

式中：[EMS]為MSE的值；[s]為不含噪信號。設(shè)N為1 024，在模擬信號[st]中添加不同信噪比的高斯白噪聲，對比Hankel矩陣維數(shù)對奇異值降噪的效果，結(jié)果如表1所示。由表1可知，在一定范圍內(nèi)Hankel矩陣行數(shù)越多，奇異值降噪效果越理想。

表1 "不同Hankel矩陣維數(shù)的MSE值

[矩陣行數(shù) 100 200 300 400 512 SNR為-2.68 dB 0.6021 0.3591 0.3522 0.2318 0.1253 SNR為1.26 dB 0.2852 0.1515 0.0588 0.0549 0.0470 ]

基于此，利用信號構(gòu)造Hankel矩陣時，盡量使構(gòu)造的矩陣為方陣，Hankel矩陣的行數(shù)m為

[N為偶數(shù)][N為奇數(shù)][（11）][]

1.4 降噪性能對比

為了驗證SVD降噪方法的優(yōu)越性，與小波閾值降噪法進行對比。在式（7）給出的模擬信號中加入高斯白噪聲，分別采用SVD降噪法和小波閾值降噪法進行降噪處理，降噪結(jié)果見圖4。由圖4可知，SVD降噪法明顯優(yōu)于小波閾值降噪法。

2 滾動軸承故障診斷方法

實測振動信號降噪處理效果直接影響滾動軸承故障頻率的提取。文中采用SVD降噪法對實測振動信號進行降噪處理，并對降噪后的信號進行Hillbert包絡(luò)解調(diào)，得到降噪后信號的解調(diào)譜，從解調(diào)譜中尋找特征頻率，達到滾動軸承故障診斷的目的。奇異值降噪的關(guān)鍵是有效奇異值個數(shù)的選擇，通過合理選擇有效奇異值的個數(shù)達到信號和噪聲分離的目標。奇異值大小突變的位置是需要重點關(guān)注的位置。為分析奇異值發(fā)生突變的規(guī)律，引入奇異值差分序列[b]，其元素[bi]可表示為

[bi=σi+1-σi] （12）

式中：[bi]反映了相鄰奇異值間的變化，其最大尖峰位置就是奇異值發(fā)生最大突變的位置，往往也是信號和噪聲的分界線。通過大量的仿真試驗表明，如果僅考慮[b]中的最大尖峰位置，可能會導致信號中的有用成分被濾除，無法提取滾動軸承故障頻率。基于此，在確定有效奇異值個數(shù)時，將次大尖峰位置納入考慮范圍。若[b]中最大尖峰位置位于第2個位置，則繼續(xù)在[b]中尋找次大尖峰位置，并將該位置作為信號和噪聲的分割位置。若[b]中最大尖峰位置之前存在次大尖峰，則將最大尖峰位置作為信號和噪聲的分割位置。在確定信號和噪聲的分割位置之后，將該位置之后的奇異值置為0，保留該位置及之前的奇異值。通過對奇異值的處理，達到對實測振動信號降噪的目的，基于奇異值分解的滾動軸承故障診斷流程如圖5所示。

3 實例分析

3.1 數(shù)據(jù)來源

選擇凱斯西儲大學滾動軸承故障研究中心電氣工程實驗室提供的滾動軸承故障數(shù)據(jù)作為實驗數(shù)據(jù)。設(shè)置采樣頻率為12 kHz，通過加速度傳感器來獲取滾動軸承內(nèi)圈故障和外圈故障的振動數(shù)據(jù)。圖6為滾動軸承故障測試試驗臺。試驗用軸承為6205-2RS JEM SKF深溝球軸承，其參數(shù)見表2。

滾動軸承的故障類型不同，其故障特征頻率也不同，內(nèi)圈故障與外圈故障的特征頻率計算公式為

[fi=n1Z1201+dcosαD， " fo=n1Z1201-dcosαD] （13）

式中：[n1]為轉(zhuǎn)速；[Z]為滾動體個數(shù)；[d]為滾動體直徑；[α]為接觸角；[D]為節(jié)圓直徑。轉(zhuǎn)速n1為1797 r·min-1時，可得到滾動軸承內(nèi)圈故障特征頻率為162.2 Hz，外圈故障特征頻率為107.4 Hz。

3.2 滾動軸承內(nèi)圈故障

通過加速度傳感器獲取滾動軸承內(nèi)圈故障時域數(shù)據(jù)，并進行包絡(luò)譜分析，結(jié)果見圖7。由圖7可知，實測故障信號中包含大量的噪聲，無關(guān)頻率成分較多，導致無法有效提取內(nèi)圈故障的特征頻率，進而無法達到故障診斷的目的。采用SVD方法對信號進行降噪處理，消除實測信號中的噪聲。由于實測振動信號長度為12 000，因此構(gòu)造維數(shù)為6 000 × 6 001的Hankel矩陣，獲得奇異值序列和差分譜序列，如圖8所示。由圖8可知，奇異值變化最大的位置為第2個奇異值，因此需要第8個奇異值所在位置（次大尖峰位置）作為信號和噪聲的分割位置。將第8個之后的奇異值置為0，實現(xiàn)對實測振動信號的降噪處理，并對降噪處理后的信號進行包絡(luò)譜分析，結(jié)果如圖9所示。由圖9可知，通過SVD降噪有效濾除了原信號中所包含的無關(guān)頻率成分，將故障頻率162.2 Hz有效提取出來，達到了滾動軸承內(nèi)圈故障診斷的目的。

3.3 滾動軸承外圈故障

通過加速度傳感器獲取滾動軸承外圈故障時域數(shù)據(jù)，并進行包絡(luò)譜分析，結(jié)果如圖10所示。由圖10可知，實測故障信號中包含大量的噪聲，無關(guān)頻率成分較多，導致無法有效提取外圈故障的特征頻率，進而無法達到故障診斷的目的。采取同樣的方法構(gòu)造Hankel矩陣，獲得奇異值序列和差分譜序列，結(jié)果如圖11所示。由圖11可知，奇異值變化最大的位置為第10個位置，將第10個位置之后的奇異值置為0，對實測外圈故障信號進行降噪處理，并對降噪后的信號進行包絡(luò)譜分析，結(jié)果如圖12所示。由圖12可知，通過SVD降噪有效濾除了實測外圈故障信號中所包含的無關(guān)頻率成分，將外圈故障頻率107.4 Hz有效提取出來，達到了滾動軸承外圈故障診斷的目的。

4 結(jié)論

文中提出了奇異值分解中確定矩陣維數(shù)和奇異值個數(shù)的新方法，將該方法應用于實際的滾動軸承內(nèi)圈和外圈故障振動信號中，得出以下2個結(jié)論：1）構(gòu)造的Hankel矩陣應盡量為方陣或接近方陣；2）通過奇異值差分序列選擇奇異值個數(shù)，當奇異值差分序列中最大尖峰位置前有次大尖峰時，該位置為信號和噪聲的分割位置。如果最大尖峰位置位于第2個位置，那么需要將次大尖峰位置作為信號和噪聲的分割位置。

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